科）
一．选择题
2
1．（6分）集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R|x﹣3x＞0}，则A∩B=（） A． {3，4，5} B． {4，5，6} C． {x|3＜x≤6} D． {x|3≤x＜6} 2．（6分）下列命题中，真命题是 （） A． ∃x0∈R，使得 B． sinx+
2
≥3（x≠kπ，k∈Z）
x
2
C． 函数f（x）=2﹣x有两个零点 D． a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件 3．（6分）已知三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为（）
A． B． C． D． 6 4．（6分）f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（） A． f（x﹣1）一定是奇函数 B． f（x﹣1）一定是偶函数 C． f（x+1）一定是奇函数 D． y=f（x+1）一定是偶函数
5．（6分）已知函数
，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，现从A中任
取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）=0的概率为（） A．
B．
C．
D．
6．（6分）运行如如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）
A． 1008 C． 1007 D． ﹣1007
2
7．（6分）已知抛物线C：y=4x，点P（m，0），O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，则实数m的取值范围是（） A． （4，8） B． （4，+∞） C． （0，4） D． （8，+∞） 8．（6分）设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数P，定义函数fp（x）=
2
B． 2015
，则称函数fp（x）为 f（x）的“P界函数”．若给定函数f（x）
=x﹣2x﹣1，p=2，则下列结论不成立的是（）
A． fp=f B． fp=f C． f=fp
2
D． f=fp
9．（6分）已知函数g（x）=a﹣x（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）
A． B． C． D．
（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望．
18．已知函数
（1）求函数f（x）在上的单调递减区间； （2）△ABC中，
的最大值为2．
，角A，B，C所对的边分别是
a，b，c，且C=60°，c=3，求△ABC的面积． 19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点． （I）证明：平面EAC⊥平面PBD；
（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．
20．（13分）已知数列{an}中，a1=1，an+1=
（I）求证：数列{a2n﹣}是等比数列；
（II）若Sn是数列{an}的前n项和，求满足Sn＞0的所有正整数n．
21．（13分）已知离心率为
的椭圆
的右焦点F是圆（x﹣1）+y=1
2
2
的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M、N两点． （1）求椭圆的方程；
（2）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标．
22．（13分）已知函数f（x）=
﹣ax（x＞0且x≠1）．
（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；
（2）若∃x1，x2∈，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．
湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2015届高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析
一．选择题
2
1．（6分）集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R|x﹣3x＞0}，则A∩B=（） A． {3，4，5} B． {4，5，6} C． {x|3＜x≤6} D． {x|3≤x＜6}
考点： 交集及其运算． 专题： 计算题．
分析： 根据所给的两个集合，整理两个集合，写出两个集合的最简形式，再求出两个集合的交集．
解答： 解：∵集合A={x∈N|x≤6}={0，1，2，3，4，5，6}，
2
B={x∈R|x﹣3x＞0}={x∈R|x＜0或x＞3} ∴A∩B={4，5，6}． 故选B．
点评： 本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法．化简A、B两个集合，是解题的关键． 2．（6分）下列命题中，真命题是 （） A． ∃x0∈R，使得 B． sinx+
2
≥3（x≠kπ，k∈Z）
x
2
C． 函数f（x）=2﹣x有两个零点 D． a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件
考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 简易逻辑．
x
分析： A．∀x∈R，e＞0，即可判断出正误； B．取x=
x
，则sinx+
2
2
=1﹣2=﹣1＜3，即可判断出正误；
C．f（x）=2﹣x有3个零点，其中两个是2，4，另外在区间（﹣1，0）内还有一个，即可判断出正误；
D．a＞1，b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如：取a=4，b=，满足ab＞1，但是b＜1，即可判断出正误．
x
解答： 解：A．∀x∈R，e＞0，因此是假命题； B．取x=
x
，则sinx+
2
2
=1﹣2=﹣1＜3，因此是假命题；
C．f（x）=2﹣x有3个零点，其中两个是2，4，另外在区间（﹣1，0）内还有一个，因此共有3个，是假命题；
D．a＞1，b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如：取a=4，b=，满足ab＞1，但是b＜1，因此a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件，是真命题． 故选：D．
点评： 本题考查了简易逻辑的判定方法、函数零点的判定方法、不等式的性质、指数函数的性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3．（6分）已知三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为（）
A． B． C． D． 6
考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题；图表型．
分析： 由三视图及题设条件知，此几何体为一个正三棱柱，其高已知，底面正三角形的高已知，由此可先求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．
解答： 解：如图将三棱柱还原为直观图，由三视图知，三棱柱的高为4， 设底面连长为a，则故体积故答案为C．
，∴a=6． ．
点评： 本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱柱的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的2015届高考中有加强的可能． 4．（6分）f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（） A． f（x﹣1）一定是奇函数 B． f（x﹣1）一定是偶函数 C． f（x+1）一定是奇函数 D． y=f（x+1）一定是偶函数
考点： 正弦函数的图象．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 由条件可得x=1是函数f（x）的一条对称轴，故函数y=f（x+1）为偶函数，从而得出结论．
解答： 解：∵函数f（x）在x=1处取最大值， ∴x=1是函数f（x）的一条对称轴，
将函数f（x）向左平移1个单位，得到函数f（x+1）的图象，此时函数关于y轴对称， 则函数y=f（x+1）为偶函数， 故A、B、C都不正确， 故选：D．
点评： 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据函数最值和对称轴之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．
5．（6分）已知函数
，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，现从A中任
取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）=0的概率为（） A．
B．
C．
D．
考点： 三角函数的化简求值；等可能事件的概率． 专题： 计算题．
分析： 对于m值，求出函数的值，然后用排列组合求出满足f（m）•f（n）=0的个数，以及所有的个数，即可得到f（m）•f（n）=0的概率． 解答： 解：已知函数
，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
现从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）=0 m=3，9时
，满足f（m）•f（n）=0的个数为m=3时8个
m=9时8个，n=3时8个，n=9时8个，重复2个，共有30个． 从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）的值有72个， 所以函数
，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
=
，
从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）=0的概率为：
故选A．
点评： 本题考查概率的应用，排列组合的应用，注意满足题意，不重复不要漏，考查计算能力． 6．（6分）运行如如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）
A． 1008 C． 1007 D． ﹣1007
考点： 程序框图．
专题： 图表型；算法和程序框图．
k﹣1
分析： 程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）•k，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值，利用并项求和求得S． 解答： 解：执行程序框图，有 k=1，S=0
满足条件n＜2015，S=1，k=2； 满足条件n＜2015，S=﹣1，k=3； 满足条件n＜2015S=2，k=4； 满足条件n＜2015S=﹣2，k=5； 满足条件n＜2015S=3，k=6； 满足条件n＜2015S=﹣3，k=7； 满足条件n＜2015S=4，k=8； …
观察规律可知，有
满足条件n＜2015S=1006，k=2012； 满足条件n＜2015S=﹣1006，k=2013； 满足条件n＜2015S=1007，k=2014； 满足条件n＜2015，S=﹣1007，k=2015；
不满足条件n＜2015，输出S的值为﹣1007． 故选：D．
点评： 本题考查了循环结构的程序框图，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值是解答本题的关键，属于基础题．
2
7．（6分）已知抛物线C：y=4x，点P（m，0），O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，则实数m的取值范围是（）
B． 2015
A． （4，8） B． （4，+∞） C． （0，4） D． （8，+∞）
考点： 抛物线的简单性质． 专题： 计算题．
2
分析： 求出以OP为直径的圆的方程，y=4x代入整理，利用在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，即可求出实数m的取值范围．
解答： 解：以OP为直径的圆的方程为（x﹣）+y=
2
2
2
2
，
y=4x代入整理可得x+（4﹣m）x=0， ∴x=0或x=m﹣4，
∵在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°， ∴m﹣4＞0， ∴m＞4， 故选：B．
点评： 本题考查抛物线、圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础． 8．（6分）设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数P，定义函数fp（x）=
2
，则称函数fp（x）为 f（x）的“P界函数”．若给定函数f（x）
=x﹣2x﹣1，p=2，则下列结论不成立的是（） A． fp=f B． fp=f C． f=fp
考点： 分段函数的应用．
专题： 新定义；函数的性质及应用．
分析： 由于函数f（x）=x﹣2x﹣1，p=2，求出f2（x）=对选项一一加以判断，即可得到答案．
2
解答： 解：∵函数f（x）=x﹣2x﹣1，p=2， ∴f2（x）=
，
2
D． f=fp
，再
∴A．fp=f2（﹣1）=2，f=f（﹣1）=1+2﹣1=2，故A成立；
B．fp=f2（﹣2）=2，f=f（﹣2）=4+4﹣1=7，故B不成立； C．f=f（﹣1）=2，fp=f2（﹣1）=2，故C成立； D．f=f（2）=﹣1，fp=f2（2）=﹣1，故D成立． 故选：B．
点评： 本题考查新定义的理解和运用，考查分段函数的运用：求函数值，属于中档题．
9．（6分）已知函数g（x）=a﹣x（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（） A． B． C． D． ．
2
故选B．
2
点评： 本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程a﹣x=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x在
10．（6分）如图，已知双曲线C：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，
2
上有解．
以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且的离心率为（）
=3，则双曲线C
A．
B．
C．
D．
考点： 双曲线的简单性质．
专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论．
解答： 解：因为∠PAQ=60°且所以△QAP为等边三角形， 设AQ=2R，则OP=R，
渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=
=3
，
由勾股定理可得（2R）﹣R=（所以（ab）=3R（a+b）① 在△OQA中，
2
2
2
2
2
2
2
22
），
2
=，所以7R=a②
22
①②结合c=a+b，可得故选：B．
=．
点评： 本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．
【选做题】 11．（6分）如图，BD是半圆O的直径，A在BD的延长线上，AC与半圆相切于点E，AC⊥BC，若，AE=6，则EC=3．
考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 计算题．
分析： 连结OE，由切线的性质定理得到OE⊥AC，从而可得OE∥BC．根据切割线定理得2
AE=AD•AB，解出AB=，可得AO=，最后利用比例线段加以计算得到AC长，从而可得EC的长．
解答： 解：连结OE，
∵AC与半圆相切于点E，∴OE⊥AC， 又∵AC⊥BC，∴OE∥BC．
2
由切割线定理，得AE=AD•AB，即36=，解得AB=， 因此，半圆的直径BD=，AO=BD=． 可得故答案为：3
，所以AC=
=9，EC=AC﹣AE=3．
点评： 本题给出半圆满足的条件，求线段EC之长．着重考查了切线的性质定理、切割线定理与相似三角形等知识，属于中档题． 【【选做题】 12．（3分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若点P为直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0上一点，点Q为曲线
为参数）上一点，则|PQ|
的最小值为．
考点： 参数方程化成普通方程． 专题： 坐标系和参数方程．
分析： 把直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0化为直角坐标方程x﹣y﹣4=0．利用点到直线的距离公式可得：|PQ|=
．再利用二次函数的单调性即可得出最小值．
解答： 解：由直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0化为x﹣y﹣4=0． 由点到直线的距离公式可得：|PQ|=
=
=
≥
=
．
当且仅当t=2时取等号． ∴|PQ|的最小值为故答案为：
．
．
点评： 本题考查了把直线的极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、二次函数的单调性，属于基础题．
【选做题】 13．（3分）已知函数f（x）=|x﹣k|+|x﹣2k|，若对任意的x∈R，f（x）≥f（3）=f（4）都成立，则k的取值范围为．
考点： 绝对值不等式的解法． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用绝对值的几何意义得出f（x）≥f（3）=f（4）都成立，意义为k，2k的距离之和， 即：
即2≤k≤3成立，求解即可．
解答： 解：∵函数f（x）=|x﹣k|+|x﹣2k|， ∴函数f（x）=|x﹣k|+|x﹣2k|的最小值为|k|， ∵f（x）≥f（3）=f（4）都成立， ∴根据绝对值的几何意义得出：
即2≤k≤3．
故答案为：
点评： 本题考查了绝对值不等式的解法，几何意义，关键是理解给出的条件，属于中档题．
五、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分） 14．（5分）设a=
（sinx+cosx）dx，则二项式
的展开式的常数项是﹣
160．
考点： 二项式系数的性质． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 求定积分可得a的值，在二项式的展开式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式的常数项．
解答： 解：∵a=（sinx+cosx）dx==2，
则二项式=
r
，
它的展开式的通项公式为Tr+1=（﹣1）•令3﹣r=0，求得 r=3，故展开式的常数项是﹣
， =﹣160，
故答案为：﹣160．
点评： 本题主要考查二项式定理的应用，求定积分，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．
15．（5分）如果实数a，b满足条件：，则的最大值是．
考点： 简单线性规划的应用；简单线性规划． 专题： 不等式的解法及应用．
分析： 先根据条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点与原点（0，0）连线的斜率，求出的范围，利用函数的最值求解表达式的最大值即可．
解答： 解：先根据约束条件画出可行域，如图，表示可行域内的点与原点
（0，0）连线的斜率，设z的几何意义表示可行域内点P与原点O（0，0）连线的斜率，∵当连线OP过点B（，）时，
取最大值，最大值为3，连线OP过点A（1，1）时， 取最小值，最小值为1，∈．
∴===2﹣，∵∈．
∴的最大值为：．
故答案为：．
点评： 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，是中档题．
16．（5分）平面向量，，满足||=1，•=1，•=2，|﹣|=2，则•的最小值为．
考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用．
分析： 如图所示，建立直角坐标系．由||=1，不妨设=（1，0）．由•=1，•=2，可设=（1，m），=（2，n）．利用|﹣|=2，可得再利用数量积运算
=2+mn即可得出．
，（m+n）=3+4mn≥0，
2
解答： 解：如图所示，建立直角坐标系． ∵||=1，∴不妨设=（1，0）． ∵•=1，•=2，
∴可设=（1，m），=（2，n）． ∴
=（﹣1，m﹣n）．
∵|﹣|=2， ∴
2
，化为（m﹣n）=3，
2
∴（m+n）=3+4mn≥0， ∴
，当且仅当m=﹣n=
时取等号．
∴=2+mn．
故答案为：．
点评： 本题考查了通过建立直角坐标系解决向量有关问题、数量积运算及其性质、不等式的性质，考查了推理能力和解决问题的能力，属于难题．
三．解答题 17．（12分）一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5，4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球． （Ⅰ）求取出的3个球编号都不相同的概率；
（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望．
考点： 离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式． 专题： 概率与统计．
分析： （I）设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，先求出其对立事件“取出的3个球恰有两个编号相同”的概率．由古典概型公式，计算可得答案． （II）X的取值为1，2，3，4，分别求出P（X=1），P（X=3），P（X=4）的值，由此能求出X的分布列和X的数学期望． 解答： 解：（Ⅰ）设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，设“取出的3个球恰有两个编号相同”为事件B， 则P（B）=
=
=，
∴P（A）=1﹣P（B）=．
答：取出的3个球编号都不相同的概率为． （Ⅱ）X的取值为1，2，3，4．
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
P（X=4）==，
所以X的分布列为： X 1 2 3 4 P
+2×
+3×
+4×
=
．
X的数学期望EX=1×
点评： 本题考查等可能事件的概率计算与排列、组合的应用以及离散型随机变量的期望与方差，属于基础题．
18．已知函数
（1）求函数f（x）在上的单调递减区间； （2）△ABC中，
的最大值为2．
，角A，B，C所对的边分别是
a，b，c，且C=60°，c=3，求△ABC的面积．
考点： 两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理． 专题： 解三角形．
分析： （1）将f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域表示出f（x）的最大值，由已知最大值为2列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而确定出f（x）的解析式，由正弦函数的递减区间为（k∈Z），列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）在上的单调递减区间； （2）由（1）确定的f（x）解析式化简f（A﹣
）+f（B﹣
2
）=4sinAsinB，再利用正弦
定理化简，得出a+b=ab①，利用余弦定理得到（a+b）﹣3ab﹣9=0②，将①代入②求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积． 解答： 解：（1）f（x）=msinx+
cosx=
sin（x+θ）（其中sinθ=
，
cosθ=），
∴f（x）的最大值为∴
=2，
，
又m＞0，∴m=，
），
（k∈Z），解得：2kπ+
≤x≤2kπ+
（k∈Z），
∴f（x）=2sin（x+令2kπ+
≤x+
≤2kπ+
则f（x）在上的单调递减区间为；
（2）设△ABC的外接圆半径为R，由题意C=60°，c=3，得化简f（A﹣
）+f（B﹣
+
2
2
====2，
）=4=2
×
sinAsinB，得sinA+sinB=2
，即a+b=
2
sinAsinB，
由正弦定理得：ab①，
由余弦定理得：a+b﹣ab=9，即（a+b）﹣3ab﹣9=0②，
2
将①式代入②，得2（ab）﹣3ab﹣9=0， 解得：ab=3或ab=﹣（舍去）， 则S△ABC=absinC=
．
点评： 此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的单调性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点． （I）证明：平面EAC⊥平面PBD；
（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．
考点： 用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法． 专题： 计算题；证明题；空间角；空间向量及应用．
分析： （I）根据PD⊥平面ABCD，得到AC⊥PD，结合菱形ABCD中AC⊥BD，利用线面垂直判定定理，可得AC⊥平面PBD，从而得到 平面EAC⊥平面PBD；
（II）连接OE，由线面平行的性质定理得到PD∥OE，从而在△PBD中得到E为PB的中点．由PD⊥面ABCD得到OE⊥面ABCD，可证出平面EAC⊥平面ABCD，进而得到BO⊥平面EAC，所以BO⊥AE．过点O作OF⊥AE于点F，连接OF，证出AE⊥BF，由二面角平面角的定义得∠BFO为二面角B﹣AE﹣C的平面角，即∠BFO=45°．分别在Rt△BOF和Rt△AOE中利用等积关系的三角函数定义，算出OE=
，由此即可得到PD：AD的值．
解答： 解：（I）∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD
∵菱形ABCD中，AC⊥BD，PD∩BD=D ∴AC⊥平面PBD
又∵AC⊂平面EAC，平面EAC⊥平面PBD； （II）连接OE，
∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，PD⊂平面PBD ∴PD∥OE，结合O为BD的中点，可得E为PB的中点 ∵PD⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，
又∵OE⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面ABCD，
∵平面EAC∩平面ABCD=AC，BO⊂平面ABCD，BO⊥AC ∴BO⊥平面EAC，可得BO⊥AE
过点O作OF⊥AE于点F，连接OF，则
∵AE⊥BO，BO、OF是平面BOF内的相交直线， ∴AE⊥平面BOF，可得AE⊥BF
因此，∠BFO为二面角B﹣AE﹣C的平面角，即∠BFO=45° 设AD=BD=a，则OB=a，OA=
a，
在Rt△BOF中，tan∠BFo=，可得OF=
Rt△AOE中利用等积关系，可得OA•OE=OF•AE 即
a•OE=a•
，解之得OE=
：2
∴PD=2OE=，可得PD：AD=
．
即PD：AD的值为
点评： 题给出一个特殊四棱锥，要我们证明面面垂直，并在已知二面角大小的情况下求线段的比值，着重考查了空间垂直位置关系的判断与证明和二面角平面角的求法等知识，属于中档题．
20．（13分）已知数列{an}中，a1=1，an+1=
（I）求证：数列{a2n﹣}是等比数列；
（II）若Sn是数列{an}的前n项和，求满足Sn＞0的所有正整数n．
考点： 数列递推式；数列的求和． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）设bn=a2n﹣，则=﹣，==，由此能证明数列
{}是以﹣为首项，为公比的等比数列．
n﹣1
（Ⅱ）由bn=a2n﹣=﹣•（）
n
=﹣•（），得
n
+，从而a2n﹣1+a2n=﹣
2•（）﹣6n+9，由此能求出S2n．从而能求出满足Sn＞0的所有正整数n． 解答： （Ⅰ）证明：设bn=a2n﹣，则
=（
）﹣=﹣，
==
==，
∴数列{}是以﹣为首项，为公比的等比数列．
n﹣1
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得bn=a2n﹣=﹣•（）∴由a2n=
+，
﹣3（2n﹣1），
n﹣1
=﹣•（），
n
得a2n﹣1=3a2n﹣3（2n﹣1）=﹣•（）∴a2n﹣1+a2n=﹣
n
﹣6n+，
﹣6n+9
=﹣2•（）﹣6n+9，
S2n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）
=﹣2﹣6（1+2+3+…+n）+9n =
=（）﹣3（n﹣1）+2．
由题意得n∈N时，{S2n}单调递减，
又当n=1时，S2=＞0，当n=2时，S4=﹣＜0， ∴当n≥2时，S2n＜0，S2n﹣1=S2n﹣a2n=
﹣
，
*
n2
故当且仅当n=1时，S2n+1＞0，
综上所述，满足Sn＞0的所有正整数n为1和2．
点评： 本题考查等比数列的证明，考查数列的前2n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法、等比数列性质、分组求和法的合理运用．
21．（13分）已知离心率为
的椭圆
的右焦点F是圆（x﹣1）+y=1
2
2
的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M、N两点． （1）求椭圆的方程；
（2）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标．
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题： 计算题；综合题．
分析： （I）根据圆方程可求得圆心坐标，即椭圆的右焦点，根据椭圆的离心率进而求得a，最后根据a，b和c的关系求得b，则椭圆方程可得． （II）P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），把椭圆方程与圆方程联立求得交点的横坐标，进而可推断x0的范围，把直线PM的方程化简，根据点到直线的距离公式表示出圆心到直线PM和PN的距离．求得x0和y0的关系式，进而求得m+n和mn的表达式，进而求得|MN|．把点P代入椭圆方程根据弦长公式求得MN|．记
，根据函数的导函数判断函数
的单调性，进而确定函数f（x）的值域，进而求得当得y0，则P点坐标可得．
22
解答： 解：（I）∵圆（x﹣1）+y=1的圆心是（1，0）， ∴椭圆
的右焦点F（1，0），
时，|MN|取得最大值，进而求
∵椭圆的离心率是
2
2
，∴
．
∴a=2，b=1，∴椭圆的方程是
（II）设P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），
由得，∴．
直线PM的方程：，
化简得（y0﹣m）x﹣x0y+x0m=0．
又圆心（1，0）到直线PM的距离为1， ∴
2
2
，
2
22
∴（y0﹣m）+x0=（y0﹣m）+2x0m（y0﹣m）+x0m，
2
化简得（x0﹣2）m+2y0m﹣x0=0，
2
同理有（x0﹣2）n+2y0n﹣x0=0． ∴
，
，
∴=．
∵P（x0，y0）是椭圆上的点，∴，
∴，
记
f'（x）＜0；∴f（x）在∴当
，则
时，f'（x）＜0，
上单调递减，在
，
时，|MN|取得最大值
，
，时，
内也是单调递减，
此时点P位置是椭圆的左顶点．
点评： 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查考生分析问题、解决问题的能力．
22．（13分）已知函数f（x）=
﹣ax（x＞0且x≠1）．
（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；
（2）若∃x1，x2∈，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系． 专题： 分类讨论；导数的综合应用．
分析： （1）f（x）在（1，+∞）上为减函数，等价于f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为f′（x）max≤0，根据二次函数的性质可得f′（x）max；
（2）命题“若∃x1，x2∈，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1）易求f′（x）max+a，从而问题等价于“当x∈时，有f（x）min分①a
，②a＜两种情况讨论：当a
”，
时易求f（x）min，当a＜时可求得f′（x）的
值域为，再按（i）﹣a≥0，（ii）﹣a＜0两种情况讨论即可； 解答： 解：（1）因f（x）在（1，+∞）上为减函数， 故f′（x）=
﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，
又f′（x）=﹣a=﹣+﹣a=﹣，
故当所以
，即x=e时，0，于是a
2
，
，故a的最小值为．
（2）命题“若∃x1，x2∈，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，
由（1），当x∈时，f′（x）max=f（x）min①当a
”，
时，由（1），f（x）在上为减函数，
，所以f′（x）max+a=，问题等价于：“当x∈时，有
则f（x）min=f（e）=
2
，故a，；
②当a＜时，由于在上为增函数，
故f′（x）的值域为，即．
（i）若﹣a≥0，即a≤0，f′（x）≥0在上恒成立，故f（x）在上为增函数， 于是，f（x）min=f（e）=e﹣ae≥e＞，不合题意；
（ii）若﹣a＜0，即0＜a＜，由f′（x）的单调性和值域知，∃唯一使f′（x0）=0，
且满足：当x∈（e，x0）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x（x）＞0，f（x）为增函数； 所以，
，
，
，
时，f′
所以a综上，得a
．
﹣＞，与0＜a＜矛盾，不合题意；
点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性、闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生分析解决问题的能力．
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