湖南省怀化市2019-2020学年下学期高一年级期末考试数学试卷

湖南省怀化市2019-2020学年下学期高一年级期末考试数学试卷

一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析.在这个问题中，5000 名学生成绩的全体是

A.总体 B.个体 C.从总体中抽取的一个样本 D.样本的容量 2.设是第三象限角，且tan1,则cos= A.-

2211 B. C.  D. 

22223. 同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是

A.至少有1枚正面和最多有1枚正面 B.最多1枚正面和恰有2枚正面 C.至多1枚正面和至少有2枚正面 D.至少有2枚正面和恰有1枚正面

4.某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100 分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x+ y的值为

A.7 B.8 C.9 D.10

4则sin()cos() 31177A. B.  C.  D.

6618185.若sincos6.如图所示，用两种方案将块顶角为120°， 腰长为2的等腰三角形钢板OAB裁剪成扇形，设方案一、二的扇形的面积分别为S1，S2，周长分别为l1，l2，则

A.S1=S2，l1>l2 B.S1=S2, l1S2,l1=l2 D.S17.已知f(x)3sin2020xcos2020x的最大值为A ,若存在实数x1，x2，使得对任意的实数x，总有f(x1)f(x)f(x2)成立，则Ax1x2的最小值为

 C. D.

2020101050540408.将函数f(x)cos2x图象向左平移若函数（0)个单位后得到函数g(x)的图象，

2g(x)在区间[,]上单调递减， 且函数g(x)的最大负零点在区间(,0)上，则的取

666A.

 B.

值范围是 A. [

二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是

A.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

B.连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀 C.某种福利彩票的中奖概率为

,] B(,) C. (,] D. (,]

434364431，那么买1000张这种彩票一定 能中奖 1000D.某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是:该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水 10.给出下列结论，其中真命题为 A.若a0,ab0,则b0

B.向量a、b为不共线的非零向量，则(ab)ab C.若非零向量a、b满足abab，则a与b垂直

D.若向量a，b是两个互相垂直的单位向量，则向量a+b与ab的夹角是

2222 211.已知∆ABC的面积为3,在∆ABC所在的平面内有两点P，Q,满足2PAPC0,QA2QB，记∆APQ的面积为S，则下列说法正确的是 A. PB//CQ B. BP21BABC C. PAPC0 D.S=2 33

12.某学生对函数f(x)xsinx进行研究后，得出如下结论，其中正确的是 A.函数f(x)是偶函数 B.函数f(x)在[,]上单调递增 22C.存在常数M>0，使|f(x)Mx对切实数x都成立 D.点(,0)是函数y= f(x)图象的一个对称中心

三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在学习强国平台上的学习积分依次为35,35,40, 38,52, 则这5名党员教师学习积分的方差为_______________ 14.已知向量a=(2,1), b=(x, -2),若ab,则ab____

15.甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是_______

16.如图，在∆OCB中，点A是BC的中点，点D是靠近点B将OB分成2:1的一个分点，DC和OA交于点E,设OA=a, OB=b

(1)用a,b表示向量DC____; (2)若OEOA,则____

四、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)

已知角的项点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(,) (1)求sin的值; (2)若锐角满足sin

18.(本小题满分12分)

35455，求cos()的值. 13

某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据:

当b20时，求回归直线方程ybxa;

(2)预计在今后的销售中，销量与单价服从(1) 中的关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元? (利润= 销售收入-成本)

19.(本小题满分12分)

已知函数f(x)Asin(x)(A0,0,)的一段图象如图所示.



(1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)若x[

20. (本小题满分12分)

已知向量m(cosx,sinx),n(cosx,sinx)， 函数f(x)mn3,]，求函数f(x)的值域. 841 2(1)若f()1,x(0,),求tan(xx24)的值:

(2)若f()1372,(,)sin,(0,), 求2+的值 102410221.(本小题满分12分)

某中学有初中学生1800人，高中学生1200人为了解全校学生本学期开学以来(60天)的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生\"按学生的课外阅读时间(单位:小时)各分为5组: [0,10)，[10,20)， [20,30), [30,40),[40,50]，得其频率分布直方图如图所示.

(1)估计全校学生中课外阅读时间在[30,40)小时内的总人数是多少:

(2)从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率; (3)国家规定:初中学生平均每人每天课外阅读时间不小于半小时若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间.根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生课外阅读时间? 22.(本小题满分12分)

将函数ysinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的象向左平移

1倍(纵坐标不变)，再将所得的图2个单位长度后得到函数f(x)的图象. 6(1)写出函数f(x)的解析式;

(2)求实数a和正整数n，使得F(x)f(x)a在[0,n]上恰有2020个零点.

数学答案

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号 答案

4.解：由茎叶图可知，甲班学生成绩的众数是85，所以x＝5. 乙班学生成绩的中位数

是83，所以y＝3，所以x＋y＝5＋3＝8. 答案：B

1 A 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 8 B D 416712sincos，则sincos， 39187又sin()cos()sincos

18π6.解：∵△AOB为顶角为120，腰长为2的等腰三角形，∴AB30，OD1，

6ππ方案一中扇形的周长l12224，

632π2π方案二中扇形的周长l2111， 2331ππ方案一中扇形的面积S122，

263122ππ方案二中扇形的面积S21，

2335.解：由题意，sincos所以S1S2，l1l2．故选A． 7.解：f(x)则T3sin2020xcos2020x2sin(2020x6),

2,A=2 202010101A|x1x2|2

210101010π)个单位 28.解：将函数f(x)cos2x图象向左平移(0得到函数g(x)cos(2x2)图象，

π20ππππ3若函数g(x)在区间[,]上单调递减，则，得①，

6663π2π3g(x)cos(2x2)0，则2x2kππ(kZ)， 2

求得xkππ(kZ)， 24πππ,0)上，∴0， 664π5πππ求得②，由①②求得的取值范围为(,]．

41243根据函数g(x)的最大负零点在区间(

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的五个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

题号 答案 9 AB 10 CD 11 12 BCD AC 10.解：对于A，若a0，ab0，则b0或ab，所以该命题是假命题；

对于B，ab|a||b|cos=|a|2|b|2cos2，而(a)(b)=|a||b|，

222222由于a、b为不共线的非零向量，所以cos21，所以(ab)(a)(b)，

222所以该命题是假命题；

对于C，若非零向量a、b满足|ab|2|a|2|b|2，a2b22aba2b2，所以

ab0，则a与b垂直，所以该命题是真命题．

对于D，以a和b为邻边作平行四边形是正方形，则ab和ab所在的对角线互相垂直，

所以向量ab与ab的夹角是

，所以该命题是真命题； 211.解：如图：B是AQ的中点，P是AC的一个三等分点，

故A错，C对；

121因为BPBAAPBA(BCBA)BABC，

333故B对；

因为

SAPQSABC112ABh32，所以，S2，故D对。 213ABh212.解：对于A， 函数fxxsinxfx,易知fx是偶函数, A正确。 对于B，由于fx是偶函数,因此fxxsinx在对于C，取M1即可说明结论是正确的; 对于D，

B错； ,上不可能单调递增，

22f, 223f233,ff.故点,0不是函数222yfx图像的一个对称中心.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.

541981；14．(2,1)；15．； 16．（1）DC2ab (2分) ；（2）（3分）．

552314.解：∵a∥b,∴2×(-2)-x=0,∴x=-4.∴a+b=(2,1)+(-4,-2)=(-2,-1).

15.解：有4种情况：都住1号房；都住2号房；甲住1号房乙住2号房；甲住2号房乙住

1号房．则甲乙两人各住一间房的概率是

1． 216.解：（1）因为点A是BC的中点，所以OA1(OBOC)， 2所以OC2OAOB2ab，

又点D是靠近点B将OB分成2：1的个内分点，所以OD所以DCOCOD(2ab)2OB， 325b2ab． 33（2）因为C，E，D三点共线，所以存在实数，使得ECDC，

又ECOCOE(2ab)a(2)ab，DC2a5b， 3

所以(2)ab2a5b， 3224又a，b不共线，则，解得． 5153四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：（1）由角的终边过点P(,)，得sin35454 …………… 3分 5343555512因为为锐角，sin，所以cos…….……… 8分

1313

3124516……10分 cos()coscossinsin()()51351365

118.解：（1）根据表中数据，计算x(88.28.48.68.89)8.5，

6（2）由角的终边过点P(,)，得cos …….………6分

1y(908483807568)80 ……………………. 3分

6且b20，aybx80(20)8.5250，

ˆ20x250 …………………. 6分 y关于x的线性回归方程为y（2）设工厂获得的利润为L元，

则Lx(20x250)5(20x250)20(x该产品的单价应定为

35元时，工厂获得的利润最大 ……………………. 12分 4352)281.25…………10分 4

13T()882，T 19. 解：（1）可知A=2，因为2所以把点(22，此时f(x)2sin(2x) T3,2)代入得：2()2k，2k， 88243又||，故

43) …………………. 3分 得f(x)2sin(2x432k2x2k,kZ， 242

5kxk,kZ 885k,k],kZ ………. 6分 ∴函数f(x)的单调增区间为[88335,] ,2x[0,] (2)x[844435当2x即x时，fmin(x)2； 4443即x时，fmax(x)2； 当2x428函数f(x)的值域为[2,2] …………………. 12分

20.解：(1) 因为向量m(cosx,sinx),n(cosx,sinx),

所以f(x)m.n111cos2xsin2xcos2x, ………… 2分 2221,2

……………………… 4分

因为f()1,所以cosx 又因为,X(0,),所以xx23 所析以tan(x)tan()434tan3tan423…………6分

1tan3tan4(2)若f()1113,则cos2,即cos2 102105334因为(,· 8分 ),所以2(,),所以sin21cos22

2425因为sin

722,(0,),所以cos1sin2…………… 10分 10210

3524722(), 105102故cos(2)cos2cossin2sin()又因为2(,所以23),(0,),所以2(,2), 227 …………………. 12分 4180060名，

1800120021.解：（1）由分层抽样知，抽取的初中生有100高中生有1006040名，

初中生中，阅读时间在30,40小时内的频率为

1(0.0050.030.040.005)100.20，

所有的初中生中，阅读时间在

30,40小时内的学生约有0.21800360人；

同理，高中生中，阅读时间在30,40小时内的频率为

1(0.0050.0250.0350.005)100.30，

学生人数约有0.301200360人，

该校所有学生中，阅读时间在30,40小时内的学生人数 约有360360720人．…………………. 4分

（2）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，至少抽到2名初中生”为

事件A，

初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005100.05，样本人数为

0.05603人；

高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005100.05，样本人数为

0.05402人 ……………………. 6分

记这3名初中生为A、B、C，这2名高中生为d、e，

则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，所有可能结果共10种， 即：ABC，ABd，ABe，ACd，ACe，Ade，BCd，BCe，Bde，Cde， 而事件A的结果有7种，它们是：ABC，ABd，ABe，ACd，ACe，BCd，BCe，

至少抽到2名初中生的概率为PA7 ……………………. 9分 10(3) 初中生平均每阅读时间=5×0.05+15×0.3+25×0.4+35×0.2+45×0.05=24(小时)，60×0.5=30（小时），

因为24<30，该校需要增加初中学生课外阅读时间 ……………………. 12分 22.解：（1）把函数ysinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的

得到函数ysin2x的图象，再向左平移

1倍， 2π个单位长度后得到函数6ππf(x)sin[2(x)]sin(2x)的图象，

63π故函数f(x)的解析式为f(x)sin(2x) …………………. 4分

3

（2）因为F(x)f(x)a在[0,nπ]上恰有2020个零点，

故函数f(x)的图象与ya在[0,nπ]上有2020个交点 ………………. 5分 当x[0,π]时，2xππ7π[,]， 333①当a1或a1时，函数f(x)的图象与ya在[0,nπ]上无交点； ②当a1或a1时，函数f(x)的图象与ya在[0,π]上仅有一个交点，

此时要使得函数f(x)的图象与ya在[0,nπ]上有2020个交点，则

n2020 ……………………. 7分

③当1a33或a1时，函数f(x)的图象与ya在[0,π]上2个交点， 22此时要使得函数f(x)的图象与ya在[0,nπ]上的交点个数为2020， 则n1010 ……………………. 9分 ④当a3时，函数f(x)的图象与ya在[0,π]上3个交点，此时要使得函数f(x)的图2象与ya在[0,nπ]上有2020个交点，此时n值不存在 ………………. 11分 综上可得，当a1或a1时，n2020;当1a33或a1时,则

22n1010 ……………………. 12分