概率论与数理统计实验_传染病传播问题

概率论与数理统计实验_传染病传播

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传染病传播问题

传染病是人类共同的敌人. 小到流感、病毒性肝炎，大到霍乱、天花、艾滋病、非典型性肺炎等，危害着人们的健康，扰乱了人们正常的工作和生活，同时也侵蚀着人类大量的财富. 因此建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，预报传染病高峰的到来，及时控制传染病的传播是非常重要的事情，一直是各国政府和科学家关注的课题. 以下探讨几类传染病数学模型，对传染病相关的问题做出相应的回答.

注：（1）这里不从医学的角度分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播机理建立几种数学模型；

（2）讨论问题的前提是假定在疾病的传播期内，所考察地区的总人数不变（总人数为N）.

解：假设 (1) t时刻健康者和病人在总人数中所占的比例分别为s(t),i(t). 另外, i(0)i0；

(2) 每个病人每天有效接触的平均人数为常数. 称日接触率，即当病人与健康者有效接触时，使健康者感染变成病人. 根据假设，有

di(t)NNs(t)i(t)dt s(t)i(t)1i(0)i0故可得

di(t)i(t)[1i(t)] dt （1）

i(0)i0得到

1 (2) i(t)1t1i1e0这个模型可以用于传染病的前期（对于传染较快的病），早期预报传染病

高峰的到来.

di1）i(t)~t曲线表示传染病的传染曲线；~t曲线表示传染病的上升率与时

dt间的关系，医学上称为传染病曲线.

i10.80.60.40.2t€€€€€€€0.060.050.040.030.020.01didt20406080100 1

20406080100t 图 图

2) 求i(t)的一阶导数：

这里已经把i0

代入到i(t)的表达式. 再输入

did2i 回到i(t)的表达式(2), 再求i(t)的二阶导数, 令20，求出函数的极大

dtdt值点,

1ai0Log[]ai0}} {{t},{t1t11lni1 （3）

01 2再代入i(t)的表达式，得即已求出 i*1di 时，达到最大值. 即传染病的上升率达到最大，这个时刻是

dt21t11ln1i. 0说明：病人在这个时刻增加得最快，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门特别关注的时刻.

3）从（3）式可知t1与成反比. 日接触率标志着该地区的卫生水平，越小，卫生水平越高. 而越小，t1越大，传染病爆发的时刻就会越迟. 所以改善保健设施，采取有效的隔离措施，降低日接触率，可以推迟传染病高峰的到来.

4）由（2）式可知，当t时，i(t)1. 这就意味着所有的人都将被传染，处于生病状态. 这是不符合实际情况的. 事实上，传染病人经治疗后，或者痊愈，因而具有免疫力；或者死亡；所以最终病人的比例数i(t)应该趋于零，即当t时，i(t)0. 由此可见，需要重新修改模型假设，再建立数学模型.

感染--治愈 假设：

(1) 与感染模型相同； (2) 与感染模型相同；

(3) 病人可以治愈. 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例，称为日治愈

1率. 病人治愈后仍可成为被感染的健康者，所以是这种传染病的平均传染期.

由假设（3）可知

di(t)s(t)i(t)i(t)dt s(t)i(t)1i(0)i0

2

di(t)i(t)[1i(t)]i(t)故可得 dt （4）

i(0)i0di(t)i2(t)()i(t)变换得 dt （5）

i(0)i0此方程为贝努利方程，

et()ai0{{i [t]-> t}} tte()(ee)ai011t 当 ei(t)i0当时，上式不是方程的解，应从原方程出发求解.

(t)dii2(t) （6） dti0i0可以利用分离变量法求解.

ai0{{i[t]->}}

1tai011即 t为当时的解. 所以方程组的解为： i(t)i0得到

11et当时；i0 it （7）

11t当时i0分析：

定义： 从和

1 （8） 接触数.

1）作出it~t曲线图，分析病人数的变化规律. 首先求出it的极限，讨论极端情况. 因为

111，当1； （9） limitt0，当1=, 这里有两条it~t曲线, 都是1的情形. 上面一条是i0=, =时的图形. 从图可见, =时的图形; 下面一条是i0虽然i0不同, 但it在t趋于无穷时有相同的极限13

1的定义可知，是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为

.

i10.8ai0=0.680.60.4ai0=0.00120.2t20406080100120140 图

这是i0

i0.60.50.40.30.20.10=, =时的it~t曲线.

20406080100120140t图

2）接触数1是一个阈值. 当1时，病人比例it越来越小，最终趋于零. 说明传染期内，每个病人有效接触的平均人数不超过一个人，最终导致使健康者变为病人的数量不超过病人数. 当1时，病人比例it的增减性取决于初

1始病人数i0的大小. 当t时，i(t)1.

1从上式分析可知越大，1越大，即：病人比例it随的增加而增加.

相反，增大治愈率，减少接触率，（即：降低的取值）其实际意义就是要提高医疗水平和保健水平，可以降低传染病的传播，避免传染病的爆发.

3）特殊情况：当1,0时，相当于 ,(当t时)的情况. 即：随着天数t的无限增大，接触数无限增大，将导致所有的人都成为病人. 这也就是模型(一)的情况.

感染--治愈--免疫

考虑大多数传染病治愈后有很强的免疫力. 所以病愈的人既非健康者又非病人，被免疫的人数不再传染别人，别人也不会传染他们，他们已经退出传染系统. 另外死亡者也看作是退出传染系统.

假设：

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（1）人群分为健康者、病人和移出者三类. 三类人在总人数N中占的比例分别记作st,it,rt，三者之间满足条件：stitrt1；

（2）病人的日接触率为，病人的日治愈率为，传染期接触数为由假设（2）可知

NdiNstitNit dt. drNit， dt记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0(0),i00，移出者的初始值

对移出者应有 Ndidtstititds （10） r00.则得到： stitdti0i0,s0s0这是非齐次非线性的微分方程组，难以求出精确的解析解.

(0)=时的i(t)~t, s(t)~t, r(t)~t 曲线. 结果为 图, 图, 图三个图形. 这是=, =, i

si0.20.150.10.055010015020025030010.80.60.40.2 图 图

i0.50.40.3t50100150200250300t r0.80.60.40.250100150200250300t0.20.1 图 图 0.10.20.30.40.50.6s 图

在理论上可以根据方程组的特点，先确定it与st之间的关系，然后再利用i,s的关系，确定it. 将（10）式前两个方程左右两边分别相除得：

di111 （11） dssis0i05

利用分离变量容易得到方程（11）的精确解

1sislnsi0s0 （12）

s01di(t)0 . 分析：由（11）式可知，当s时，

ds11didi容易验证：当s 时，0；当s时，0.

dsds图形中箭头表示随时间t的增加st和it的变化趋势. 根据图形分析可知，当t时，s(t)s;it0;rtr. 由此可得到如下结论：

(1) 无论初始条件s0,i0如何，病人终将消失. 即：当t时，it0. (2) 最终未被感染的健康者的比例是limsts. 在（12）式中，令i0可

t得s满足的方程：

s0i0s1lns0 （13） s01故s是方程（13）式在0,内的单根.

11 (3) 若s0，则it先增加. 当s时，it达到最大值为

1ims0i01lns0. 然后it减少且趋于零. st则单调减少趋于s.

1（4）若s0，则it单调减少趋于零，st则单调减少趋于s.

结果：由上述分析可以得知：

(1)如果仅当病人比例it有一段增长的时期才认为传染病在蔓延，这时一个阈值. 当s011是

时，传染病就会蔓延，而当提高阈值（即：减少传染期内接

1触数），使s0(2) ss所以当s01，传染病就不会蔓延.

1是传染期内一个病人传染健康者的平均数，故s称为交换数.

时，即有s01时，必有s1. 说明：传染期内交换数不超过1人，病人比例it不会增加，传染病不会蔓延.

(3) 从表达式可知，日接触率越小，日治愈率越大，则接触数越小，此时有助于控制传染病的蔓延. 提高卫生水平和医疗水平是控制和降低传染病蔓延的最有效途径.

(4) 在上述模型中，可以由实际数据估计得到：利用（13）式（一般i0很

lns0lns小，可忽略不计），可得，其中s0和s可在传染病结束时，由

s0s6

统计数据获得. 或者，在医学上对血样作免疫检验也可以根据对检验有无反应，估计出s0和s.

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