西尔维斯特的四点问题

西尔维斯特的四点问题

西尔维斯特的四点问题要求的概率

随机抽取的4分在一个平面区域

有一个凸包这是一个四边形(西尔维斯特1865)。根据所选择的方法选择分无限平面上,有许多不同的解

决方案,促使西尔维斯特认为“这问题确定解决方案的不承认”(西尔维斯特Pfiefer 1865;1865)。 点选择从一个开放的、凸的子集飞机在有限的区域的概率是

(1)

在哪里是预期的一个三角形区域/地区和区域的面积是(埃夫隆1965)。请注意,仅仅是一个适当的计算值区域,例如,磁盘三角形挑选,三角形三角形挑选,方形三角

形挑选,等等。

范围之间

可以准确地计算多边形三角挑选使用Alikoski的公式。

(2)

()根据区域的形状,作为第一证明Blaschke(Peyerimhoff Blaschke 1923年,1923)。下表给出了概率为各种简单平面区域(肯德尔和莫兰Pfiefer

1963;1989;克罗夫特et al . 1991页。54-55;Peyerimhoff 1997)。

约。 三角形0.66667 广场0.69444 五角大楼0.70062 六角0.70267 椭圆,磁盘 0.70448 西尔维斯特的问题可以推广到要求的概率凸包的在随机选择的点单位球有顶点。的解决方案

(3)

(金曼1969,1969年Groemer Peyerimhoff 1997),这是任何有界的最大可能凸域。第一个值

(4) (5)

(6)

(7)

(8)

(OEISA051050和A051051).

另一个泛化的概率问道随机选择的点在一个固定的有界凸域是一个凸的顶点百分度。解决方案是

(9)

三角域,也有前几值1,1,1,2/3,11/36,91/900,17/675,…(OEISA004677和A004824),

(10)

一个平行四边形域,头几个值1,1,1,25/36,49/144,121/3600,…(OEISA004936和A005017;1996年Valtr Peyerimhoff 1996)。 西尔维斯特的四点问题一个意想不到的连接直线穿越数图(芬奇2003)。 参

磁盘三角形挑选

选三个点

,,分布式独立和统一单位圆(即。的内部单位圆)。然后的平均面积三角形由这些点

(1)

使用磁盘点选择,这可以写成

(2)

在哪里

(3)

三角替换可以用来消除三角函数和积分分割成

(4)

在哪里

(5)

(6)

然而,最简单的方法来评估使用积分Crofton的公式和极坐标屈服

(7)

unit-radius磁盘(OEISA189511),或

(8)

单位面积磁盘(OEISA093587;Woolhouse所罗门Pfiefer Zinani 1989;1978;1867;2003)。这个问题非常密切相关西尔维斯特的四点问题,可以派生的极限一般多边形三

角挑选问题。

的分布地区,上文所述,显然不清楚。

的概率三个随机点在一个磁盘组成锐角三角形是

(9)

(OEISA093588;Woolhouse 1886)。问题是广义的大厅(1982)维空间球三角挑选和布克塔(1986)给封闭的形式评估大厅的积分。 球三角挑选

的分布区域三角形与随机选出的顶点单位球上面的说明。的平均面积

(1)

(1984年布克塔和穆勒,芬奇1984)。

获取一个概率的决心锐角三角形随机选择三分的单位圆广义的大厅(1982)维空间球。布克塔(1986)随后给封闭的形式评估大厅的积分。让- - -球形成一个锐角三角形,然后

是三分的概率选择独立和统一- - -

(2)

(3)

这些可以组合和写在略微凌乱的封闭形式

(4)

在哪里是一个正则化超几何函数.

前几个是

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(OEISA093756和A093757,OEISA093758和A093759,OEISA093760和A093761),上面绘制。 这个案子参见:

海尔布隆三角形问题

对应于磁盘三角形挑选.

海尔布隆三角形的问题是分在一个磁盘(广场、等边三角形等)单位面积的最大化最小的三角形由点。为点,只有一个三角形,所以

海尔布隆的问题演变成找到最大的三角形,可以由点一个正方形。为为每个配置,有四种可能的三角形,所以问题是找到的配置点的最小的这四个三角形是最大可能的。

对于一个单位平方的头几个最大值最小的三角形区域

对于较大的值,证明最优性是开放的,但最好的已知结果

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)

配置导致的最大最小的三角形上面插图(弗里德曼2006;考米拉和Yebra 2002;d·卡佩尔和m . Beyleveld珀耳斯。通讯,8月16日,2006)。在这里,符号表明多项式的根。

可以看到,对称的解决方案有很多,有大量的最大最小的三角形共享同一区域。

对于单位面积的磁盘,海尔布隆配置到7点的周长是对称的安排。最著名的海尔布隆常数的圆

(弗里德曼2007;d·卡佩尔珀耳斯。通讯,2007年6月18日)。

(28)

(29) (30)

(31)

(32)

(33) (34)

(35) (36)

(37) (38)

(39)

(40) (41)

(42)

(43) (44) (45) (46) (47) (48)

(49)

使用一个等边三角形的单位区域而不是给常量

(弗里德曼2007;d·卡佩尔珀耳斯。通讯,2007年6月18日)。 海尔布隆推测

但Komlos et al。(1981、1982)反驳了这一通过证明

(人1994,p . 243),特别是有常数这样

对于任何和所有足够大。罗斯(1951)显示

施密特(1971/1972)改善

(50)(51)(52)(53)(54)(55)(56)(57)(58)(59)(60)(61)(62)(63)(64)(65)(66)(67)(68)(69)

(70)

(71)

(72)

(73)

(74)

和罗斯进一步改善

(75)

最初用(罗斯1972 ab),后来(罗斯1976;1994,p . 243)。大卫·卡佩尔发现一个启发式上界

(76)

参见:

高斯三角形挑选

芬奇(2010)概述已知结果的随机高斯三角形。

让一个三角形的顶点尺寸是正常的 (正常的)变量。一个高斯三角形的概率尺寸是迟钝的是

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

在哪里为甚至

是γ函数,是超几何函数,是一个不完整的测试功能.

,

(6)

(艾森伯格和沙利文1996)。 最初的几例明确

(7)

(8)

(9)

(10)

(OEISA102519和A102520)。甚至情况因此3/4,15/32,159/512,867/4096,…(OEISA102556和A102557)和奇怪的病例

,9/8,9/8,837/560,…(OEISA102558和A102559).

参见:

三角形三角形挑选

,在那里

找到的问题的意思是一个三角形的顶点选择在一个三角形的面积和单位面积提出了沃森西尔维斯特(1865)和解决。It解决方案是一个特例的一般公式多边形三角挑选.

因为这个问题是仿射通过考虑为简单起见,它可以解决一个等腰直角三角形与单位的腿的长度。集成的三角形的面积公式6个顶点的坐标(和正常化的三角形的面积和区域一体化除以通过统一的积分区域)

在哪里

是三角形面积一个三角形的顶点 ,, .

积分可以解决用计算机代数分解集成区域使用圆柱形代数分解。结果在62个地区,其中30截然不同的积分,每一种都可以直接集成。结合结果然后给结果

(Pfiefer Zinani 1989;1989)。

确切的分布函数

由菲利普派生。

和

是由

(1)(2)

(3)

(4)

(5)

下标1表示该区域在哪里和2表示该地区 .

的生的时刻的中央的时刻参见:

的的

为为

,2,…1/12,1/12,31/9000,1/12,1063/617400,403/264600,…(OEISA103474和A103475). ,2,…0,1/144,61/54000,1/144,9493/66679200,…(OEISA130117和A130118).

Buffon-Laplace针问题

Buffon-Laplace针问题要求找到的概率

协调。通过对称,我们可以考虑一个矩形网格,所以的概率是

针的长度将土地至少一行,因为地板网格的等距的吗平行行距离和分开,

和

。此外,从相反的方向是等价的,我们可以

。针的位置可以指定点

及其取向与

.

(1)

在哪里

(2)

所罗门(Uspensky 1937,p . 1937;1978年,p。4),给予

这个问题首先解决了布冯(1777年,页100 - 104),但他的推导包含一个错误。一个正确的解决方案是由拉普拉斯(1812年,第362 - 359页;拉普拉斯1820年,页365 - 369)。

如果

这

和

的概率,然后针穿过0,1,2线

定义的次数把短针穿过到底行,该变量有一个二项分布与参数和,在那里(帕尔曼和Wichura 1975)。一个点估计量为是由

这是一个一致最小方差无偏估计量方差吗

(帕尔曼和Wishura 1975)。一个估计量为然后由

这已经渐近方差

,为,成为

(OEISA114602).

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(11)

(12)

(10)

上面一组示例试验说明了针的长度

,针交叉0行所示绿色,这些交叉一行所示黄色,和那些相交的两条线是红色所示。

如果飞机而不是瓷砖与全等三角形 , ,和一根针的长度小于最短的高度,针的概率完全包含在一个三角形的

(13)

在哪里 ,,相反的角度 ,,分别为,是区域三角形的。对于一个三角网格组成的等边三角形,这简化了

(14)

(马尔柯夫1912年,页169 - 1912;Uspensky 1937,p . 258)。 参见:

三角网格

三角网格,也称为一个等距网格(加德纳1986,页209 - 210),是一个网格由瓷砖飞机定期与等边三角形。 罗宾斯常数

罗宾斯常数是平均水平距离两点之间随机选取的多维数据集线选择,即

(1)

(2)

(3)

(OEISA073012Le Lionnais;罗宾斯1978年,1983)。 参见:

几何概率

参与几何概率问题的研究,如分布的长度、面积、体积等在规定条件下几何对象。

下表总结了已知结果选择几何对象的边界点或其他几何对象,是罗宾斯常数.

类型的选择 数量 的意思是 分布吗? 点概率已知? 行线选择长度 是的 - - - - - - 等腰三角线选择 长度 - - - - - - 等边三角形三角线选择 长度 是的 - - - - - - 平方线选择长度 - - - - - - 圆线选择长度 是的 - - - - - - 磁盘线选择长度 是的 - - - - - - 四面体��选择长度 ? 是的 - - - - - - 多维数据集线选择长度 - - - - - - 三角形三角形挑选区域 是的 是的 方形三角形挑选区域 五角大楼的三角形挑选区域 六角三角形挑选区域 圆三角形挑选区域 磁盘三角形挑选区域 - - - - - - - - - - - - 四面体三角形挑选立方体三角形挑选区域 区域 ? ? 球三角挑选区域 - - - - - - 球面三角形挑选区域 ? - - - - - - 四面体四面体挑选体积 立方体四面体挑选体积 球四面体挑选体积 球体四面体挑选体积 八面体四面体挑选参见:

体积 ? 行线选择

给定一个单位线段,随机选择两个点。调用第一点和第二点。找到距离的分布点之间。的概率密度函数点是(积极的)距离(即。不考虑顺序)是由

在哪里是δ函数。的分布函数然后由

都是上面绘制。 的生的时刻然后

(Uspensky 1937,p . 1937)生的时刻

(OEISA000217),它仅仅是一个的三角形的数量. 的生的时刻也可以计算直接显性知识的分布

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

的th中央的时刻是由

(28)

的值,3,…然后给出了1/18,1/135,1/135,4/1701,31/20412,…(OEISA103307和A103308).

的的意思是,方差,偏态,峰度因此过剩

(29)

(30)

(31)

(32)

两个点之间的距离的概率分布随机选一个线段问题确定相关计算机硬盘的访问时间。事实上,硬盘的平均访问时间正是寻求在1/3的跟踪所需的时间(本尼迪克特1995年)。 参见: 三角线选择

考虑一条线段的平均长度由随机选出的两个点在任意三角形的内部。这个问题不是仿射的,所以一个简单的公式区域原来三角形的或线性属性显然是不存在的。

然而,如果原三角形是一个选择等腰直角三角形与单位的腿,然后与端点的平均长度内随机给出的

(1)

(2)

(3)

(OEISA093063,Trott m·珀耳斯。通讯,3月10日,2004),这是数值非常接近 .

类似地,如果原来的三角形是一个选择等边三角形单元边长,然后与端点的平均长度内随机给出的

被积函数可以分成四个部分

如前所述,使用对称立即提供和,所以

一些努力,积分和可以分析给最后一个美丽的结果吗

(OEISA093064;e . w . Weisstein,2004年3月16日)。

(4)(5)(6)(7)(8)(9)(11)(12)

(10)

平均随机挑选一条线段的长度3、4、5三角形是由

(13)

(14)

(e . w . Weisstein 8月6 - 9,2010;OEISA180307).

平均随机挑选一条线段的长度30-60-90三角形计算了e . w . Weisstein(2010年8月5日)涉及大笔的对数作为一个复杂的解析表达式。简化后,结果可以写成

(15)

(16)

(e . Weisstein,Trott m .,a . Strzebonski珀耳斯。通讯,2010年8月25日,OEISA180308). 参 平方线选择

随机选取两个点的室内单位平方,它们之间的平均距离的情况下超立方体线选择,也就是说,

(1)

(2)

(3)

(OEISA091505).

是由的精确概率函数

(4)

(m . Trott per。通讯,3月11日,2004年),和相应的分布函数

(5)

从这个,平均距离可以计算,可以吗方差的长度,

(6)

(7)

的统计值是由的根源吗四次方程

(8)

这是大约 .

的届生的时刻了、4、6……1/3,17/90,29/210,29/210,239/207,…(OEISA103304和A103305).

如果,而不是选择两个点的室内广场,两个点在不同的是随机选取的单位平方两点之间的平均距离选择以这种方式

(9)

(10)

(11)

(12)

(OEISA091506;Borwein和贝利2003,p . 25;Borwein et al . 2004年,p . 66)。 参见:

超立方体线选择

让两个点和被随机地从一个单位维空间超立方体。预期的点之间的距离然后

(1)

这多重积分已评估分析只对小的值呢。这个案子对应于行线选择两个随机点之间的时间间隔 .

第一个值

在下表中给出。

斯隆 1 - - - 0.3333333333…… 2 A0915050.5214054331…… 3 A0730120.6617071822…… 4 A1039830.7776656535…… 5 A1039840.8785309152…… 6 A1039850.9689420830…… 7 A1039861.0515838734…… 8 A1039871.1281653402…… 这个函数满足

(2)

(Anderssen et al . 1976年),绘制高于实际值。

Trott m(per。通讯,2005年2月23日)已经设计了一个巧妙的算法减少了

维积分在一维被积函数积分

这样

第一个值

在极限,这些值,2,…给出的* 2/3,6/5,50/21,6/5,74/11,…(OEISA103990和A103991).

这相当于计算盒子积分

在哪里

(贝利et al . 2006年)。 这些给封闭的结果

、2、3、4:

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

在哪里是一个克劳森函数,是加泰罗尼亚的常数,

(16)

的以上情况似乎是首次发表在这里,上面给出的简化形式是由于贝利et al .(2006)。试图减少正交给封闭件的异常单

(17)

(18)

(19)

这似乎难以集成在封闭形式(贝利等。2007年,p . 2007)。

的值参

获得了多维数据集线选择有时被称为罗宾斯常数。

特尼1984 - 85)。

上面的图显示的投影超正方体在立体。 克劳森函数

定义

(1)

(2)

然后定义的克劳森功能

(3)

有时也写为然后克劳森函数

(Arfken 1985,p . 1985)。

可以象征性的吗polylogarithm作为

(4)

为特殊形式的函数

(5)

和,就克劳森的积分

(6)

可和象征性的符号相反的平价,和前几

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

为参见:

(阿布拉莫维茨和Stegun 1972)。

盒子积分

一盒积分维度与参数和被定义为距离的期望从一个固定的点吗的一个点随机抽取的单位多维数据集,

(1)

(贝利et al . 2006年)。 两个特殊情况包括

(2)

(3)

这,,对应于超立方体点选择(以一个固定的顶点)和超立方体线选择,分别。

超立方体点选择的中心

(4)

参

圆线选择

给定一个单位圆围,随机选取两个点,形成了一个和弦。不失一般性,可以作为第一点个点之间

,第二个

,

(通过对称,可以是有限的范围而不是

)。的距离两

(1)

然后给出的平均距离

(2)

的概率密度函数

是获得

(3)

的生的时刻然后

(4)

(5)

(6)

给第一个只有

(7) (8)

(9)

(10)

(11)

(OEISA000984和OEISA093581和A001803),奇怪的是分子OEIS 4倍A061549. 的中央的时刻是

(12)

(13)

(14)

给偏态和峰度作为

(15)

(16)

伯特兰的问题要求概率,一个和弦在一个随意抽出圆的半径长度

参见: 磁盘线选择

.

使用磁盘点选择,

(1)

(2)

为 ,,随机选择两个点单位圆并找到距离的分布在两个点之间。不失一般性,取第一个点和第二点。然后

(3)

(4)

(5)

(6)

(OEISA093070所罗门;Uspensky 1937,p . 258;1978年,36页)。

这是一个特殊情况球线选择与

,所以整个概率函数的磁盘半径

是

(7)

(所罗门1978,p . 1978)。 的生的时刻的直线长度的分布

(8)

(9)

在哪里是γ函数和。的期望值是由,给

(10)

(所罗门1978,36页)。前几分钟

(11) (12)

(13) (14)

(15)

(16)

(OEISA093526和A093527和OEISA093528和A093529)。的时刻是完全的价值这样参见:

加泰罗尼亚的数量

,在那里

这是整数发生在、2、6、15、20、28日,42岁,45岁,66年,…(OEISA014847),而令人惊讶的

是一个加泰罗尼亚的数量(大肠Weisstein,2004年3月30日)。

加泰罗尼亚数字非负整数是一组数字中出现树枚举类型的问题,”有多少种方法可以有规律的百分度分为案是加泰罗尼亚的数字

三角形如果不同方向分别计算?”(欧拉多边形划分问题)。解决方

(聚(1956;Dorrie Honsberger 1956;1973;Borwein贝利,2003年,页21 - 22),如上图形插图(Dickau)。

加泰罗尼亚数字通常表示(Graham et al . 1994;斯坦利1999 b、p。219;Pemmaraju Skiena 2003 p。169;这项工作)(留有和杰克逊1983,p . 111),和一般少和威尔逊1992,p . 136)。

加泰罗尼亚的数字实现Wolfram语言作为CatalanNumber[n]。 最初几个加泰罗尼亚数字

,2,…是1、2、5、14,42岁,132年,429年,1430年,4862年,16796年……(OEISA000108).

显式公式

包括

在哪里是一个二项式系数,是一个的阶乘,是一个双!,是γ函数,是一个超几何函数.

加泰罗尼亚数字可能推广到复平面,正如上文所述。

金额给包括

(van线头

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

在哪里是层功能和一个产品是由

(13)

金额包括包括生成函数

(14)

(15)

(OEISA000108),指数生成函数

(16)

(17)

(OEISA144186和A144187),是一个修改后的第一类贝塞尔函数,以及

(18)

(19)

加泰罗尼亚的渐近状态数量

(20)

(瓦迪1991年,格雷厄姆et al . 1994年)。

小数位数的数字(OEISA114493). 一个递归关系为

为,1,…是1、5、57、598、6015,60199,602051,6020590,……(OEISA114466)。数字收敛到数字的十进制的扩张

是获得

(21)

所以

(22)

Segner的递推公式在1758年由Segner,给出了解决方案欧拉多边形划分问题

(23)

与,上面的递归关系给出了加泰罗尼亚的数量 .

从加泰罗尼亚数的定义,所有的主要因子比这更能说的分解

小于。另一方面,为。因此,是最大的加泰罗尼亚'在做什么和唯一的加泰罗尼亚质数。(当然,

.)

。最初几个因此1,429,9694845,14544636039226909,…(OEISA038003).

只使用数字0,1,2,所以这是极其罕见的长序列的随机以5位数只包含0、1和2。事实上,最后一位奇怪的加泰罗尼亚的

除了1,3,5,7,8。

唯一的奇怪的加泰罗尼亚的数字是的形式奇怪的加泰罗尼亚的数字

结束在5,除非以5扩张

数字是1,5、9、5、9、5、9、7、5、5、5、5、5、…(OEISA0943895),所以是最后一位至少

加泰罗尼亚的数字出现在许多其他相关类型的问题。加泰罗尼亚的数量

也给的数量二进制托架的字母(加泰罗尼亚语的问题),解决方案投票的问题三价的数量平面种植树

行,的数量戴克路径与中风,形成的多种方式倍指数,建立平面二叉

木(Dickau;如上图),可能在一个国家的数量- - - - - -flexagon,不同的对角线可能的数量弗里兹模式与

树的数量内部节点,根面灌木图像的边缘的扩展二叉树与内部节点,山可以用的数量的一击,下行程,不相交握手可能跨之间的圆桌对人(康威和盖1996)! 加泰罗尼亚的泛化数据被定义为

(24)

(25)

为彼得森(Klarner 1970,希尔顿和1970)。通常的加泰罗尼亚数字是一个特殊的例子 .提供的数量必要树与源节点,关联的方法一个给定的应用

)

(希尔顿和他1991)。

必要操作符,把一个凸的方法多边形成不相交的与nonintersecting -gons多边形对角线和的数量p-good路径从(0,

获得进一步概括如下。让是一个整数公式

包括广义约拿的公式

,让与,。然后定义,让的数量是p-good路径(1,)(希尔顿和他1991)。

(26)

显式公式

(27)

一个递归关系是由

(28)

在哪里

投票的问题

, ,,(希尔顿和他1991)。

竞选公职的候选人还有吗

选民,投票给

和为

。在许多方面如何投票,以便计算

前从来都不是

吗?解决方案是一个加泰罗尼亚的数量

假设和

.

一个相关的问题也被称为“的”是让投票问题收到票,票和。这个版本的选票问题要求的概率保持领先随着计票(相熟识的1991)。解决方案是

作为第一所示,m·伯特兰(彼得森希尔顿和1991)。另一个优雅的解决方案是使用所谓的安德烈(1887)提供的安德烈的反射法. 这个问题也可以广义(彼得森希尔顿和1991)。此外,TAK函数是与选举有关的问题(相熟识的1991)。 TAK函数

一个递归函数由竹内。1978年(Knuth 1998)。为整数 ,,,它被定义为

(1)

这可以更简单的描述

(2)

让是“否则”叫的次数在上面的函数。然后为是由

(3)

(4)

(相熟识的1991)。 的竹内的数字是由

.

TAK函数也与投票的问题(相熟识的1991)。 竹内数量

让

一个递归公式

的次数“否则”叫的TAK函数竹内,那么这个数字是由是由

.

在哪里是一个加泰罗尼亚的数量。的值,1,…是0,1,4,14日,53岁,223年,1034年,5221年,28437年……(OEISA000651).

阿克曼函数

阿克曼函数是一个最简单的例子定义良好的总功能这是可计算的但不是原始递归提供一个反例,在1900年代早期,每一个信念可计算函数也原始递归(Dotzel 1991)。它生长速度比指数函数,甚至是多个指数函数。

阿克曼函数被定义为整数和通过

(1)

特殊值整数包括

(2) (3)

(4) (5)

(6)

后者的表达形式电力塔.简单明了的定义。可以得到如下:

(7) (8)

(9) (10) (11)

(12)

(13)

有一个类似的推导:

(14) (15)

(16) (17) (18)

(19) (20) (21)

巴克(1963)定义了一个使用相同的基本相关函数递归关系(在参数下,从巴克的约定)

(22)

但随着稍微不同的边界值

(23) (24) (25)

(26)

赛珍珠的复发了

(27) (28) (29)

(30)

采取给出了序列1、2、4、16,65536年,,……(OEISA014221),而为,1,…然后给了1、3、4、8、65536年,,……(OEISA001695)。在这里,,

这是一个真正巨大的数字! 参

多维数据集线选择

平均距离两点之间随机选取的内部单位立方体(的情况下超立方体线选择),有时被称为罗宾斯常数,是

(1)

(2)

(3)

(OEISA073012Le Lionnais;罗宾斯1978年,1983)。

线长度的概率函数作为函数,上文所述,被发现(几乎)封闭形式的马塔伊et al .(1999)。简化后,纠正错误,完成积分,给出了封闭形式

(4)

第一个甚至生的时刻为,2,…是1,1/2,11/30,211/630,187/525,3524083/6306300,…(OEISA160693和A160694).

选择上的点多维数据集,空间尽可能远。已知连续最低最好的价值行任意两点之间的距离在下表中给出。

5 1.1180339887498 6 1.0606601482100 7 1 8 1 9 0.86602540378463 10 0.74999998333331 11 0.70961617562351 12 0.70710678118660 13 0.70710678118660 14 0.70710678118660 15 0.625 参见:

方形三角形挑选

三分中随机抽取的单位平方,平均区域的三角形由这些点是由多个积分分析

(1)

(2)

在这里,代表了多边形顶点三角形的、2、3,(签名)区域这些三角形的行列式

(3)

(4)

解决方案是首先由Woolhouse(1867)。因为试图做积分的蛮力导致棘手的被积函数,使用计算机代数最好的方法是使用集成的六维地区划分为条件圆柱形代数分解这样的标志不会改变,在每个地区直接做积分,然后结合结果(1998年Trott)。根据集成的顺序变量是有序的,32和4168个地区之间。这些作品是结合的结果

(5)

(Trott Trott Pfiefer Ambartzumian 1987年,1987年,1987年;2006年,页303 - 304)。

一次众所周知,区域差异很容易计算,首先计算生的时刻 ,

(6)

(7)

给

(8)

(9)

(10)

的分布函数为一个随机的三角形的面积镌刻在一个方形给出确切

(11)

(m . Trott per。Trott通讯,2005年1月27日,2006年,p . 306)。给出相应的分布函数

(12)

(菲利普)。

满足美丽的四阶常微分方程

(13)

(m . Trott per。Trott通讯,2005年1月27日,2006年,p . 307)。

这给了美丽的原始公式的时刻作为

(14)

在哪里是一个谐波数,所以原始的时刻,2,…11/144,11/144,137/9000,11/144,363/109760,…(OEISA093158和A093159). ,但前几

,2,…是0,95/20736,75979/186624000,75979/186624000,……(OEISA103281和A103282Trott;2006年,p . 307)。

一个封闭的形式是难以计算的th中央的时刻

一个封闭形式的概率给定的点

躺在一个随机选择三角形也可以获得

(15)

在哪里

(16)

(m . Trott per。Trott通讯,2005年1月31日,2006年,p . 310)。这是表达式是有效的和,表现在整个单位广场由对称

(17)

正如所料,这个表达式满足

(18)

在单位广场随机选择三分,并表示三个点形成一个的概率钝角三角形通过。朗格弗德(1969)证明

(19)

(20)

(OEISA093072). 参见:

圆三角形挑选

随机选择三分的周长单位圆并找到生成的三角形区域的分布取决于这三个点。 第一点可以被指定坐标

不失一般性。呼叫中心的角度从第一点第二和第三

和

。的范围

可以限制

因为对称,但是

��范围可以从

。然后

所以

因此,

但

写(10),

然后

和

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)

(12)

(13)

(14)

从(12),

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

所以

(20)

同时,

(21)

(22)

(23)

(24)

所以

(25)

结合(◇)和(◇)

(26)

(OEISA093582). 第一个几分钟

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(OEISA093583和A093584和OEISA093585和A093586). 方差因此给出的

(33)

三角形的内部的概率取决于上的随机选出的三分周长一圈包含原点的1/4。 参见: 球三角挑选

的分布区域三角形与随机选出的顶点单位球上面的说明。的平均面积

(1)

(1984年布克塔和穆勒,芬奇1984)。

获取一个概率的决心锐角三角形随机选择三分的单位圆广义的大厅(1982)维空间球。布克塔(1986)随后给封闭的形式评估大厅的积分。让- - -球形成一个锐角三角形,然后

是三分的概率选择独立和统一- - -

(2)

(3)

这些可以组合和写在略微凌乱的封闭形式

(4)

在哪里是一个正则化超几何函数.

前几个是

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(OEISA093756和A093757,OEISA093758和A093759,OEISA093760和A093761),上面绘制。 这个案子参见

四面体四面体挑选

对应于磁盘三角形挑选.

预期的体积的四面体与顶点随机选择在另一个四面体单位体积的

(1)

(2)

(OEISA093525布克塔和Reitzner 1992;Mannion 1994;1997年施耐德,p。170;布克塔和Reitzner Zinani 2001;2001)。

这提供了一种反证的猜想是一个解决这个问题有理数(1/57已被克罗夫特建议et al . 1991年,54页),并呈现过时所罗门的声明,“显式值随机点对于地区如四面体、六面体,等等,显然没有成功地计算”(所罗门1978,p . 1978)。

此外,布克塔和Reitzner(2001)给出一个明确的预期的体积公式凸包的在三维点随机选取的单纯形对任意的 . 立方体四面体挑选

鉴于内随机抽取的4分单位立方体,平均体积的四面体由这些点是由决定

(1)

在哪里多面体的顶点位于在哪里,……4、(签名)体积给出的行列式

(2)

积分计算是极其困难的。分析的结果是

(3)

(OEISA093524;Zinani 2003)。注意,结果引用回复Seidov(2000)实际上指的是平均体积四面体四面体挑选. 参见:

球体四面体挑选

拿4分在一个球体。的概率是多少四面体在这些点多面体的顶点包含了中心球的吗?在一维情况下,第二个点的概率是1/2的对面是1/2。在二维情况下,选两个点。为了第三形成

三角形包含中心,它必须躺在象限平分的线段穿过的中心圆的平分线两点。这是一个象限,这样的概率是1/4。同样的,为一个球体的概率是1八分仪,或1/8。

随机选择4分表面上的单位球使用

(1)

(2)

(3)

。现在发现可能的分布卷(非正规的)四面体由这些点。不失一般性,可以作为第一点

。平均体积然后

与和,或,而第二个可能作为,或

(4)

(5)

顶点位于哪里在哪里,……4、(签名)体积给出的行列式

(6)

分析的结果是很难计算,但给出的

(7)

(1971英里,海因里希et al . 1998年,芬奇2011)。的生的时刻甚至可以计算更容易吗,给

(8)

(9)

(10)

(11)

参