“超级全能生”2021届高三全国卷地区1月联考试题(甲卷) 数学(理) 含答案

数学(理科)

注意事项：1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡。上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A＝{x∈R|2x－1<3}，B＝{x∈R|x＋1>0}，则A∩B＝A.(1，2)2.已知A.－13.若B.(－1，2)C.(2，＋∞)D.[－1，2]1ai

>0(i为虚数单位)，则实数a等于ai

B.0C.1D.±1tan7，α∈(，π)，则sin(α－)＝1tan248243344A.B.－C.D.－55554.如图，大正方形ABCD边长为8，其内有一心形曲线，由两个半圆和关于对称轴EF对称的两段半个周期上的余弦曲线围成，且余弦曲线两端点恰为曲线的最高点和最低点，则在大正方形ABCD内任取一点，该点取自心形曲线内部的概率为A.38B.58C.616D.16325.若定义在R上的函数f(x)在(－∞，－1]上单调递减。若f(x)＝f(－2－x)，且f(－4)＝0，则不等式fx3x≥0的解集为B.[－4，－1]∪(0，1]D.[－1，0)∪[5，＋∞)A.[－4，－1]∪[3，＋∞)C.[－4，0]∪[2，＋∞)6.已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|＝1，c＝2a－b，则cos＝A.0B.12C.－32D.137.如图，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体侧面，从A到B的最短路径长为A.22B.3C.4D.π8.为了落实“精准扶贫”工作，某市抽调4名工作人员，去A，B，C三个贫困村开展驻点帮扶。若每个村至少去1人，则不同的分配方法种数为A.24B.36C.42D.489.已知数列{an}中，a1＝1，A.8B.9C.10anan11

＝1(n∈N*)，若am，则m＝10an1an

D.1110.在由三棱柱截得的几何体ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AB上AC，AA1＝2，BB1＝CC1＝1，AC＝2，点D，E，F分别是棱B1C1，A1C1，BB1的中点。若直线A1D与EF所成角的余弦值为3，则AB＝9A.1B.2C.2D.411.已知抛物线y2＝8x的焦点为F，过点F斜率为3的直线l交该抛物线于A，B(A在第一象限)，直线l与圆x2＋y2－4x＋3＝0交于点C，D(C在第一象限)，O为坐标原点，则△OAC与△OBD的面积之比为A.8：3B.5：3C.21：5D.7：112.已知函数f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函数。当x>0时，函数f(x)＝1

0x2x1，

，若关于x的方程f2(x)＋af(x)＋b＝0(a，b∈R)有且仅有6个不同实数根，x

21x2，x2

则实数a的取值范围是A.(－∞，－5)2B.(－∞，－2)C.(－x，－3)2D.(2，5)2p

。其中，p0是p0

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.在声学中，用声压水平(单位：分贝)来度量声音的强弱，定义为Lp＝20lg听觉下限阈值20µPa，p是实际声压。假设第一次测得声音的强度是10分贝，第二次测得声音的强度是100分贝，则第二次与第一次的声压比值约为2.1544，2≈1.414，5≈2.2361)14.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a6＝a2·a5，S3＝7，设10

。(104.5≈31623，310≈a

i1

n

i

＝a1·a2·…·an，则log2

a的值为i1

i

。15.如图所示，直角三角形的三边勾股弦的长分别为a，b，c，以边长为a，b，c的三边分别向外作相似的图形，其面积分别为S2，S3，S1。试猜想这些图形的面积S1，S2，S3满足的关系式为。16.双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延x2y2

长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。已知双曲线E：221(a>0，b>0)的左、右焦点ab

分别为F1，F2，过F2沿倾斜角120°出发的光线，经双曲线右支反射，若反射光线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。17.(12分)2015－2019年，全国从事节能服务业务的企业数量逐年上升，但增速缓慢。根据中国节能协会发布的《2019节能服务产业发展报告》，截至2019年底，全国从事节能服务的企业数量统计如表所示：(I)作出散点图，并根据散点图说明全国从事节能服务的企业数量与时间的相关关系；(II)令x＝t－2017，求y关于x的回归直线方程；(III)预测2021年，全国从事节能服务的企业数量约为多少家？bxa中斜率和截距的最小二乘法估计公式为附：回归直线y

ˆb

(xx)(yy)xynx yi1i

i

nn

(xx)i1

i

n

2

i1nii

x

i1

i

2

nx2ˆ。ˆybx,a

18.(12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4ccos2(I)求C；(II)若c＝4，求△ABC的面积的最大值。19.(12分)已知五边形PABCD是平面图形(如图1)，四边形ABCD是矩形，PA＝PD，PA⊥PD。现在沿AD折叠△PAD，使得∠PAB＝90°，得到四棱锥P－ABCD(如图2)。B

＋b＝2(a＋bcosA＋acosB)。2(I)求证：PD⊥平面PAB；(II)若二面角A－PB－C的余弦值为20.(12分)2AB，求的值。3BC2x2y2

已知椭圆E：221(ab0)与圆x2＋y2＝2相切于长轴的端点，且离心率为。2ab(I)求椭圆E的方程；(II)已知F是椭圆E的右焦点，设△ABC的顶点A，B在椭圆上，角C的平分线与x轴重合，

若ABAF，且AB与x轴不垂直，求点C的坐标。21.(12分)已知函数f(x)＝ex－2x。(I)当x<0时，证明：f(x)>cosx；(II)若函数g(x)＝f(x)－cosx＋ln(x＋1)，试问：函数g(x)是否存在极小值？若存在，求出极小值；若不存在，请说明理由。(二)选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡。上将所选题号后的方框涂黑。22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)313xt113在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，y213t13

x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l与极轴交于点N，且动点M满足|MN|＝1。(I)求直线l的极坐标方程和点M的轨迹的极坐标方程C；(II)若直线θ＝11

(ρ∈R)分别交直线l、曲线C于点A，B(非极点)，求的值。4OAOB23.[选修4－5：不等式选讲](10分)设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－1|。(I)求不等式f(x)>3的解集；(II)若f(x)≥－x＋t对任意x∈R恒成立，求实数t的取值范围。