专题01 锐角三角函数在圆中的应用
1、如图，△ABC内接于⊙O．
（Ⅰ）如图①，连接OA，OC，若∠B＝28°，求∠OAC的度数；
（Ⅱ）如图②，直径CD的延长线与过点A的切线相交于点P．若∠B＝60°，⊙O的半径为2，求
AD，PD的长．
解：（Ⅰ）∵∠AOC＝2∠ABC，∠B＝28°，
∴∠AOC＝56°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴；
1
（Ⅱ）如图②，
连接OA．
∵PA与⊙O相切于点A，
∴PA⊥OA，
∵∠AOC＝2∠ABC，∠B＝60°，
∴∠AOC＝120°．
∴∠POA＝60°，
又OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD＝OA＝2，
2
∵∠PAO＝90°，
∴∠P＝30°．
在Rt△PAO中，PO＝2OA＝4，
∴PD＝PO﹣OD＝2．
2、如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，P是的中点，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若AC＝5，sin∠APC＝，求AP的长．
（1）证明：∵P是的中点，
∴＝，
∴∠PAD＝∠PAB，
3
∵OA＝OP，
∴∠APO＝∠PAO，
∴∠DAP＝∠APO，
∴AD∥OP，
∵PD⊥AD，
∴PD⊥OP，
∴DP是⊙O的切线；
（2）解：连接BC交OP于E，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵P是的中点，
∴OP⊥BC，CE＝BE，
∴四边形CDPE是矩形，
4
∴CD＝PE，PD＝CE，
∵∠APC＝∠B，
∴sin∠APC＝sin∠APC＝＝，
∵AC＝5，
∴AB＝13，
∴BC＝12，
∴PD＝CE＝BE＝6，
∵OE＝AC＝，OP＝，
∴CD＝PE＝﹣＝4，
∴AD＝9，
∴AP＝＝＝3．
5
3、如图1所示，以点M（﹣1，0）为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A，B，C，D，与⊙M相切于点H的直线EF交x轴于点E（﹣5，0），交y轴于点F（0，
）．
（1）求⊙M的半径r；
（2）如图2所示，连接CH，弦HQ交x轴于点P，若cos∠QHC＝，求的值；
（3）如图3所示，点P为⊙M上的一个动点，连接PE，PF，求PF+PE的最小值．
解：（1）如图1，连接MH，
6
∵E（﹣5，0），F（0，﹣），M（﹣1，0），∴OE＝5，OF＝，EM＝4，
∴在Rt△OEF中，tan∠OEF＝＝，
∴∠OEF＝30°，
∵EF是⊙M的切线，
∴∠EHM＝90°，
∴sin∠MEH＝sin30°＝，
∴MH＝ME＝2，
7
即r＝2；
（2）如图2，连接DQ、CQ，MH．
∵∠QHC＝∠QDC，∠CPH＝∠QPD，
∴△PCH∽△PQD，
∴，
由（1）可知，∠HEM＝30°，
∴∠EMH＝60°，
∵MC＝MH＝2，
∴△CMH为等边三角形，
∴CH＝2，
8
∵CD是⊙M的直径，
∴∠CQD＝90°，CD＝4，
∴在Rt△CDQ中，cos∠QHC＝cos∠QDC＝，
∴QD＝CD＝3，
∴；
（3）连MP，取CM的点G，连接PG，则MP＝2，G（﹣2，0），
∴MG＝CM＝1，
∴，
又∵∠PMG＝∠EMP，
9
∴△MPG∽△MEP，
∴，
∴PG＝PE，
∴PF+PE＝PF+PG，
当F，P，G三点共线时，PF+PG最小，连接FG，即PF+PE有最小值＝FG，
在Rt△OGF中，OG＝2，OF＝，
∴FG＝＝＝．
∴PF+PE的最小值为．
4、如图，⊙O的直径AB＝10，弦BC＝，点P是⊙O上的一动点（不与点A、B重合，且与
点C分别位于直径AB的异侧），连接PA，PC，过点C作PC的垂线交PB的延长线于点D．
（1）求tan∠BPC的值；
（2）随着点P的运动，的值是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的值；
10
（3）运动过程中，AP+2BP的最大值是多少？请你直接写出它来．
解：（1）连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝2，
∴AC＝＝4，
∴tan∠BPC＝tan∠BAC＝＝；
（2）的值不会发生变化，理由如下：
11
∵∠PCD＝∠ACB＝90°，
∴∠1+∠PCB＝∠2+∠PCB，
∴∠1＝∠2，
∵∠3是圆内接四边形APBC的一个外角，
∴∠3＝∠PAC，
∴△CBD∽△CAP，
∴＝，
在Rt△PCD中，＝tan∠BPC＝，
∴＝＝；
（3）由（2）知BD＝AP，
∴AP+2BP
＝2（AP+BP）
12
＝2（BD+BP）
＝2PD
＝，
由tan∠BPC＝，得：cos∠BPC＝，
∴AP+2BP＝PC≤AB＝10
．
，
∴AP+2BP的最大值为10
5、在图1至图3中，⊙O的直径BC＝30，AC切⊙O于点C，AC＝40，连接AB交⊙O于点D，连接CD，P是线段CD上一点，连接PB．
（1）如图1，当点P，O的距离最小时，求PD的长；
（2）如图2，若射线AP过圆心O，交⊙O于点E，F，求tanF的值；
13
（3）如图3，作DH⊥PB于点H，连接CH，直接写出CH的最小值．
解：（1）如图1，连接OP，
∵AC切⊙O于点C，
∴AC⊥BC．
∵BC＝30，AC＝40，
∴AB＝50．
由，
即，
解得CD＝24，
14
当OP⊥CD时，点P，O的距离最小，此时．
（2）如图2，连接CE，
∵EF为⊙O的直径，
∴∠ECF＝90°．
由（1）知，∠ACB＝90°，
由AO2＝AC2+OC2，得（AE+15）2＝402+152，
解得．
∵∠ACB＝∠ECF＝90°，
∴∠ACE＝∠BCF＝∠AFC．
又∠CAE＝∠FAC，
15
∴△ACE∽△AFC，
∴．
∴．
（3）CH的最小值为．
解：如图3，以BD为直径作⊙G，则G为BD的中点，DG＝9，∵DH⊥PB，
∴点H总在⊙G上，GH＝9，
∴当点C，H，G在一条直线上时，CH最小，
此时，，，
即CH的最小值为．
16
6、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，
D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：AD2＝AB•AF；
（3）若BE＝8，sinB＝，求AD的长，
解：（1）如图1，连接OD，则OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
17
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；
（2）如图2，
连接OD，DF，EF，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠AFE＝90°＝∠C，
∴EF∥BC，
∴∠B＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠ADF，
18
∴∠B＝∠ADF，
由（1）知，∠BAD＝∠DAF，
∴△ABD∽△ADF，
∴，
∴AD2＝AB•AF；
（3）如图3，
连接OD，由（1）知，OD⊥BC，
∴∠BDO＝90°，
设⊙O的半径为R，则OA＝OD＝OE＝R，
∵BE＝8，
∴OB＝BE+OE＝8+R，
在Rt△BDO中，sinB＝，
∴sinB＝＝
，
19
∴R＝5，
∴AE＝2OE＝10，AB＝BE+2OE＝18，
连接EF，由（2）知，∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C＝90°，
∴sin∠AEF＝sinB＝，
在Rt△AFE中，sin∠AEF＝＝＝，
∴AF＝
由（2）知，AD2＝AB•AF＝18×＝，
∴AD＝＝．
20
7、如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为BC延长线一点，且BC＝CD，CE⊥AD于点E．
（1）求证：直线EC为圆O的切线；
（2）设BE与圆O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，
①求证：PC2＝PF•PA
②若PC＝5，PF＝4，求sin∠PEF的值．
证明：（1）∵CE⊥AD于点E，
21
∴∠DEC＝90°，
∵BC＝CD，
∴C是BD的中点，
又∵O是AB的中点，
∴OC是△BDA的中位线，
∴OC∥AD，
∴∠OCE＝∠CED＝90°，
∴OC⊥CE，
又∵点C在圆上，
∴CE是圆O的切线；
（2）①连接AC，
22
∵OC⊥CE，
∴∠ECO＝90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ECO，
∴∠ECA＝∠OCB，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝∠ACE，
∵∠ABF＝∠ACF，
∴∠OBC﹣∠ABF＝∠ACE﹣∠ACF，
∴∠EBC＝∠ECF，且∠EBC＝∠CAP，
∴∠ECF＝∠CAP，且∠CPF＝∠CPA，
∴△PCF∽△PAC，
∴
23
∴PC2＝PF•PA
②∵AB是直径，点F在圆上，
∴∠AFB＝∠PFE＝90°＝∠CEA，
∵∠EPF＝∠EPA，
∴△PEF∽△PAE，
∴
∴PE2＝PF•PA
∴PE＝PC
在直角△PEF中，sin∠PEF＝．
8、如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点G，E是CD上一点，且BE＝DE，延长EB至点P，连接CP，使PC＝PE，延长BE与⊙O交于点F，连结BD，FD．
（1）连结BC，求证：△BCD≌△DFB；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
24
（3）若tanF＝，AG﹣BG＝，求ED的值．
解：（1）证明：因为BE＝DE，
所以∠FBD＝∠CDB，
在△BCD和△DFB中：
∠BCD＝∠DFB
∠CDB＝∠FBD
BD＝DB
所以△BCD≌△DFB（AAS）．
（2）证明：连接OC．
25
因为∠PEC＝∠EDB+∠EBD＝2∠EDB，
∠COB＝2∠EDB，
所以∠COB＝∠PEC，
因为PE＝PC，
所以∠PEC＝∠PCE，
所以∠PCE＝∠COB，
因为AB⊥CD于G，
所以∠COB+∠OCG＝90°，
所以∠OCG+∠PEC＝90°，
即∠OCP＝90°，
所以OC⊥PC，
26
所以PC是圆O的切线．
（3）因为直径AB⊥弦CD于G，
所以BC＝BD，CG＝DG，
所以∠BCD＝∠BDC，
因为∠F＝∠BCD，tanF＝，
所以∠tan∠BCD＝＝，
设BG＝2x，则CG＝3x．
连接AC，则∠ACB＝90°，
由射影定理可知：CG2＝AG•BG，
所以AG＝，
因为AG﹣BG＝，
所以，
27
解得x＝，
所以BG＝2x＝，CG＝3x＝2，
所以BC＝，
所以BD＝BC＝，
因为∠EBD＝∠EDB＝∠BCD，
所以△DEB∼△DBC，
所以，
因为CD＝2CG＝4，
所以DE＝．
9、如图1，在直角坐标系中，直线l与x、y轴分别交于点A（2，0）、B（0，）两点，∠BAO的角平分线交y轴于点D．点C为直线l上一点，以AC为直径的⊙G经过点D，且与x轴交于另一点
E．
（1）求出⊙G的半径r，并直接写出点C的坐标；
28
（2）如图2，若点F为⊙G上的一点，连接AF，且满足∠FEA＝45°，请求出EF的长？
解：（1）连接GD，EC．
∵∠OAB的角平分线交y轴于点D，
∴∠GAD＝∠DAO，
∵GD＝GA，
∴∠GDA＝∠GAD，
∴∠GDA＝∠DAO，
∴GD∥OA，
∴∠BDG＝∠BOA＝90°，
∵GD为半径，
29
∴y轴是⊙G的切线；
∵A（2，0），B（0，），
∴OA＝2，OB＝，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB＝＝＝设半径GD＝r，则BG＝﹣r，
∵GD∥OA，
∴△BDG∽△BOA，
∴＝，
∴r＝2（﹣r），
∴r＝，
∵AC是直径，
∴∠AEC＝∠AOB＝90°，
30
∴EC∥OB，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EC＝2，AE＝，
∴OE＝2﹣＝，
∴C的坐标为（，2）；
（2）过点A作AH⊥EF于H，连接CE、∵AC是直径，
∴AC＝2×＝
∴∠AEC＝∠AFC＝90°
∵∠FEA＝45°
∴∠FCA＝45°
，31
CF
∴在Rt△AEH中，
由勾股定理可知：AF＝CF＝，
设OE＝a
∴AE＝2﹣a
∵CE∥OB
∴△ACE∽△ABO
∴＝，
∴CE＝2，
∵CE2+AE2＝AC2，
∴22+（2﹣a）2＝
∴a＝或a＝（不合题意，舍去）
∴AE＝
32
∴在Rt△AEH中，
由勾股定理可得，AH＝EH＝，
∴在Rt△AEH中，
由勾股定理可知：FH2＝AF2﹣AH2＝（）2﹣（）2＝2，
∴FH＝，
∴EF＝EH+FH＝．
10、如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（3，4），P为线段OA上一动点，过O，P，B
33
三点的圆交x轴正半轴于点C，连结AB，PC，BC，设OP＝m．
（1）求证：当P与A重合时，四边形POCB是矩形．
（2）连结PB，求tan∠BPC的值．
（3）记该圆的圆心为M，连结OM，BM，当四边形POMB中有一组对边平行时，求所有满足条件的m的值．
（4）作点O关于PC的对称点O'，在点P的整个运动过程中，当点O'落在△APB的内部（含边界）时，请写出m的取值范围．
解：（1）∵∠COA＝90°
∴PC是直径，
∴∠PBC＝90°
∵A（0，4）B（3，4）
34
∴AB⊥y轴
∴当A与P重合时，∠OPB＝90°
∴四边形POCB是矩形
（2）连结OB，（如图1）
∴∠BPC＝∠BOC
∵AB∥OC
∴∠ABO＝∠BOC
∴∠BPC＝∠BOC＝∠ABO
∴tan∠BPC＝tan∠ABO＝
（3）∵PC为直径
35
∴M为PC中点
①如图2，当OP∥BM时，延长BM交x轴于点N
∵OP∥BM
∴BN⊥OC于N
∴ON＝NC，四边形OABN是矩形
∴NC＝ON＝AB＝3，BN＝OA＝4
设⊙M半径为r，则BM＝CM＝PM＝r
∴MN＝BN﹣BM＝4﹣r
∵MN2+NC2＝CM2
∴（4﹣r）2+32＝r2
解得：r＝
∴MN＝4﹣
∵M、N分别为PC、OC中点
36
∴m＝OP＝2MN＝
②如图3，当OM∥PB时，∠BOM＝∠PBO
∵∠PBO＝∠PCO，∠PCO＝∠MOC
∴∠OBM＝∠BOM＝∠MOC＝∠MCO
在△BOM与△COM中
∴△BOM≌△COM（AAS）
∴OC＝OB＝＝5
∵AP＝4﹣m
37
∴BP2＝AP2+AB2＝（4﹣m）2+32
∵∠ABO＝∠BOC＝∠BPC，∠BAO＝∠PBC＝90°
∴△ABO∽△BPC
∴
∴PC＝
∴PC2＝BP2＝[（4﹣m）2+32]
又PC2＝OP2+OC2＝m2+52
∴[（4﹣m）2+32]＝m2+52
解得：m＝或m＝10（舍去）
综上所述，m＝或m＝
38
（4）∵点O与点O'关于直线对称
∴∠PO'C＝∠POC＝90°，即点O'在圆上
当O'与O重合时，得m＝0
当O'落在AB上时，则m2＝4+（4﹣m）2，得m＝
当O'与点B重合时，得m＝
∴0≤m≤或m＝
11、如图F为⊙O上的一点，过点F作⊙O的切线与直径AC的延长线交于点D，过圆上的另一点B作AO的垂线，交DF的延长线于点M，交⊙O于点E，垂足为H，连接AF，交BM于点G．
（1）求证：△MFG为等腰三角形．
（2）若AB∥MD，求证：FG2＝EG•MF．
39
（3）在（2）的条件下，若DF＝6，tan∠M＝，求AG的长．
（1）证明：连接OF．
∵DM是⊙O的切线，
∴DM⊥OF，
∴∠MFG+∠OFA＝90°，
∵BM⊥AD，
∴∠AHG＝90°，
∴∠OAF+∠AGH＝90°，
∵OF＝OA，
∴∠OFA＝∠OAF，
∵∠MGF＝∠AGH，
40
∴∠MFG＝∠AGF，
∴MF＝MG，
∴△MFG是等腰三角形．
（2）证明：连接EF．
∵AB∥DM，
∴∠MFA＝∠FAB，
∵∠FAB＝∠FEG，∠MFG＝∠MGF，
∴∠FEG＝∠MFG，
∵∠EGF＝∠MGF，
∴△EGF∽△FGM，
∴＝，
∴FG2＝EG•GM，
∵MF＝MG，
41
∴FG2＝EG•MF．
（3）解：连接OB．
∵∠M+∠D＝90°，∠FOD+∠D＝90°，
∴∠M＝∠FOD，
∴tanM＝tan∠FOD＝＝，
∵DF＝6，
∴OF＝8，
∵DM∥AB，
∴∠M＝∠ABH，
∴tanM＝tan∠ABH＝＝，
∴可以假设AH＝3k，BH＝4k，则AB＝BG＝5k，GH＝k，AG＝k，在Rt△OHB中，∵OH2+BH2＝OB2，
∴（8﹣3k）2+（4k）2＝82，
42
解得k＝，
∴AG＝．
12、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，连接AC，过弧BD上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE．
（1）求证：△ECF∽△GCE；
（2）求证：EG是⊙O的切线；
（3）延长AB交GE的延长线于点M，若，求EM的值．
（1）证明：如图1中，
43
∵AC∥EG，
∴∠G＝∠ACG，
∵AB⊥CD，
∴＝，
∴∠CEF＝∠ACD，
∴∠G＝∠CEF，
∵∠ECF＝∠ECG，
∴△ECF∽△GCE；
（2）证明：如图2中，连接OE，
44
∵GF＝GE，
∴∠GFE＝∠GEF＝∠AFH，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵∠AFH+∠FAH＝90°，
∴∠GEF+∠AEO＝90°，
∴∠GEO＝90°，
∴GE⊥OE，
∴EG是⊙O的切线．
（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．
45
在Rt△AHC中，tan∠ACH＝tan∠G＝，
∵AH＝3，
∴HC＝4，
在Rt△HOC中，∵OC＝r，OH＝r﹣3，HC＝4，∴（r﹣3）2+（4）2＝r2，
∴r＝，
∵GM∥AC，
∴∠CAH＝∠M，
∵∠OEM＝∠AHC，
∴△AHC∽△MEO，
46
∴＝，
∴＝，
∴EM＝．
13、如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，F是CD上一点，且BF＝DF，延长FB至点P，连接CP，使PC＝PF，延长BF与⊙O交于点G，连结BD，GD．
（1）连结BC，求证：CD＝GB；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）若tanG＝，且AE﹣BE＝，求FD的值．
解：（1）∵BF＝DF，
∴∠BDF＝∠DBF，
47
在△BCD与△DGB中，
，
∴△BCD≌△DGB（AAS），
∴CD＝GB；
（2）如图1，连接OC，
∵∠COB＝2∠CDB，∠CFB＝∠CDB+∠DBF＝2∠CDB，∴∠COB＝∠CFB，
∵PC＝PF，
∴∠COB＝∠CFB＝∠PCF，
∵AB⊥CD，
48
∴∠COB+∠OCE＝90°，
∴∠PCF+∠OCE＝∠PCO＝90°，
∴OC⊥CP，
∵OC是半径，
∴PC是⊙O的切线；
（3）如图2，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB⊥CD，
∴＝，
49
∴∠BDE＝∠A＝∠G，
∵tanG＝，
∴tanA＝，即AE＝3DE，
同理可得：DE＝3BE，
∴AE﹣BE＝3DE﹣DE＝，
解得：DE＝，
∴CD＝2DE＝2，
∴BE＝＝，
∴BD＝＝，
∵∠BCD＝∠FDB，∠BDC＝∠FBD，
∴△BCD∽△FDB，
∴，
50
∵BC＝BD，
∴FD＝＝＝．
51
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容