2023-2024学年湖北省襄阳高二上册9月月考数学模拟试题(含解析)

一、单选题13)（1．已知为锐角，且cos()，则cos(442A．

1

2）D．B．21

C．3232【正确答案】C【分析】先由平方关系计算出 sin()，再由诱导公式得出答案.4【详解】由为锐角得4

4

33，所以 sin()1cos2()，4442cos(

33)cos()sin().44242故选：C.2．已知直线l,m和平面,，下列命题正确的是（A．若l//,l//，则//C．若l,lm，则m//【正确答案】B【分析】利用线面位置关系的判定定理和性质定理，以及线面垂直的性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，若l//,l//，则与可能相交，所以A不正确；对于B中，若l,l，根据垂直于同一直线的两平面平行，可得//，所以B正确；对于C中，若l,lm，则m//或m，所以C不组合却；对于D中，若l,m,l//,m//，只有当l与m相交时，才能得到//，所以D不正确.故选：B.）B．若l,l，则//D．若l,m,l//,m//，则//

3．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a(0,2,1),b(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于（A．

25）B．25C．

255D．255【正确答案】B【分析】利用数量积公式求异面直线的夹角的余弦值即可.ab42.【详解】因为ab4,|a|5,|b|25，所以coscosa,b

105|a||b|故选：B本题主要考查了求异面直线的夹角，属于基础题.c，B、b、C所对的边分别为a、在ABC中，角A、且b2c2a2bc.若sinBsinCsin2A，4．则ABC的形状是（）B．直角三角形D．等腰直角三角形A．等腰且非等边三角形C．等边三角形【正确答案】C【分析】由余弦定理求得B从而得三角形形状．，由正弦定理化边为角得bca2，代入另一已知得bc，3b2c2a21，又A(0,)，∴A，【详解】∵bcabc，所以cosA32bc22

2

2

∵sinBsinCsin2A，∴bca2，b2c2a2bc2bc，bc，∴BC

3，从而abc，ABC为等边三角形，故选：C．5．如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角是（）．A．30°【正确答案】DB．45°C．60°D．90°连接B1G,B1F，由长方体的结构特征易得B1G//A1E，从而B1GF是异面直线A1E与GF所成角，然后在B1GF中求解.【详解】如图所示：连接B1G,B1F，由长方体的结构特征得B1G//A1E，所以B1GF是异面直线A1E与GF所成角，因为AA1AB2，AD1，所以B1G2,B1F5,GF3，222即B1GGFB1F，

所以B1GF90，故异面直线A1E与GF所成角90故选：D本题主要考查异面直线所成的角的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2

6．函数f(x)1x1e

cosx的图象大致形状是（

）A．B．C．【正确答案】DD．

【分析】根据f(x)的奇偶性和当x0，时f(x)0可选出答案.2

2ex1

cosxcosx，【详解】由f(x)1x1ex1e

ex11ex得f(x)cos(x)xcosxf(x)，1exe1则函数f(x)是奇函数，图象关于原点中心对称，排除A，B，

当x0，时f(x)0，排除C，2

故选：D.（简7．2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙433

三人通过强基计划的概率分别为,,，那么三人中恰有两人通过的概率为（544

）A．2180B．8027

C．3380D．2740【正确答案】C【分析】根据积事件与和事件的概率公式可求解得到结果.【详解】记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件A,B,C，显然A,B,C为相互独立事件，则“三人中恰有两人通过”相当于事件ABCABCABC，且ABC,ABC,ABC互斥，所求概率PABCABCABCPABCPABCPABCPAPBPCPAPBPCPAPBPC

13341343133

.54454454480故选：C.8．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，MN是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之

间的线段成为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN最长时，PMPN的最大值为（）B．2C．3D．4A．1【正确答案】B【分析】由弦MN的长度最大可知MN为球的直径.由向量的线性运用PO表示出PMPN，PO即可由范围求得PMPN的最大值.【详解】连接PO，如下图所示：设球心为O,则当弦MN的长度最大时，MN为球的直径，由向量线性运算可知

PMPNPOOMPOON

2POPOONOMPOOMON2POPOONOMOMON



正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则球的半径为1，ONOM0,OMON1，2所以POPOONOMOMON2PO1，

而PO1,32所以PO10,2，

即PMPN0,2，

PMPN的最大值为2故选：B二、多选题9．设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（A．若z1，则z1或zi

B．若点Z的坐标为3,2，且z是关于x的方程x2pxq0(p,qR)的一个根，则pq19C．若z32i，则z的虚部为2iD．若1z2i2，则点Z的集合所构成的图形的面积为【正确答案】BD【分析】举反例可判断A；根据复数相等列方程组可解p、q，然后可判断B；由虚部概念可判断C；利用两圆面积相减可判断D.【详解】A中，令z

13i，则z1，故A错误；22）B中，若点Z的坐标为3,2，则z32i，所以(32i)2(32i)pq0，5q3p0p6整理得5q3p(2p12)i0，所以，解得，2p12=0q13所以pq19，故B正确；C中，易知z的虚部为2，故C错误；D中，记zxyi，则z2ix(y2)ix2(y2)2所以1x2(y2)22，圆x2(y2)22的面积为2，圆x2(y2)21的面积为，所以点Z的集合所构成的图形的面积为2，故D正确.故选：BD10．一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（A．事件“两次均击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件B．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件C．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件D．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件）【正确答案】AC【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案【详解】对于A，事件“至多一次击中”包含“一次击中”和“两次均未击中“，与事件“两次均击中”是对立事件，故A正确；对于B，事件“第一次击中”与事件“第二次击中”可以同时发生，故B不正确；对于C，事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”不能同时发生，是互斥事件，故C正确；对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，故D错误.故选：AC11．已知空间中三点A0,1,0，B2,2,0，C1,3,1，则下列说法正确的是（

A．AB与AC是共线向量55C．AB和BC夹角的余弦值是11）255

,,0B．与AB同向的单位向量是55

D．平面ABC的一个法向量是1,2,5【正确答案】BD【分析】根据共线向量的坐标表示可知A错误；

AB，计算可知B正确；根据与AB同向的单位向量为AB

利用向量夹角公式计算可知C错误；根据法向量的求法可知D正确.AB2,1,0AC1,2,1，可知ABAC，AB与AC不共线，A错【详解】对于A，，误；

AB255,,0对于B，AB2,1,0，AB5，，即与AB同向的单位向量是5AB5255

,,0，B正确；55



ABBC555cosAB,BC对于C，BC3,1,1，，11511ABBC

55即AB和BC夹角的余弦值为，C错误；11

对于D，设平面ABC的法向量nx,y,z，nAB2xy0

y=2n1,2,5，则，令x1，解得：，z5，nBC3xyz0

即平面ABC的一个法向量为1,2,5，D正确.故选：BD.π

12．关于函数fx2sin2x，下列说法正确的是（3

πA．函数fx的图像的一个对称中心是,0．3）B．函数fx在区间0,C．直线x

5π上单调递减；1211π

是函数fx图像的一条对称轴；12D．将函数fx的图像沿x轴向左平移图像．【正确答案】ACππ

个单位长度，将得到函数gx2sin2x的124

【分析】根据正弦函数的对称性以及单调性分别代入检验判断，将函数fx的图像沿x轴向左平移πππ

个单位长度，将得到函数y2sin2x整理判断．434π【详解】fx的对称中心即为fx的零点，则f2sinπ0，A正确；3πππ5πππ

x0,，则2x,，ysinx在,单调递增，B不正确；33212323π11π

2，C正确；fx在对称轴处取到最值，则f2sin

122π

将函数fx的图像沿x轴向左平移个单位长度，将得到函数4πππy2sin2x2sin2x，D不正确436故选：AC．三、填空题

aab13．已知向量a(1,2,3),b(1,2,1)，若，则实数的值为__________．【正确答案】7

4【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律及坐标表示，列式求解作答.2【详解】向量a(1,2,3),b(1,2,1)，则a(1)2223214，

ab(1)12(2)3(1)8，27

因为aab，则aabaab1480，解得，4所以实数的值为故7.474log2142

183(21)lg1=____________．()+lg1002714．求值：2【正确答案】-3【分析】利用对数、指数的性质和运算法则求解．1821

（21）lg1【详解】解：2log24（）3lg27100

122

[（）3]32+（21）0

4319

2+144＝﹣3．故答案为﹣3．本题考查对数式、指数式的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数的性质、运算法则的合理运用．15．已知正数a，b，函数f(x)logm(x3)1（m0且m1）的图象过定点A，且点A在直线a1x1by10上，则【正确答案】25441

的最小值为________.ab【分析】求出A的坐标，代入直线方程即可得ab1，从而所求式子整理成4141

ab，结合基本不等式即可求出最小值.abab

【详解】因为函数f(x)logm(x3)1，恒过点(4,1)，所以A4,1，代入直线的方程得4ab4，其中，a0,b0，所以411414abab4abbaabba2517ba172，ab44ab4当且仅当，即a所以44

,b时等号成立，534125

的最小值为.4ab25

4故答案为:

如图，在正四棱锥P－ABCD中，点M为PA的中点，若MNAD，16．PAAB，BDBN．则实数_____【正确答案】4【分析】连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数λ．【详解】解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝2，则A（2，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），M（，B（0，2，0）

，设N（0，b，0），则BN（0，b2，0），BD（0，﹣22，0）22，0，），22222∵BDλBN，∴﹣22b2，∴b，22222222∴N（0，，0），MN（，，），AD（2，，2，0）2224

0，∵MN⊥AD，∴MNAD1解得实数λ＝4．故答案为4．本题考查实数值的求法，考查空间向量、正四棱锥的结构牲等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．四、解答题

am,4b17．已知向量，2,3．

(1)若ab2b，求2ab．

(2)若向量c2,1，b∥2ac，求a与a2b夹角的余弦值．【正确答案】(1)26(2)310102ab的值；【分析】（1）先利用向量垂直充要条件求得m的值，再利用向量的数量积去求

（2）先利用向量平行充要条件求得m的值，再去求a与a2b夹角的余弦值．

【详解】（1）因为a(m,4)，b(2,3)，所以ab(m2,1)，2b(4,6)．由ab2b，可得ab2b0，即4(m＋2)－6＝0，解得m

1

2ab26．，所以2ab1,5，故2

（2）依题意得2ac2m2,9

因为b∥(2ac)，所以3(2m－2)＋2×9＝0，解得m＝－2，

a(2,4)则，a2b(2,2)，a(a2b)2242310

所以cosa,a2b，102522aa2b

310

故a2b与a夹角的余弦值为．1018．已知函数f(x)Asin(x)A0,0,||的部分图像如图所示：2（1）求函数fx的解析式；（2）将函数yf(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变，得到函数

yg(x)的图像，求函数yg(x)在区间0,上的最大值及函数取最大值时相应的x值．4

1

【正确答案】（1）y2sin2x；（2）x时，函数g(x)在0,区间上的最大值为2．2434

【分析】（1）根据函数的最值求出A的值，根据函数的最小正周期求出的值，根据函数的最值点求出的值即得解；（2）首先求出g(x)2sin4x，再根据不等式的性质和三角函数的图象和性质求出最3大值及函数取最大值时相应的x值．【详解】解：（1）如图可知，A2,T4

12∴

22．T



，6

2sin2212∵，2

∴，3

即函数解析式为y2sin2x；3

（2）根据图象变换原则得g(x)2sin4x，3∵x0,，4

4

∴4x,，333



∴2sin4x[3,2]，3

当4x，即x时，函数g(x)在0,区间上的最大值为2．24324

19．如图，在四棱锥PABCD中，平面PCD平面ABCD，且PCD是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是矩形，BC22，M为BC的中点.（1）证明：AMPM；（2）求二面角PAMD的大小；（3）求点D到平面APM的距离.【正确答案】（1）证明见解析；（2）45；（3）26.3【分析】（1）取CD的中点E，连接PE、EM、EA，根据面面垂直的性质可知PE平面ABCD，从而AMPE，由勾股定理可求得AMEM，又PEEME，满足线面垂直的判定定理则AM平面PEM，根据线面垂直的性质可知AMPM；（2）由（Ⅰ）可知EMAM，PMAM，根据二面角平面角的定义可知PME是二面角PAMD的平面角，然后在三角形PME中求出此角即可；（3）设D点到平面PAM的距离为d，连接DM，则根据等体积得VPADMVDPAM，建立关于d的等式解之即可得到点D到平面PAM的距离．【详解】（1）取CD的中点E，连接PE、EM、EA．PCD为正三角形，PECD，平面PCD平面ABCD，PE平面ABCDAMPE四边形ABCD是矩形VADE、ECM、ABM均为直角三角形由勾股定理可求得：EM3，AM6，AE3

EM2AM2AE2AMEM又PEEMEAM平面PEMAMPM

（2）由（1）可知EMAM，PMAM

PME是二面角PAMD的平面角tanPMEPME45PE31EM3二面角PAMD为45

（3）设D点到平面PAM的距离为d，连接DM，则VPADMVDPAM，

1

S3ADM

·PE

1S3PAM

·d

而S

ADM



1

AD·CD22，2在RtPEM中，由勾股定理可求得PM6S

PAM



111AM·PM3，所以：2233d332d263即点D到平面PAM的距离为26.3方法点睛：求点到平面的距离常用的方法有：（1）几何法：找作证指求；（2）向量法：利用向量中点到平面的距离公式求解；（3）等体积法：根据体积相等求出点到平面的距离.20．为进一步加强中华传统文化教育，提高学生的道德素养，培养学生的民族精神，更好地让学生传承和发扬中国传统文化和传统美德，某校组织了一次知识竞赛．现对参加活动的1280名学生的成绩(满分100分)做统计，得到了如图所示的频率分布直方图．请大家完成下面问题：(1)求参赛同学的平均数与中位数(小数点后保留2位)(以每个区间的中点作为本区间的取值)；(2)若从该校80分至100分之间的同学按分层抽样抽取一个容量为7的样本，再从该样本任选2人参加与其他学校之间的比赛，求抽到的两人至少一人来自90分至100分的概率．【正确答案】(1)平均数为76分，中位数为75.71分(2)1121【分析】（1）先利用频率和为1求出a0.025，分别套公式求平均数和中位数；（2）列举基本事件，利用古典概型求概率．【详解】（1）由题意得0.052a101，可得a0.025，所以，平均数为0.005550.02565850.035750.01951076分，由0.0050.025100.30.5，0.0050.0250.035100.650.5，则中位数位于70,80，若中位数为x，则0.0050.025100.035x700.5，可得x75.71分．（2）由（1）知：80,90与90,100的样本比例为5∶2，所以7个个体有5个取自80,90，2个取自90,100，若80,90中5个分别为a，b，c，d，e，中2个分别为x，y，则从中抽取2人的所有组合为{ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，ax，ay，bx，by，cx，cy，dx，dy，ex，ey，xy}，有21种情况，其中两人至少来一人自90,100为{xy，ax，ay，bx，by，cx，cy，dx，dy，ex，ey}，11种情况；所以抽到的两人至少一人来自90分至100分的概率为11．2121．如图，已知长方形ABCD中，AB22，AD2，M为DC的中点.将ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM.（1）求证：ADBM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角EAMD的余弦值为5.5【正确答案】（1）见解析；（2）E为BD中点．【详解】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=∴AM=BM=2，∴BM⊥AM.∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM.（2）建立如图所示的直角坐标系，AD=，M为DC的中点，

设DEDB，则平面AMD的一个法向量n(0,1,0)，

MEMDDB(1,2,1),AM(2,0,0)，2x02,设平面AME的一个法向量m(x,y,z),则{取y=1，得x0,y1,z

2y(1)z012

)，所以m(0,1,

1mn51

因为cosm,n，求得，5mn2所以E为BD的中点.22．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3bsinC3csinB4asinBsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若2bsinB2csinCbc3a，求ABC面积的最大值．【正确答案】（Ⅰ）A

33；（Ⅱ）．34【分析】（Ⅰ）利用正弦定理进行边化角，整理得sinA3，根据角A的范围即可确定角A；2（Ⅱ）利用正弦定理用a、b、c表示出sinB、sinC带入所给等式得到关于边的式子①，再利用余弦定理表示出cosA，两式联立可求出边a，a的值带入①式利用基本不等式可求得bc的范围，从而求得ABC面积的最大值.【详解】（Ⅰ）由3bsinC3csinB4asinBsinC及正弦定理得：3sinBsinC3sinCsinB4sinAsinBsinC，，所以sinB0，sinC0，23所以sinA，又0A，所以A；322因为0B，C

（Ⅱ）由正弦定理sinB

bca23a，sinBsinCsinA33b3c，sinC，2a2a由2bsinB2csinCbc3a得：2b3b3c2cbc3a，2a2a3abc①，由余弦定理得，32即b2c2a2

22331abcbca3，则a，解得a3，3cosAa622bc2bc6带入①式可得b2c23bc，即b2c2bc32bc，得bc3，当且仅当bc时，取等号，33133，ABC面积的最大值为．S△ABCbcsinA

244本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、利用基本不等式求三角形中的范围问题，属于中档题.