微分中值定理及其应用

第六章 微分中值定理及其应用

§ 1 拉格朗日定理和函数的单调性

一 罗尔定理与拉格朗日定理

数学分析研究的基本对象是定义在实数集上函数的性质，而研究函数性质的最重要工具之一就是微分中值定理，微分中值定理主要指拉格朗日中值定理。

一． 极值概念：

1． 回忆极值的概念和可微极值点的必要条件:

定理 ( Fermat ) 设函数f在点x0的某邻域内有定义，且在点x0可导，若点x0为f的极值点，则必有 f(x0)0罗尔中值定理：若函数f满足如下条件：

（i）f在闭区间[a，b]上连续；（ii）f在开区间（a，b）内可导；（iii）f(a)f(b)， 则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f（ξ）=0。

证明：因为f在［a,b］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，现分两种情况讨论：(i)若M = m , 则 f在［a,b］上必为常数，从而结论显然成立。

(ii)若m ＜ M，则因 f(a)=f(b)，使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f的极值点，由条件(ii) f在点ξ处可导，故由费马定理推知f()=0.

注1：罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。

注2：习惯上把结论中的ξ称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立。

xx,|x|1例如： F(x)0,2x1

1,1x2易见，F在x=-1不连续，在x=±1不可导，F(-2)≠F（2）, 即罗尔定理的三个条件均不成立，但是在（-2，2）内存在点 ξ, 满足 F()0

注3：罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个，例如：

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x4sin21,x0xf(x)在 [-1，1] 上满足罗尔定理的条件，显然

0,x04x3sin2f(x)0,x01x2x2sin1xcos1x在（-1，1）内存在无限多个 cn =

12n(nz) 使

得f(cn)=0。

2、拉格朗日（Lagrange）中值定理：若函数 ƒ满足如下条件：i)ƒ在闭区间[a,b]上连续；ii）ƒ在开区间(a,b)内可导；则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f()f(b)f(a)ba

证明此定理要构造辅助函数 F(x)，使得F(x)满足罗尔定理的条件（i）-(iii) 且

F(x)f(x)f(b)f(a)ba，从而推得F(x)f(x)f(a)f(b)f(a)ba(xa)

f(b)f(a)ba(xa),x[a,b]

证明：作辅助函数F(x)f(x)f(a)显然，F（a）=F(b)（=0），且F在[a，b]上满足罗尔定理的另两个条件，故存在点 ξ(a，b)，使得F()f()f(b)f(a)ba0 即 f()f(b)f(a)ba

注1°罗尔定理是拉格朗日中值定理f(a)f(b)时的特例

注2°几何意义：在满足拉格朗日中值定理条件的曲线yf(x)上至少存在一点该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB，我们在证明中引入的P(,f())，

辅助函数F(x)，正是曲线 yf(x) 与直线AB,yf(a)f(b)f(a)ba(xa)之差，

事实上，这个辅助函数的引入相当于坐标系统原点在平面内的旋转，使在新坐标系下，

线段AB平行于新х轴（F（a）=F（b））。

注3°此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。

注4°拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用：

f(b)f(a)f()(ba),(a,b) f(b)f(a)f[a(ba)](ba),(0,1)

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f(ah)f(a)f(ah)h,(0,1)

注5°拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关，并不彼此独立，因为：f在（a,b）可导可以推出ƒ在（a，b）连续，但反之不成立。把这两个条件的“重叠”部分去掉，改成“函数f(x)在（a，b）可导且f(x)在a右连续在b左连续”这样，两个条件互相独立，但文字累赘且不便记忆，因此一般不这样叙述。

3、拉格朗日中值定理的几个重要推论

推论1 函数f(x)在区间I上可导且f(x)0,  f(x)为I上的常值函数. 证明： 任取两点 x1,x2I（设x1x2），在区间 [x1,x2] 上应用拉格朗日中值定理，存在 ξ（x1,x2）I，使得f(x2)f(x1)f()(x2x1)0

推论2 函数f(x)和g(x)在区间I上可导且f(x)g(x),  f(x)g(x)c,

xI.

推论3（导数极限定理）设函数f在点x0的某邻域U（x0）内连续，在U°（x0）内可导，且极限limf(x)存在，则f在点x0可导，且f(x0)limf(x)

xx0xx0证明：分别按左右导数来证明上式成立 （1） 任取xuξ(xo,x)，使得

0(x0)，f(x)在[xo,x]上满足拉格朗日中值定理条件，则存在

f()由于x0＜ξ＜x，因此当xx0时随之有ξ→

f(x)f(x0)xx0x0，对上式两边取极限，使得 f(x)lim0xx0f(x)f(x0)xx0limf()f(x00)

xx0（2）同理可得f(x0)f(x00)因为lim000xx0f(x)=k存在，所以

f(x0)=f(x0)=k，从而f(x)f(x)k即f(x)k

00注1°由推论3可知：在区间I上的导函数f(x)在I上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，不可能出现第一类间断点。

注2°导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。

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推论4 ( 导函数的介值性 ) 若函数f在闭区间[a,b]上可导, 且

f(a)f(b)0,

 (a,b),  f()0. ( 证 )

1． 单调性判法：

Th 1 设函数f(x)在区间(a,b)内可导. 则在(a,b)内f(x)↗(或↘) 在(a,b)内f(x)0 ( 或0 ). 证明：必要性

f(x)f(x0)xx00f(x0)0

充分性 f(x2)f(x1)f()(x2x1)0例 设 f(x)x3x 讨论它的单调区间。 解f(x)3x21(3x1)(3x1)，x(,13131313),f 在I 上递增。

f(x)0,f(x),

x[,),f(x)0,f(x)，x[,),f(x)0,f(x)

例 2 求函数 f(x)2x39x212x3 的单调区间。

Th 2 设函数f(x)在区间(a,b)内可导. 则在(a,b)内f(x)严格↗( 或严格↘)  ⅰ） 对x(a,b), 有f(x)0 ( 或0); ⅱ） 在(a,b)内任子区间上f(x)0. 例 证明不等式 ex1x 证明： 设 f(x)ex1xxf(x)e1

x0 时 f(x)0

x0时f(x)f(0)0

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