高等代数中定义的教学建议

高等代数中定义的教学建议

作者：杨晓鹏

来源：《商情》2013年第34期

【摘要】根据高等代数的实际教学经验，对高等代数中定义的教学方法和讲课技巧进行一些探讨，提出几点个人的教学建议。 【关键词】高等代数；定义；教学建议

高等代数是大学数学专业的基础主干课程之一，是学习抽象代数（近世代数）前必须掌握的前置课程，是整个代数学的基础，因此也是所有大学的数学专业必须开设的基础课程之一，可见其重要性。但是，因为高等代数的学习内容较为抽象，而且要求学生有较好的逻辑分析推理能力，所以很多初学者会觉得高等代数难以读懂学好。高等代数的特点之一就是定义概念多，而且在教材中，限于篇幅，很多定义都是直接给出，没有相关背景的说明，很多定义的内涵外延都讲述不到位，这样不利于学生了解数学的概念、方法和理论的来龙去脉，不利于启发学生自觉运用数学工具来解决各种各样的现实问题，不利于提高学生的数学素养。由于教材的局限性，老师在讲学过程中，就不能只讲教材里的内容，对于重要而且内涵丰富的定义概念，不能只是简单的介绍。通过这几年高等代数的教学，对于高等代数中定义的教学方法和讲课技巧我们提出如下建议。 一、透彻地讲述定义的内涵

高等代数中有些定义是很抽象的，老师在介绍定义的时候不能一讲而过，学生也不能一看而过。对于抽象难懂的定义，老师必须彻底讲透，全面分析，讲述定义的深刻含义，让学生理解其内涵，从而能够更灵活更准确地应用所学的定义。

例如，矩阵的秩在教材中是这样定义的：一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作矩阵的秩。其实这是一个需要全面深刻剖析的定义，在教学过程中可以做如下分析。将矩阵Amn的所有1阶子式、2阶子式……等全都列出来，如果A的所有r+1子式全为零，而所有r阶子式中至少有一个不等于零，则矩阵A的秩就是r。这样看来，秩r像是零与非零的分界线。但问题又来了，A的所有r+2阶子式到底是“全为零”还是“至少有一个不等于零”，或者都有可能？如果A的所有r+2阶子式“至少有一个不等于零”，那将导致零与非零的分界线可能是不唯一的，也就是秩是不唯一的，那秩的定义就没什么意义了。但是，其实不然，A的所有r+2阶子式应该是“全为零”，但这是需要证明的。由于A的所有r+1子式全为零，按照行列式计算的行（列）展开法则，可以算得A的所有r+2阶子式“全为零”。同样道理，A的所有r-1阶子式应该是“至少有一个不等于零”，也就是说，A的所有1，2，……，r阶子式都是“全为零”，而A的所有r+1，r+2，……阶子式都是“至少有一个不等于零”，这样，零与非零的分界线就可以唯一确定了，这个分界线也就是矩阵的秩的本质意义。

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二、多角度讲述定义

高等代数中有一些概念可以通过多种方式进行定义，因此学生也要学会从多个角度理解定义。在教学过程中，老师要将不同方式的定义讲透，并讲述它们之间的关系以及的应用方向和情景，而且还还要证明不同方式给出的定义的等价性，让学生融会贯通，灵活运用。例如，线性相关是高等代数中最常用的定义之一，它有如下三种不同方式的定义。定义一：对于向量组a1， a2， ……， an，若存在不全为零的数k1， k2， ……， kn，使得k1a1+

k2a2+……+knan=0，则称向量组a1， a2， ……， an线性相关。定义二：若向量组a1， a2， ……， an中至少有一个向量可以由其余的向量线性表示，则称向量组a1， a2， ……， an线性相关。定义三：若向量组a1， a2， ……， an的秩小于向量的个数n，则称向量组a1， a2， ……， an线性相关。这是三种不同方式的定义，但它们是等价的，本质是相同的。再不如向量组的极大（最大）无关组这一概念，也可以从不同的角度进行定义，老师也必须全面讲述，才能让学生更好地掌握和运用。 三、化抽象为具体讲述定义

抽象的定义往往难以理解让人望而生畏，因为如果在教学过程之中可以化抽象为具体，利用具体的例子来阐述抽象的定义，将起到事半功倍的作用，也让学生更容易理解定义，印象也更为深刻。高等代数作为一门经典学科，其理论已经相当成熟严谨，系统性及完整性都很好，但经常注重定义的介绍和理论的推导，而忽视了高等代数在实际中的广泛应用。在课堂教学中，适时适度地介绍一些实际例子是很有必要的。例如，线性空间是高等代数最基本最重要的研究对象之一，它是学生接触到的第一种代数系统（代数结构），而因为是第一次碰到这种抽象的代数结构，而且是公理化定义，所以很难理解很难掌握。这时，我们需要用较多具体的实例来阐释这一概念。我们可以举一些学生已经学过的熟悉的具体的对象，比如n维向量空间、矩阵空间、多项式空间等，通过这些例子，让学生亲自验证它们是线性空间，这样不仅可以加深学生对线性空间这一定义的理解，也可以让学生熟悉各种具体线性空间中的一些要素和关系。再如，在讲解方阵对角化时，可以就它在求方阵的幂的应用这个方面介绍一些实际应用的例子，展示这一概念在实际应用中的强大生命力，激发学生学习高等代数的积极性和创造性，培养学生自觉应用的意识和能力。 四、通过比较，深化定义的理解

在高等代数中有一些定义或概念是相关的，在讲完之后，我们可以将其放在一起分析讨论，探讨它们的共性和区别，这样可以深化对定义的理解。例如，行列式与矩阵是高等代数初学者容易混淆的两个定义，它们的共同点是两者都是在一个数表上面进行定义的，不同点主要有三点：（1）本质不同。行列式本质上是一个数，而矩阵本质上就是一个储存了一些数据的数表。（2）书写形式不同。行列式是在数表只外加了两条竖线，而矩阵是在数表之外加了小括号或中括号。（3）数表的形式不同。只有正方形的数表才能做行列式，而矩阵中的数表也可以是长方形的。这样讲清楚以后，学生碰到这两个定义就不会写错，而且相关的运算也更清楚，对于行列式，我们可以计算，而对于矩阵，我们可以施行行列初等变换。

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抽象的定义是教学的难点，但只要掌握正确的教学方法和适当的讲课技巧，深刻透彻又全面地讲述定义，并用实际例子加以阐释和应用，抽象的定义也会变得易于理解和掌握。 参考文献：

[1]张禾瑞，郝鈵新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2007

[2]方成鸿.高等代数中向量线性相关内容的教学探讨[J].景德镇高专学报，2007，22（4）：26-27

[3]李乃华.《高等代数》课程教学探讨[J].河北工业大学学报，2010，2（2）：39-42