人教版数学七下第九章不等式(组)八大重难点题型突破(典例+巩固)

典例体系

考点1：由不等式性质求字母范围

典例：已知关于x的不等式(m1)x6，两边同除以m1，得x

方法或规律点拨

此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不

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6 ，试化简：|m1||2m|．

m1变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；解答此题的关键是判断出m10． 巩固练习

1．若mx5m，两边同除以m后，变为x5，则m的取值范围是（ ） A．m0

B．m0

C．m0

D．m0

2．如果关于x的不等式axa的解集为x1，那么a的取值范围是（ ） A．a0

B．a0

C．a1

D．a1

3．如果不等式2axa2的解集为x1，则a必须满足的条件是（ ） A．a0

B．a2

C．a1

D．a1

4．已知不等式a3x3a的解集是x1，则a的取值范围是( ) A．a3

B．a3

C．a3

D．a3

5．已知关于x的不等式(a2)xa2的解集为x1，化简(a2)2的结果为______．

考点2：不等式（组）解的归一问题 典例：已知关于x的不等式组方法或规律点拨

本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组，熟练掌握不等式组和方程组的解法是解题关键． 巩固练习

1．如图，是关于x的不等式2x-m< -1的解集，则m的值为（ ）

A．m2 2．已知不等式

B．m1

C．m2

D．m1

xaba的解集为5x5，则的值为___________．

b2xa2b11x32x 与不等式3xa0的解集相同，则a_______． 23．小张同学在解一元一次不等式时，发现一个不等式右边的数被墨迹污染看不清了，所看到的部分不等式是13x■，他查看练习本后的答案知道这个不等式的解是x2，则被污染的数是__________． 4．若关于x的不等式3m﹣2x＜5的解集是x＞3，则实数m的值为_____． 5．关于x的不等式2a1x39的解为x2，则a_______． 6．若不等式xb0的解集为2x3，则a，b的值分别为_______________．

xa0 2 / 12

7．已知，关于x的不等式（2a-b）x+a-5b＞0的解集为x＜（1）求

10． 7b的值． a（2）求关于x的不等式ax＞b的解集．

考点3：不等式（组）的整数解问题 典例：已知关于x的不等式组方法或规律点拨

本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据不等式组的整数解和已知得出关于a的不等式组． 巩固练习

1．若实数3是不等式2xa20的一个解，则a可取的最小整数为（ ） A．2

B．3

C．4

D．5

xa0,的整数解共有3个，则a的取值范围是___________．

1x02．已知关于x的不等式组A．2a1

xa0的整数解共有3个，则a的取值范围是（ ）

32x0C．2a1

D．a1

B．2a1

3．满足不等式x2的正整数是______．

4．不等式x54x1的最大整数解是________． 5．不等式

2x130的非负整数解共有__个． 26．若关于x的一元一次不等式x≥a只有3个负整数解，则a的取值范围是_________． 7．若关于x的不等式组x615,．只有4个整数解，则a的取值范围是_______．

2x23x3axm0的解集中恰好有三个整数，则m的取值范围是___．

72x18．若关于x的不等式组x3x22x9．关于的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是_____．

2x5m5310．已知关于x的不等式组

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2x14的整数解有且只有2个，则m的取值范围是__________．

xm0考点4：一元一次方程与不等式的综合问题 典例：m取何值时，关于x的方程巩固练习

1．已知方程|x|＝ax+1有一个负根而且没有正根，那么a的取值范围是（ ）． A．a＞-1

B．a＝1

C．a≥1

D．非上述答案

x6m15m1x的解大于1． 6322．关于x的方程2ax6的解是非负数，那么a满足的条件是（ ） A．a3

B．a3

C．a3

D．a3

3．若关于x的方程 3x3a2 的解是正数，则a的取值范围是（ ） A．a2 3B．a2 3C．a为任何实数 D．a为大于0的数

4a2xx4．已知关于x的方程：x 2的解是非正整数，则符合条件的所有整数a的值有（ ）种．

63A．3

5．（1）关于x的方程

B．2

C．1

D．0

xmmx 与方程34x23x的解互为倒数，求m的值． 321xa的解适合不等式3x12a，求a的取值范围． 2（2）已知关于x的方程2x3

考点5：确定不等式组字母系数范围

x1典例：已知不等式组无解，则a的取值范围为__．

xa1

方法或规律点拨

本题考查了一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于a的不等式，题目比较好，难度适中． 巩固练习

1．若关于x的不等式组A．k＞1 2．若不等式组A．a4

x4ax2x+74x+1的解集为x＜3，则k的取值范围为（ ）

xk2C．k≥1

D．k≤1

B．k＜1

0无解，则a的取值范围为（ ） 0B．a4 C．0a4 D．a4

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3．若关于x的一元一次不等式组A．m3 4．若不等式组2x13x2的解集是x3，则m的取值范围是（ ）

xmC．m3

D．m3

B．m3

x42x1的解集是x3，则m的取值范围是________．

xm1xa05．若关于x的不等式组3无解，a则的取值范围为___________．

42x0

考点6：方程组与不等式组的综合问题

x3y4ayx典例：已知关于，的方程组，其中3a1，下列结论：

xy3a①当a2时，x，y的值互为相反数；②x5是方程组的解；③当a1时，方程组的解也是方程

y1xy1的解；④若1y4，则3a0．其中正确的是（ ）

A．①②

方法或规律点拨

本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握二元一次方程组的解法和不等式的解法是本题的关键． 巩固练习

1．若关于x、y的二元一次方程组A．m3

B．m3 B．②③

C．②③④

D．①③④

2xy1m的解满足xy0，则m的取值范围为是（ ）

x2y2C．m6

D．m6

2．已知关于x，y的方程组4xy3m的解满足不等式2x+y>8，则m的值是_____．

xy7m53．若方程组3xya1的解x、y满足y x3，则a的取值范围为_________．

x3y32xy3a的解满足xy1，则a的取值范围为________．

x2y42a4．若关于x、y的二元一次方程组5．关于x，y的二元一次方程组2xy2m1的解满足不等式xy1，则m的取值范围是______．

x2y3 5 / 12

6．关于x，y的二元一次方程组

2xy3m2的解满足x+y＞﹣1，则m的取值范围是_____．

x2y42xy3m23的解满足xy，则满足条件的m的取值范围

7．若关于x、y的二元一次方程组x2y42是____________． 8．已知xm3ym5

（1）若2xy5，求m的值； （2）求y关于x的表达式；

（3）若x1，y0，求2xy的值的取值范围．

9．已知方程组2xy5mx2y3m的解满足条件x0，y0，求m的取值范围．



10．已知点Px,y的坐标满足方程组xya0且点xy3a2P在第四象限．

（1）请用含a的代数式表示x； （2）请求出a的取值范围．

11．关于x，y的方程组2x3ym2x3y3m4的解都是非正数，求m的取值范围．

考点7：解不等式（组） 典例：（1）解不等式：

xx3136 5x14x（2）解不等式组1x2x4，并在数轴上表示解集

3

方法或规律点拨

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本题考查解一元一次不等式（组），解题关键是熟练解不等式和利用数轴确定不等式组的解集． 巩固练习

1．解不等式x43x2．并把解集在数轴上表示出来．

2．解不等式：

x433x121，并把解集在数轴上表示出来．

3．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来 （1）25x62x （2）x53x2122

4．解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来． （1）6x32x7； （2）1x22x13．

5．解下列不等式：

（1）3(1x)2(x9)；（2）123x51x2．

2x36．解不等式组：x22x112，并将解集在数轴上表示出来．

32x3

7．解不等式（1）7+2x>6．（2）解不等式组3x52(23x)x22x2x

3

8．解下列一元一次不等式（组）：

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（1）6x19x4，并把它的解表示在数轴上．

3(1x)2(12x)（2）3x2x1．

132

3x35(x1)①9．已知不等式组2x2． 3x1②32（1）求它的解集并把它的解集在数轴上表示出来．

（2）在（1）的条件下化简(x2)2(4x)2．

考点8：方程（组）与不等式（组）的实际应用问题

典例：某电器超市销售A、B两种型号的电风扇，表中是近两周的销售情况：

销售数量 销售时段 A种型号 第一周 第二周 3台 4台 B种型号 5台 10台 1800元 3100元 销售收入 （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价． （2）若A、B两种型号的电风扇每台进价分别为200元，170元，该超市准备采购这两种型号的电风扇共30台，且费用不多于5400元．

①最多能采购A种型号的电风扇多少台？

②设超市销售完这30台电风扇所获得的利润为W元，试问利润能否达到1400元？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．

方法或规律点拨

此题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 巩固练习

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1．某厂贷款8万元购进一台机器生产商品.已知商品的成本每个8元，成品后售价是每个15元，应付税款和损耗总费用是销售额的20%.若每个月能生产销售1000个该商品，问至少几个月后能赚回这台机器的贷款？

2．某水果店购买某种水果的进价为18元/千克，在销售过程中有10%的水果损耗，该水果店以a元/千克的标价出售该种水果．

(1)为避免亏本，求a的最小值．

(2)若该水果店以标价销售了70%的该种水果，在扣除10%损耗后，剩下的20%水果按10元/千克的价格售完．为确保销售该种水果所得的利润率不低于20%，求a的最小值．

3．台州某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答对一题得5分，可以选择不答，下表记录的是5名参赛者的得分情况．

参赛者 答对题数 不答题数 答错题数 得分 A B C D E 15 19 18 16 18 3 0 1 2 2 2 1 1 2 0 79 94 91 82 94 （1）由表格知，不答一题得________分，答错一题扣_________分． （2）某参赛者F一共对了14题，不答题数与总得分有何关系？

（3）某参赛者G答错题数比不答题数的2倍多1题，最后得分为64分，他答对了几道题？

（4）在前10道题中，参赛者N答对8题，1题放弃不答，1题答错，则后面10题中，至少要答对几题才有可能使最后得分不低于79分？为什么？

4．近两年，重庆市奉节县紧紧围绕“村有骨干产业、户有致富门路”的发展思路，大力实施农产品产业扶贫项目，实现助农增收其中“乡坛子”什锦套菜礼盒、奉节脐橙10km装广受好评，单价分别为100元/盒和60元/盒．

（1）某公司大力响应扶贫政策，准备用不低于15000元购买什锦套菜礼盒、奉节脐橙共200盒，则至少购入什锦套菜礼盒多少盒？

（2）2021年春节将至，该公司准备再次购入以上两种产品作为员工新春福利．恰逢“学习强国”重庆学习平‘渝’你抗疫助农”扶贫农产品公益直播活动．台开展“党员直播带货、直播中，什锦套菜礼盒以原价8折销售，

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该公司购买数量在（1）问最少数量的基础上增加了

58m%；奉节脐橙售价比原价降低了m元，购买数215量在（1）问奉节脐橙最多数量的基础上增加了40%．该公司在直播间下单后实际花费比（1）问中最低花费增加2350元，求m的值．

5．某班班主任对在某次考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本25个，共花费225元．

（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？

（2）班主任决定再次购买甲、乙两种笔记本共35个，如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多需要购买多少个甲种笔记本？

6．某班为了开展乒乓球比赛活动，准备购买一些乒乓球和乒乓球拍，通过去商店了解情况，甲乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价48元，乒乓球每盒定价12元，经商谈，甲乙两家商店给出了如下优惠措施：甲店每买一副乒乓球拍赠送一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．现该班急需乒乓球拍5副，乒乓球x盒（不少于5盒）．

（1）请用含x的代数式表示：去甲店购买所需的费用 ；去乙店购买所需的费用 ．（结果要求化简）

（2）当需要购买40盒乒乓球时，通过计算，说明此时去哪家商店购买较为合算； （3）试探究，当购买乒乓球的盒数x取什么值时，去哪家商店购买更划算？

7．2020年初，新冠疫情在武汉爆发．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如下：

第一批 8 4 第二批 10 25 400 A型货车的辆数（单位：辆） B型货车的辆数（单位：辆） 128 累计运输物资的吨数（单位：吨）备注：第一批、第二批每辆货车均满载 （1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？ （2）该市后续又筹集了262.4吨生活物资，现已联系了6辆A种型号货车．试问至少还需联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？

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8．某商店有A商品和B商品，已知A商品的单价比B商品单价多12元，若购买400件B商品与购买100件A商品所用钱数相等．

（1）求A，B两种商品的单价分别是多少元．

（2）已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4，如果需要购买A，B两种商品的总件数不少于32，且该商店购买的A，B两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？说明理由．

9．2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元．

（1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？

（2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，小丹准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？

10．为更好地推进长沙市生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，2019年12月17日，长沙市政府召开了长沙市生活垃圾分类推进会，意味着长沙垃圾分类战役的全面打响．某小区准备购买A、B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．

（1）每个A型垃圾箱和B型垃圾箱分别是多少元？

（2）若该小区物业计划用低于2150元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，且至少购买6个B型垃圾箱，请问有几种购买方案？

11．某木板加工厂将购进的A型、B型两种木板加工成C型，D型两种木板出售，已知一块A型木板的进价比一块B型木板的进价多10元，且购买2块A型木板和3块B型木板共花费220元． （1）A型木板与B型木板的进价各是多少元？

（2）根据市场需求，该木板加工厂决定用不超过8780元购进A型木板、B型木板共200块，若一块A型木板可制成2块C型木板、1块D型木板；一块B型木板可制成1块C型木板、2块D型木板，且生产出来的C型木板数量不少于D型木板的数量的①该木板加工厂有几种进货方案？

②若C型木板每块售价30元，D型木板每块售价25元，且生产出来的C型木板、D型木板全部售出，哪

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11． 13一种方案获得的利润最大，求出最大利润是多少？

12．随着人们生活质量的提高，净水器已经慢慢进入了普通百姓家庭．某电器公司销售每台进价分别为2000元，1700元的A，B两种型号的净水器，下表是近两周的销售情况：

销售时段 第一周 第二周 销售数量 销售收入 A型号 3台 4台 B型号 5台 10台 18000元 31000元 （1）求A，B两种型号的净水器的销售单价； （2）若电器公司准备用不多于54000元的金额再采购这两种型号的净水器共30台，问A型号净水器最多能采购多少台?

（3）在（2）的条件下，公司销售完这30台净水器能否实现利润为12800元的目标?若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．

13.在“文明礼貌暨安全教育月”活动中，师院附中拟组织八年级师生去台骀山景区参加登山活动，下面是张老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：

张老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元.”

小芳：“八年级师生昨天在这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车到台骀山景区，一天的租金共计

6750元.”

“如果我们八年级租用45座的客车a辆，小明：那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车则可少租1辆，最后一辆车并没有坐满，而且初步计算，我们租的车的数量大于7辆.” 根据以上对话，解答下列问题：

1客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？

2求出满足条件的a的值.

3若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有哪几种租车方案？

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