微专题：图形变换、动点动态探究问题【河北热点】
◆类型一 动点与函数图像的综合问题
1．(2017·唐山乐亭县期中)如图①，在等边三角形△ABC中，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线AB→BC运动，到点C停止，过点P作PD⊥AC，垂足为D，PD的长度y(cm)与点P的运动时间x(秒)的函数图像如图②所示，当点P运动5.5秒时，PD的长是( )
5
A.
3
cm
4
B.
23cm 53cm 3cm
C．2D．3
2．(2017·河南中考)如图①，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点
A，图②是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的
最低点，则△ABC的面积是________．
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◆类型二 特殊四边形中的动态变换问题
3．(2017·秦皇岛卢龙县期末)如图①，△ABD和△BDC都是边长为1的等边三角形．
(1)四边形ABCD________菱形(填“是”或“不是”)；
(2)如图②，将△BDC沿射线BD方向平移到△B1D1C1的位置，连接BC1，AD1，则四边形ABC1D1是平行四边形吗？为什么？
(3)在△BDC移动过程中，四边形ABC1D1有可能是矩形吗？如果可能，请求出点B移动的距离(写出过程)；如果不可能，请说明理由(图③供操作时使用)．
4．(2017·定州市期中)如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝
5，对
角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.
(1)当∠AOF＝90°时，求证：四边形ABEF是平行四边形； (2)试说明在旋转过程中，AF与CE总保持相等；
(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，说明理由并求出此时∠AOF度数．
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参考答案与解析
1．A 解析：根据题意得AB＝4cm.∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝4cm，∠C＝60°.当点P运动5.5秒时，如图所示．则BP＝5.5－4＝1.5(cm)，∴PC＝2.5cm.∵∠C＝60°，15
∴∠CPD＝30°，∴CD＝CP＝cm.∴PD＝
24
CP2－CD2＝
54
3
cm.
2．12 解析：根据图像可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，由图像可知：点P从B运动到C的过程中，BP的最大值为5，即BC＝5.点P运动到点A时，BP＝AB＝5.∴△ABC是等腰三角形．∵M是曲线部分的最低点，∴此时BP最小，即BP⊥AC时，BP1
＝4，∴由勾股定理得PC＝3，∴AC＝6，∴△ABC的面积为×4×6＝12，故答案为12.
2
3．解：(1)是
(2)四边形ABC1D1是平行四边形．理由如下：∵∠ABD1＝∠C1D1B＝60°，∴AB∥C1D1，又∵AB＝C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形．
(3)四边形ABC1D1有可能是矩形．此时，∠D1BC1＝30°，∠D1C1B＝90°，C1D1＝1，∴
BD1＝2C1D1＝2.又∵B1D1＝1，∴BB1＝BD1－B1D1＝1，即点B移动的距离为1.
4．(1)证明：当∠AOF＝90°时，∠AOF＝∠BAC，∴AB∥EF.∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形．
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，AF∥EC，∴∠FAO＝∠ECO.在△
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∠FAO＝∠ECO，
AOF和△COE中，OA＝OC， ∴△AOF≌△COE，∴AF＝CE.
∠AOF＝∠COE，
(3)解：四边形BEDF可能是菱形．理由如下：∵△AOF≌△COE，∴OE＝OF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∴EF与BD互相平分，∴四边形BEDF是平行四边形，∴当EF⊥BD时，▱BEDF是菱形．在Rt△ABC中，AC＝
（
5）2－12＝2，∴OA＝1＝AB.∵AB⊥AC，∴∠AOB＝45°，∴∠AOF＝45°，∴当四边形BEDF是菱形时，∠AOF＝45°.
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