郎溪县一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

一、选择题

1． 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2 A．30° B．60° C．120° D．150° 2． 已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为两切点,那么PAPB 的最小值为

A、42 B、32 C、422 D、322

3． 若函数y=f（x）是y=3x的反函数，则f（3）的值是（ ） A．0

B．1

C．

D．3

，则“f[f（a）]=1“是“a=1”的（ ）

B．必要不充分条件

sinB，则A=（ ）

4． 已知f（x）=A．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件

5． 过抛物线y2=﹣4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），若x1+x2=﹣6，则|AB|为（ ） A．8

B．10

C．6

D．4

6． 下列命题正确的是（ ）

A．很小的实数可以构成集合.

B．集合y|yx21与集合x,y|yx21是同一个集合. C．自然数集 N中最小的数是. D．空集是任何集合的子集.

7． 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（ ） A．100 B．150 C．200 D．250 8． 已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=A．

B．

C．

D．

；当x＜4时f（x）=f（x+1），则f（2+log23）=（ ）

9． 如果命题p∨q是真命题，命题￢p是假命题，那么（ ） A．命题p一定是假命题 C．命题q一定是真命题

B．命题q一定是假命题

D．命题q是真命题或假命题

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10．已知点A（0，1），B（﹣2，3）C（﹣1，2），D（1，5），则向量A．

B．﹣

C．

D．﹣

在方向上的投影为（ ）

11．设a是函数

A．f（x0）=0 B．f（x0）＜0 C．f（x0）＞0

x的零点，若x0＞a，则f（x0）的值满足（ ）

D．f（x0）的符号不确定

12．设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＜0}=（ ） A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|0＜x＜4}

二、填空题

13．在等差数列{an}中，a12016，其前n项和为Sn，若

S10S82，则S2016的值等于 . 108【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，对等差数列性质也有较高要求，属于中等难度. 14．等差数列{an}的前项和为Sn，若a3a7a116，则S13等于_________.

15．双曲线x2﹣my2=1（m＞0）的实轴长是虚轴长的2倍，则m的值为 ．

16．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系为 ． 17．命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为 ．

18．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数fxxlnx4的零点在区间

k1内，则正整数k的值为________． k，三、解答题

19．在直角坐标系xOy中，过点P（2，﹣1）的直线l的倾斜角为45°．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极

2

坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsinθ=4cosθ，直线l和曲线C的交点为A，B．

（1）求曲线C的直角坐标方程； （2）求|PA|•|PB|．

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20．已知函数f（x0=

．

（1）画出y=f（x）的图象，并指出函数的单调递增区间和递减区间； （2）解不等式f（x﹣1）≤﹣．

21．已知函数f(x)(xk)ex（kR）． （1）求f(x)的单调区间和极值； （2）求f(x)在x1,2上的最小值．

（3）设g(x)f(x)f'(x)，若对k,及x0,1有g(x)恒成立，求实数的取值范围．

22

22．（本小题满分12分）已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 (sinAsinB)(ba)sinC(3bc). （Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ） 若a2，ABC的面积为3，求b,c.

35第 3 页，共 14 页

23．已知函数

（1）求实数a，b的值； （2）求函数f（x）的值域．

24．已知函数f（x）=

（a＞0）的导函数y=f′（x）的两个零点为0和3． （a≠0）是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），

（1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）若函数f（x）的极大值为

，求函数f（x）在区间[0，5]上的最小值．

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郎溪县一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A 【解析】解：∵sinC=2

22∵a﹣b=

sinB，∴c=2

=b，

=

bc，∴cosA=

∵A是三角形的内角 ∴A=30° 故选A．

【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题．

2． 【答案】D.

PAPBt1【解析】设POt，向量PA与PB的夹角为，，cos12sin22sin21t，

22PAPBt223(t1)，依不等式PAPB的最小值为223.

t3． 【答案】B

【解析】解：∵指数函数的反函数是对数函数， ∴函数y=3x的反函数为y=f（x）=log3x， 所以f（9）=log33=1． 故选：B．

1222PAPBPAPBcos(t1)(1)(t1)，，t2t2【点评】本题给出f（x）是函数y=3x（x∈R）的反函数，求f（3）的值，着重考查了反函数的定义及其性质，属于基础题．

4． 【答案】B

【解析】解：当a=1，则f（a）=f（1）=0，则f（0）=0+1=1，则必要性成立， 若x≤0，若f（x）=1，则2x+1=1，则x=0， 若x＞0，若f（x）=1，则x﹣1=1，则x=

2

，

即若f[f（a）]=1，则f（a）=0或，

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22

若a＞0，则由f（a）=0或1得a﹣1=0或a﹣1=22即a=1或a=

， ，

+1，解得a=1或a=，

若a≤0，则由f（a）=0或1得2a+1=0或2a+1=即a=﹣，此时充分性不成立，

即“f[f（a）]=1“是“a=1”的必要不充分条件， 故选：B．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据分段函数的表达式解方程即可．

5． 【答案】A

【解析】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=1，

2

∵抛物线y=﹣4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点

∴|AB|=2﹣（x1+x2）， 又x1+x2=﹣6

∴∴|AB|=2﹣（x1+x2）=8 故选A

6． 【答案】D 【解析】

试题分析：根据子集概念可知，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以选项D是正确，故选D.

考点：集合的概念；子集的概念. 7． 【答案】A

【解析】解：分层抽样的抽取比例为总体个数为3500+1500=5000， ∴样本容量n=5000×故选：A．

8． 【答案】A

【解析】解：∵3＜2+log23＜4，所以f（2+log23）=f（3+log23） 且3+log23＞4

∴f（2+log23）=f（3+log23）

=100．

=

，

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=

故选A．

9． 【答案】D

【解析】解：∵命题“p或q”真命题，则命题p与命题q中至少有一个命题为真命题， 又∵命题“非p”也是假命题， ∴命题p为真命题． 故命题q为可真可假． 故选D

【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握复合命题真值表是解答本题的关键．

10．【答案】D 【解析】解：∵∴

在

方向上的投影为

=；

=

．

故选D．

【点评】考查由点的坐标求向量的坐标，一个向量在另一个向量方向上的投影的定义，向量夹角的余弦的计算公式，数量积的坐标运算．

11．【答案】C

【解析】解：作出y=2和y=log

x

x的函数图象，如图：

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由图象可知当x0＞a时，2∴f（x0）=2故选：C．

12．【答案】D

﹣log

＞logx0，

x0＞0．

【解析】解：∵偶函数f（x）=2x﹣4（x≥0），故它的图象 关于y轴对称，

且图象经过点（﹣2，0）、（0，﹣3），（2，0）， 故f（x﹣2）的图象是把f（x）的图象向右平移2个 单位得到的，

故f（x﹣2）的图象经过点（0，0）、（2，﹣3），（4，0）， 则由f（x﹣2）＜0，可得 0＜x＜4， 故选：D．

【点评】本题主要考查指数不等式的解法，函数的图象的平移规律，属于中档题．

二、填空题

13．【答案】2016

14．【答案】26 【解析】

试题分析：由题意得，根据等差数列的性质，可得a3a7a113a76a72，由等差数列的求和

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S1313(a1a13)13a726．

2

考点：等差数列的性质和等差数列的和． 15．【答案】 4 ．

222

【解析】解：双曲线x﹣my=1化为x﹣

=1，

22

∴a=1，b=，

∵实轴长是虚轴长的2倍，

22

∴2a=2×2b，化为a=4b，即1=，

解得m=4． 故答案为：4．

【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键．

16．【答案】 平行 ．

【解析】解：∵AB1∥C1D，AD1∥BC1，

AB1⊂平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，AB1∩AD1=A C1D⊂平面BC1D，BC1⊂平面BC1D，C1D∩BC1=C1 由面面平行的判定理我们易得平面AB1D1∥平面BC1D 故答案为：平行．

【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法．

17．【答案】﹣2≤a≤2

2

【解析】解：原命题的否定为“∀x∈R，2x﹣3ax+9≥0”，且为真命题， 则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立， 只需△=9a﹣4×2×9≤0，解得：﹣2

2

≤a≤2．

故答案为：﹣2≤a≤2

【点评】存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．

18．【答案】2

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【解析】

三、解答题

19．【答案】

222

【解析】（1）∵ρsinθ=4cosθ，∴ρsinθ=4ρcosθ，…

∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，

2

∴曲线C的直角坐标方程为y=4x …

（2）∵直线l过点P（2，﹣1），且倾斜角为45°．∴l的参数方程为

22

代入 y=4x 得t﹣6

（t为参数）．…

t﹣14=0…

设点A，B对应的参数分别t1，t2 ∴t1t2=﹣14… ∴|PA|•|PB|=14．…

20．【答案】

【解析】解：（1）图象如图所示：由图象可知函数的单调递增区间为 （﹣∞，0），（1，+∞）， 丹迪减区间是（0，1） （2）由已知可得

或，

解得x≤﹣1或≤x≤， 故不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪ [，

]．

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【点评】本题考查了分段函数的图象的画法和不等式的解集的求法，属于基础题．

21．【答案】（1）f(x)的单调递增区间为(k1,)，单调递减区间为(,k1)，

f(x)极小值f(k1)ek1，无极大值；（2）k2时f(x)最小值f(1)(1k)e，2k3时f(x)最小值f(k1)ek1，k3时，f(x)最小值f(2)(2k)e2；（3）2e.

【解析】

（2）当k11，即k2时，f(x)在1,2上递增，∴f(x)最小值f(1)(1k)e；

2当k12，即k3时，f(x)在1,2上递减，∴f(x)最小值f(2)(2k)e；

当1k12，即2k3时，f(x)在1,k1上递减，在k1,2上递增， ∴f(x)最小值f(k1)ek1．

x（3）g(x)(2x2k1)e，∴g'(x)(2x2k3)e，

x第 11 页，共 14 页

由g'(x)0，得xk当xk3， 23时，g'(x)0； 23当xk时，g'(x)0，

233∴g(x)在(,k)上递减，在(k,)递增，

223k3故g(x)最小值g(k)2e2，

23k3335又∵k,，∴k0,1，∴当x0,1时，g(x)最小值g(k)2e2，

2222∴g(x)对x0,1恒成立等价于g(x)最小值2e又g(x)最小值2e∴(2ek32k32；

k3235对k,恒成立．

22)mink，故2e．1

考点：1、利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值；2、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用. 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.本题（2）就是根据这种思想讨论函数单调区间的. 22．【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理及已知条件有b2a23bcc2， 即b2c2a23bc. 3分

b2c2a23A(0,)A 由余弦定理得：cosA. 6分 ，又，故62bc21 （Ⅱ） ABC的面积为3，bcsinA3，bc43①， 8分

2 又由（Ⅰ）b2a23bcc2及a2,得b2c216，② 10分 由 ①②解得b2,c23或b23,c2. 12分

23．【答案】

【解析】解：（1）∵函数∴

，

是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）

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∵a≠0，∴﹣x+b=﹣x﹣b，∴b=0（3分） 又函数f（x）的图象经过点（1，3）， ∴f（1）=3，∴∴a=2（6分）

（2）由（1）知当x＞0时，即

时取等号（10分）

，∴

，即

时取等号（13分）

（12分）

，当且仅当

（7分） ，

，∵b=0，

当x＜0时，当且仅当

综上可知函数f（x）的值域为

【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，转化函数研究性质是问题的关键．

24．【答案】

【解析】解：f′（x）=

2

令g（x）=﹣ax+（2a﹣b）x+b﹣c

2

函数y=f′（x）的零点即g（x）=﹣ax+（2a﹣b）x+b﹣c的零点 2

即：﹣ax+（2a﹣b）x+b﹣c=0的两根为0，3

则解得：b=c=﹣a，

令f′（x）＞0得0＜x＜3

所以函数的f（x）的单调递增区间为（0，3）， （2）由（1）得：

函数在区间（0，3）单调递增，在（3，+∞）单调递减， ∴∴a=2，

，

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∴； ，

∴函数f（x）在区间[0，4]上的最小值为﹣2．

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