2014自主招生数学模拟试题及答案

一、选择题

1.在ABC中，ab3c，则cosAcosBcosC的最大值为（ ）.

7118 B. C. D. 8189812. 在正四棱锥P-ABCD中，M，N分别为PB，PD的中点，且侧面棱长等于底面边长.则异面直线AM与BN所成角的余弦为（ ）. 1123 A. B. C. D. 63343.掷两枚骰子(每枚有6面，分别是1~6点)，掷到两枚点数之和为7点以下的概率为（ ）. 1521 A. B. C. D. 61232 A.

4.直线yk(x1)1与曲线y1x2有两个公共点，则k的取值范围是（ ）. A. (0,] B. (0,) C. (0,) D. (,) 5.从10个2分和10个5分的钱币中取出一些，共可得到( )种面值. A. 70 B. 68 C. 66 D. 64 6.有A，B，C三个景点，假设在一段时间内，它们之间的游客流向具有这样的规律:每经过一定时间A景点的游客会到B景点，B景点的游客会到C景点，而C景点的游客会有一半到A景点，一半到B景点，则经过一段时间达到平衡状态时，A，B，C三个景点的游客数量之比为（ ） A. 1:1:1 B. 1:2:3 C. 1:2:2 D. 2:2:3 7. 在ABC中，在AB上取点C1使得AC1在CA上取点B1使得CB112121211AB，在BC上取点A1使得BA1BC，441CA，BB1与CC1交于点A2，CC1与AA1交于点B2，AA1与4BB1交于点C2.则 A. SA2B2C2SABC（ ） 4455 B. C. D. 1371398. 从1~9九个数字中取出6个，得到一个顺子(即至少有5个数为连续整数)的棋率为（ ）. A6A5A5A6A5A665565 A. 46 B. 55 C. 5546 D. 4556 6A9A9A9A9A9A99. 光线从原点发出，经直线x3y10反射后经过点(1,0)，则光线在直线上的入射点为（ ）.

A. (1,0) B. (0,10.(xx33233) C. (1,) D. (2,) 33316)的展开式中x2的系数为（ ）. x A. 20 B. 30 C. 40 D. 50

二、解答题

11. 在边长为2的正方体为ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点.求点A1到面ACD的距离.

12. 有4个互不相等的自然数，将它们两两相加，可以得到6个不同的和，其中较小的4个和是 64，66，68，70.求这4个数.

13. 在ABC中，已知cosAcosB2.求证：C90. sinBsinA

13. 把600粒花生分给100只猴子.请证明不管怎样分，至少有8只猴子分的花生一样多.

a2b2c2abc14. 已知a，b，c为正数.求证：. bcacab2

数学模拟试题（第一套）

答 案

一、选择题

1.利用正弦定理，将边的关系转化为角的关系，sinAsinB3sinC3sin(AB)，

ABABABABABABAB3coscos3sincos1 ，cos.而cos222222277AB1，所以cos(AB)，即cosC. 所以cos992311cosAcosBcosC[cos(AB)cos(AB)]cosC(1cosC)cosC2211117117(cosC)2()2. 答案： A

228292881sin

10. 不妨设棱长为1，取PN的中点E，连接ME，AE.在PAD中，由余弦定理求出

AE13313，在AME中，AM，EMBN，由余弦定理求出42241. 答案: A 6cosAME

11. 解法一:当第一枚1点，第二枚可以1，2，3，4，5点；当第一枚2点，第二枚可以1，2，3，4；当第一枚3点，第二枚可以1，2，3；当第一枚4点，第二枚可以1，2；当第一枚5点，

155. 答案： B 621215 解法二:先算和为7点的概率为，而剩余情况中，大于7点的概率等于小于7点的概率，

665各为. 答案： B

12第二枚可以1点，共15种情况，概率为

12. 由数形结合，过点(1,1)的直线与单位圆的上半圆相交，斜率k的范围为(0,]. 答案: A

13. 可得到的面值有2，4，5，6，…，64，65，66，68，70，从4到66是连续的，所以共66种. 答案: C

14. 设到达平衡状态时，A，B，C三个景点的游客数量分别为x，y，z，则x12z，2yxz，zy，所以x:y:z1:2:2. 答案： C 2

7. 作A1D//CC1，则

33BDBA11AB，，而BC1AB，故BD416BC1BC4C1D339ABCD9AB24ABABAB，所以121，.类似的方法可求出41616AB2AC14AA113A1C21，于是AA1上的三条线段之比4:8:1.同样，可得BB1，CC1上的三条线段之比AA113也都是4:8:1.

SA2B2C2SA1B2CB2C2A2B28216SA1B2CA1B29，，AA13A1B2B2C9327SAA1C1SAA1CSABC

SA2B2C216934A1C3，所以. 答案： A

BC4SABC2713413A5A65，15. 取到12345，56789之一的概率为55，取到123456，…，456789之一的概率为466A9A9A5A65所以得到一个顺子的概率为5546. 答案： C 6A9A916. 入射角等于出射角，进而算出斜率. 答案: B 17. x可以是2个x和4个

2311的乘积，也可以是4个x和2个的乘积，所以概率为xx2442C6C4C6C26530. 答案： B

二、解答题

11. 取AC的中点F，容易求出DEF的高DH（就是D点到面ACD的距离)为

6.因3为AA1到面ACD的距离为D点到面ACD的距离的2倍,即1//DE,AA12DE,所以A26. 312. 设4个数为a，b，c，d，且abcd，则6个和为ab，ac，ad，bc，

bd，cd.于是有abacadbcbdcd或abacbcadbdcd

ab64ab64a30a31ac66ac66b34b33则，或，分别解得，或 ad68ad70c36c35bc70bc68d38d39

13. sinAcosAsinBcosB2sinAsinB，sin2Asin2B4sinAsinB， sin(AB)cos(AB)cos(AB)cos(AB， sinCcos(AB)cos(AB)cosC.

以下用反证法：假设sinC1，则cos(AB)只要证明

cosC.

1sinC|cosC|1，就导致矛盾.事实上，利用cosxsinx1(1x)即得，

1sinC2所以假设sinC1不成立，即C90.

14. 假设没有8只猴子分的花生一样多，那么至多7只猴子分的花生一样多.我们从所需花生最少情况出发考虑:分得0粒，1粒，2粒，…….13粒的猴子各有7只，分得14粒，15粒花生的猴子各有1只，于是100只猴子最少需要分的花生为7(01213)1415666粒，现在只有600粒花生，无法使得至多7只猴子分的花生一样多，故至少有8只猴子分的花生一样多.

15. 利用柯西不等式(abc)(xyz)(axbycz)，得

2a2a2b2c2b()[(bc)(ca)(ab)](bc)(ca)

bccaabcabc2222222c (ab)(abc)2.

ab22a2b2c2abc 所以 bccaab2