【配套K12】新课标版备战2018高考数学二轮复习难点2.4数列的通项公式与求和问题等综合问题教学案

数列的通项公式与求和问题等综合问题

数列在高考中占重要地位，每年都考，应当牢记等差、等比的通项公式，前n项和公式，等差、等比数列的性质，以及常见求数列通项的方法，如累加、累乘、构造等差、等比数列法、取倒数等.数列求和问题是数列中的重要知识，在各地的高考试题中频频出现，对于等差数列、等比数列的求和主要是运用公式；而非等差数列、非等比数列的求和问题，一般用倒序相加法、通项化归法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等．数列的求和问题多从数列的通项入手，通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题． 一、数列的通项公式

数列的通项公式在数列中占有重要地位，是数列这部分内容的基础之一，在高考中，等差数列和等比数列的通项公式，前n项和公式以及它们的性质是必考内容，一般以填空题、选择题的形式出现，属于低中档题，若数列与函数、不等式、解析几何、向量、三角函数等知识点交融，难度就较大，也是近几年命题的热点.

1.由数列的前几项归纳数列的通项公式

根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)或(－1)例1. 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式 （1）-1,7，-13,19，…； （2）0.8,0.88,0.888，…； （3）－

nn＋1

来调整．

115132961,,,,,,...； 248163264思路分析：归纳通项公式应从以下四个方面着手： (1)观察项与项之间的关系； (2)符号与绝对值分别考虑； (3)规律不明显，适当变形．

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2－32－32－32－32－32－3n－，原数列化为－1，2，－3，4，…，∴ an＝(－1)·n. 222222

点评：求数列的通项时，要抓住以下几个特征:(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想． 2.由数列的递推关系求通项

若一个数列首项确定，其余各项用an与an－1的关系式表示(如an＝2an－1＋1，(n>1)，则这个关系式称为数列的递推公式．

由递推关系求数列的通项的基本思想是转化，常用的方法： (1)an＋1－an＝f(n)型，采用叠加法． an＋1

(2)＝f(n)型，采用叠乘法．

an

(3)an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1)型，转化为等比数列解决．

例2.对于数列an,bn a1b11,an1n1ann,bn13bn2,nN.

1

2

3

4

n

（1）求数列an、bn的通项公式； （2）令cn2ann，求数列cn的前n项和Tn.

nbn12思路分析：（1）由Sn1n1Snann化简得an1an2n1，利用累加法求得ann，对

n1bn13bn2利用配凑法求得通项公式为bn23（2）化简cn1；

2n2n2n3n1n1，这是等差数列n13除以等比数列，故用错位相减求和法求得前n项和为Tn152n5. n1443

（2）cn2n2n2n3n1n1234nn1, ① ,T...n3n13031323n23n1K12小学初中高中

小初高试卷教案类 则3Tn2334nn1...，② 001n3n2333331n11n1n1152n5152n5113②-①得2Tn612...n2n16. n1Tnn1n1133322344333131点评：本题主要考查递推数列求通项的方法，考查了累加法和配凑法，考查了错位相减求和法.对于an来说，化简题目给定的含有Sn的表达式后，得到an1an2n1，这个是累加法的标准形式，故用累加法求其通项公式，对于bn来说，由于bn13bn2，则采用配凑法求其通项公式，对于cn来说，由于它是等差数列除以等比数列，故用错位相减求和法求和. 3.由Sn与an的关系求通项an

数列是一种特殊的函数，因此，在研究数列问题时，即要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特

Sn （n＝1），殊性．Sn与an的关系为：an＝

Sn－Sn－1 （n≥2）.

例3. 【安徽省淮南市2018届第四次联考】已已知数列an,bn,Sn为数列an的前n项和，且满足

a24b1,Sn2an2, nbn1n1bnn3n2nN*.

（1）求数列an的通项公式； （2）求bn的通项公式

思路分析：（1）由Sn2an2的关系得当n2时，Sn12an12相减得an2an1,an2n.n2检验

n1时， a12适合上式即得数列an的通项公式（2）nbn1n1bnn2n3，两边同时除以

nn1得

bn1bnn累加法即得解. n1nK12小学初中高中

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点评：已知数列前n项和与第n项关系，求数列通项公式，常用anS1,n1将所给条件化为关于

SnSn1,n2前n项和的递推关系或是关于第n项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式.注意：利用an＝Sn－Sn－1求通项时，注意n≥2这一前提条件，易忽略验证n＝1致误，当n＝1时，a1若适合通项，则n＝1的情况应并入n≥2时的通项；否则an应利用分段函数的形式表示 4.等差数列前n项和的最值 等差数列的单调性与Sn的最大或最小的关系.

ad0（1）若d0，则等差数列an中有a，即anan1，所以数列为单调递增； nn1S(n2)，所以S当a10时，有Snn1n的最小值为S.

当a10时，有则一定存在某一自然数k，使a或aaa0aa123kk1n，则Saaaa0aa123kk1nn的最小值为Sk.

ad0 （2）若d0，则等差数列an中有a，即anan1，所以数列为单调递减； nn1当a10时，有则一定存在某一自然数k，使a或 aaa0aa123kk1n，则Sn的最大值为Sk. aaaa0aa123kk1nS(n2)，所以S当a10时，有Snn1n的最大值为S.

例4.数列an的前n项和为Sn，a1t，an12Sn1（nN*）． （1）t为何值时，数列an是等比数列？

（2）在（1）的条件下，若等差数列bn的前n项和Tn有最大值，且T315，又a1b1，a2b2，a3b3等比数列，求Tn．

思路分析：（1）先由an12Sn1求出an13an.再利用数列an为等比数列，可得a23a1，就可以求K12小学初中高中

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出t的值；（2）先利用T315求出b25，再利用公差把b1和b3表示出来，代人a1b1,a2b2,a3b3成等比数列，求出公差即可求Tn.

an≥0an≤0



点评：求等差数列前n项和的最值常用的方法;(1)先求an，再利用或求出其正负转折项，a≤0n＋1an＋1≥0

最后利用单调性确定最值．(2)①利用性质求出其正负转折项，便可求得前n项和的最值．②利用等差数列的前n项和Sn＝An＋Bn(A，B为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值． 二 数列的求和

2

数列求和是高考的热点，主要涉及等差、等比数列求和、错位相减法求和、裂项相消法求和与并项法求和，题目呈现方式多样，在选择题、填空题中以考查基础知识为主，在解答题中以考查错位相减法和裂项相消法求和为主，求解的关键是抓住通项公式的特征，正确变形，分清项数求和．

数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列求和． 常见类型及方法

(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)an＝a·qn－1

，利用等比数列前n项和公式直接求解；

(3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{an}的前n项和． (4) an＝bn·cn，数列{bn}，{cn}分别是等比数列和等差数列，采用错位相减法求和 1．公式求法

直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．

n(n1)n（a1＋an）

d； (1)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na122na1,(q1)(2)等比数列的前n项和公式：Sna1anqa1(1qn)

,q1.1q1qK12小学初中高中

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例5. 【四川省内江市2018届高三第一次模拟】设Sn是数列an的前n项和.已知a11， Sn22an1. （Ⅰ）求数列an的通项公式；

（Ⅱ）设bn1an，求数列bn的前n项和.

思路分析：（Ⅰ）由Sn22an1可得n2时， Sn122an，两式相减，即可得出an是等比数列，从而求出数列an的通项公式；（Ⅱ）写出数列bn的通项公式，得出数列bn是等比数列，进而用等比数列求和公式求出数列bn的前n项和.

n点评：本题考查等比数列的概念、通项公式及前n项的求和公式，利用方程组思想求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.应用基本量法是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握.根据等差,等比数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算. 2．分组求和法

有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并．

例6.【四川省内江市2018届高三第一次模拟】设数列an满足a12a24a32n1ann. （1）求数列an的通项公式； （2）求数列anlog2an的前n项和.

思路分析： 1根据题意求出当n2时， a12a24a32n2an1n1，求出an的表达式，然后

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验证当n1时是否成立(2)先给出通项anlog2an11n，运用分组求和法求前n项和 n12点评：分组求和的解题策略：数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n项和的数列求和，即将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题，运用这种方法的关键是通项变形． 3.裂项相消求和法

利用通项变形，把数列的通项分裂成两项或几项的差，在求和过程中，中间的一些项可以相互抵消，最后只剩下有限项的和，从而求得数列的和.这种求数列和的方法叫做裂项相消求和法. 常见拆项：

11111111()；n1n ；

n(n1)nn1(2n1)(2n1)22n12n1nn1n111111[]；n·n!=(n+1)!－n!；；

(n1)!n!(n1)!n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)loga （1＋）＝loga(n＋1)－logan；等等

n例7.已知等差数列an的前n项和为Sn，S55，且a3,a4,a6成等比数列. (Ⅰ)求数列an的通项公式； (Ⅱ)设bn1

1nN*，求数列bn的前n项和Tn. a2n1a2n32113d，思路分析：(1)由等差数列性质，所以a31，设公差为d，则1dS555a3，

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解得d0或d1，由此即可求出通项公式； (2)①当an1时，Tnn；②当an2n时，

11111，然后再根据裂项相消即可求出结果.

a2n1a2n32n12n122n12n1

点评：裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项．从而达到求和的目的．要注意的是裂项相消法的前提:数列中的每一项均可分裂成一正一负两项，且在求和过程中能够前后相互抵消. 4. 错位相减求和法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法．

例8.已知等差数列{an}满足:an1an(nN*),a11，该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列，且

an2log2bn1.

（1）求数列{an},{bn}的通项公式； （2）求数列{an•bn}的前n项和Tn.

思路分析：(1) 用基本量法，即用为等差数列an的公差d与a1表示已知条件，列出方程，解出d，即可求数列an的通项公式；由an2log2bn1可得log2bnn，即可求出数列{bn}的通项公式；(2)因为

anbn2n1，所以用错位相减法求Tn即可. 2nK12小学初中高中

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点评：本题考查等差数列的定义与性质、对数的性质、错位相减法求和，属中档题；错位相减法适合于一个由等差数列{an}及一个等比数列{bn}对应项之积组成的数列．考生在解决这类问题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等．两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两项相减，除第一项和最后一项外，剩下的n1项是一个等比数列． 三. 数列的探索性问题

处理探索性问题的一般方法是：假设题中的数学对象存在或结论成立或其中的一部分结论成立，然后在这个前提下进行逻辑推理．若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用．还可以根据已知条件建立恒等式，利用等式恒成立的条件求解． 例9. 【江西省南昌市2018届复习训练题】在数列an中，

a1＝1，a12a23a3nan＝（Ⅰ）求数列an的通项an；

n1an1nN*． 2（Ⅱ）若存在nN，使得ann＋13*n成立，求实数的最大值．

n1an＋1可得2思路分析：(Ⅰ)由a12a23a3nana12a23a3n1an1K12小学初中高中

n1an1＝3 n2，nann2，两式相减整理得到故数列nan 2nan小初高试卷教案类

n2为等比数列，求得通项后再验证a1＝1是否满足即可得到所求．(Ⅱ)由条件可得存在

nN*，使得最值即可．

ananfn成立，设，则fnmax．然后根据fn的单调性求出n13nn13n

（Ⅱ）∵存在nN，使得ann＋13*n成立，∴存在nN*，使得an成立．令nn13fnanan1n1时，f1，则．由（Ⅰ）可知当， 当fnnnmaxn13n136n2时，fnan2，则nn139nn12240，所以当n2时，数列fn是

9n1n29nn19nn1n2111*．∴当nN时， fnmax．∴．故所求实数2766fn1fn递减数列，∴当n2时， fnf2的最大值为．

点评：数列中的恒成立或能成立的问题是函数问题在数列中的具体体现，解决此类问题时仍要转化为最值问题处理．解题中通过分离参数在不等式的一端得到关于正整数n的函数，然后通过判断函数的单调性得到函数的最值，从而可求得参数的值或其范围．解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列

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各自的特征，再进行求解．

从上面三方面可以看出，解答数列综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解．数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注．

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