《实数》全章教学设计与导学案 (1)

1. 认识无理数（第1课时）

一、学生起点分析

通过前一章《勾股定理》的学习，学生已经明白什么是勾股数，但也发现并不是所有的直角三角形的边长都是勾股数，甚至有些直角三角形的边长连有理数都不是，例如：①腰长为1的等腰直角三角形的底边长不是有理数，②两条直角边分别为1，2的直角三角形的斜边长不是有理数，这为引入“新数”奠定了必要性．

二、教学任务分析

《数不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节． 本节内容安排了2个课时完成，第1课时让学生感受无理数的存在，初步建立无理数的印象，结合勾股定理知识，会根据要求画线段；第2课时借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数．本课是第1课时，学生将在具体的实例中，通过操作、估算、分析等活动，感受无理数的客观存在性和引入的必要性，并能判断一个数是不是有理数．

本节课的教学目标是：

①通过拼图活动，让学生感受客观世界中无理数的存在； ②能判断三角形的某边长是否为无理数；

③学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能力和探索精神；

④能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解；

三、教学过程设计

本节课设计了6个教学环节：

第一环节：置疑；第二环节：课题引入；第三环节：获取新知；第四环节：应用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置．

第一环节：质疑

内容：【想一想】

⑴一个整数的平方一定是整数吗？ ⑵一个分数的平方一定是分数吗？

目的：作必要的知识回顾，为第二环节埋下伏笔，便于后续问题的说理． 效果：为后续环节的进行起了很好的铺垫的作用

第二环节：课题引入

内容：1．【算一算】

已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平方 ，并提出问题：x是整数（或分数）吗？ 2．【剪剪拼拼】

把边长为1的两个小正方形通过剪、拼，设法拼成一个大正方形，你会吗？ 目的：选取客观存在的“无理数“实例，让学生深刻感受“数不够用了”． 效果：巧设问题背景，顺利引入本节课题．

第三环节：获取新知

内容：【议一议】→【释一释】→【忆一忆】→【找一找】

【议一议】： 已知a22，请问：①a可能是整数吗？②a可能是分数吗？ 【释一释】：释1．满足a22的a为什么不是整数？ 释2．满足a22的a为什么不是分数？

【忆一忆】：让学生回顾“有理数”概念，既然a不是整数也不是分数，

那么a一定不是有理数，这表明：有理数不够用了，为“新数”（无理数）的学习奠定了基础

【找一找】：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出

长度不是有理数的线段

目的：创设从感性到理性的认知过程，让学生充分感受“新数”（无理数）的存在，从而激发学习新知的兴趣

效果：学生感受到无理数产生的过程，确定存在一种数与以往学过的数不同，

产生了学习新数的必要性．

第四环节：应用与巩固

内容：【画一画1】→【画一画2】→【仿一仿】→【赛一赛】 【画一画1】：在右1的正方形网格中，画出两条线段： 1．长度是有理数的线段 2．长度不是有理数的线段

【画一画2】：在右2的正方形网格中画出四个三角形 （右1）

2．三边长都是有理数 2．只有两边长是有理数 3．只有一边长是有理数 4．三边长都不是有理数 【仿一仿】：例：在数轴上表示满足x22x0的x

解： （右2）

仿：在数轴上表示满足x25x0的x

【赛一赛】：右3是由五个单位正方形组成的纸片，请你把

它剪成三块，然后拼成一个正方形，你会吗？试试看！ （右3）

目的：进一步感受“新数”的存在，而且能把“新数”表示在数轴上 效果：加深了对“新知”的理解，巩固了本课所学知识．

第五环节：课堂小结

内容： 1．通过本课学习，感受有理数又不够用了， 请问你有什么收获与体会？

2．客观世界中，的确存在不是有理数的数，你能列举几个吗？ 3．除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？ 目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化． 效果：学生总结、相互补充，学会进行概括总结．

第六环节：布置作业

习题2.1

六、教学设计反思

（一）生活是数学的源泉，兴趣是学习的动力

大量事实都证明一点，与生活贴得越近的东西最容易引起学习者的浓厚兴趣，才能激发学习者的学习积极性，学习才可能是主动的．本节课中教师首先用拼图游戏引发学生学习的欲望，把课程内容通过学生的生活经验呈现出来，然后进行大胆置疑，生活中的数并不都是有理数，那它们究竟是什么数呢？从而引发了学生的好奇心，为获取新知，创设了积极的氛围．在教学中，不要盲目的抢时间，让学生能够充分的思考与操作．

（二）化抽象为具体

常言道：“数学是锻炼思维的体操”，数学教师应通过一系列数学活动开启学生的思维，因此对新数的学习不能仅仅停留于感性认识，还应要求学生充分理解，并能用恰当数学语言进行解释．正是基于这个原因，在教学过程中，刻意安排了一些环节，加深对新数的理解，充分感受新数的客观存在，让学生觉得新数并不抽象．

（三）强化知识间联系，注意纠错

既然称之为“新数”，那它当然不是有理数，亦即不是整数，也不是分数，所以“新数”不可以用分数来表示，这为进一步学习“新数”，即第二课时教学埋下了伏笔，在教学中，要着重强调这一点：“新数”不能表示成分数，为无理数的教学奠好基．

第二章 实数

1. 认识无理数（第2课时）

一 、学生起点分析

学生在小学阶段已经学习了非负数，七年级又学习了有理数.本章第一课时的学习，学生感受到了生活中确实存在着不是有理数的数，让学生认识到所学的数又不够用了，从而激发他们学习的好奇心，能积极主动地参与到学习中，充分认识到学习无理数引入的必要性，发展学生的合情推理能力.

二 、教学任务分析

《数不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节，第一课时让学生感受数的发展，感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 本课时为第二课时，内容是建立无理数的基本概念，借助计算器，感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数，并能结合实际判别有理数和无理数.在活动中进一步发展学生独立思考的意识和合作交流的能力，在学习中领悟数学知识来源于生活，体会数学知识与现实世界的联系，而且对今后学习数学也有着重要意义.为此，本节课的教学目标是:

1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想.

2．探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力.

3．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力.

4.充分调动学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神，提高他们的辨识能力.

三 、教学过程设计

本节课设计六个教学环节:

第一环节：新课引入；第二环节：活动与探究；第三环节：知识分类整理；第四环节：知识运用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置.

第一环节：新课引入

内容:想一想：

1. 有理数是如何分类的？

整数（如1，0，2，3，…) 有理数 192 分数(如，，，0.5，… )

35112. 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率，0.020020002…上节课又了解到一些数，如a22，b25中的a，b不是整数，

能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目.

意图：通过这些问题让学生发现有理数不够用了，存在既不是整数，也不是分数的数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目.

效果：激发学生的好奇心和求知欲，引出本节课题“数不够用了（2）”.

第二个环节：活动与探究

1. 探索无理数的小数表示

内容：借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a和面积为5的正方形的边长b进行估计.

请看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a的取值范围大致是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于2?说说你的理由.

边长a 1请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.

目的：让学生有充分的时间进行思考和交流，逐渐地缩小范围，借助计算器探索出a=1.41421356…，b=2.2360679…，是无限不循环小数的过程，体会无限逼近的思想.

效果：学生感受到无理数确实是无限不循环的，为后续定义无理数打下基础. 2. 探索有理数的小数表示，明确无理数的概念

内容：请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式.

议一议：分数化成小数，最终此小数的形式有哪几种情况？ 探究结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数. 即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.

强调：像0.585885888588885…，1.41421356…，－2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数.

我们把无限不循环小数叫做无理数.(圆周率=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故是无理数).

目的：通过学生的活动与探究，得出无理数的概念.

效果：通过师生互动的教学活动，既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力，又感受到无理数存在的必然性，建立了无理数的概念.

第三个环节：知识分类整理

内容：到目前为止我们所学过的数可以分为几类？(按小数的形式来分).

整数

有理数：有限小数或无限循环小数

数

无理数：无限不循环小数

分数

强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别.无理数还可以进行怎样的分类?

目的：培养学生总结归纳的能力，把新学知识纳入已有的知识体系，进一步发展学生的思维判断能力，加强学生对分类思想的理解.

效果：通过师生的共同探究，形成对中学现阶段数的系统认识，提高了总结归纳能力.

第四个环节：知识运用与巩固

内容：认识一个数是无理数还是有理数. 例1填空:

4.96，0.351，相继的正整数组成).

… 有理数集合 ••2， 3.14159， 6， －5.2323332…，，1234567891011…(由33… 无理数集合

例2 判断下列说法是否正确

(1)有限小数是有理数; （ ） (2)无限小数都是无理数; （ ） (3)无理数都是无限小数; （ ） (4)有理数是有限数. （ ）

例3以下各正方形的边长是无理数的是（ ） (A）面积为25的正方形； (C） 面积为8的正方形；

(B） 面积为

4的正方形； 25(D） 面积为1.44的正方形.

例4一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5，则斜边a是有理数吗?

解:由勾股定理得: a23252，即a2=34.因为34不是完全平方数，所以a不是有理数.

强调:

1. 无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数. 2. 任何一个有理数都可以化成分数而无理数则不能.

练一练：

1.课本P23 随堂练习.

••322.已知：在数，5，1.42，，3.1416，，0，42，(1)2n ，

345 a 3 p形式（q ≠0， p，q 为整数且互质），q－1.424224222…中， （1）写出所有有理数； （2）写出所有无理数；

（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“<”连接.

目的：通过例题的讲解、练习，让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别，感受数的分类.

效果：通过学生练习，更加明确了有理数、无理数的概念，及它们之间的区别与联系，激发学生学习兴趣，巩固了对概念的理解.

第五个环节：课堂小结

内容：本节课你有哪些收获? 1．无理数的定义.

2．你是怎样判断一个数是无理数还是有理数的？ 3．请把已学过的数怎样分类？

目的：让学生学会及时对知识点、数学方法进行总结，并整理成经验，形成知识体系，培养学生良好的学习习惯，提高其归纳总结能力.

效果：师生共同总结补充，形成完整的知识体系.

第六个环节：布置作业

习题2.2 1.2.3.

四、 教学反思

本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”，让学生通过估计、借助计算器进行探索、讨论等途径，体会数学学习的乐趣，体会无限逼近的数学思想，得到无理数的概念；可能在教学实施过程中，对基础较薄弱的学生和班级，这一探索过程所需时间较长，会影响后面环节的进行，但感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的，所以绝对不能淡化.让学生在数学学习中能将抽象的知识形象具体化，复杂知识体系化.同时引导学生回顾旧知、探索新知，形成一定的数学探究能力，进一步培养学生的分类和归纳的思想，为今后的数学学习打下坚实基础. 但对概念的理解掌握一些同学还不很到位，只能在以后的教学过程中不断的加深.另外，由于学生对有理数和无理数的概念具体感知还不够，所

以在第三环节：知识分类整理环节，学生自主整理和接受会有一定困难，若学生学习例1后再进行知识分类整理可能会更好.

附：板书设计

1 .数不够用了（2） 一、导入 二、新课 1.有理数的定义：有限小数或无限循环小数. 2.无理数的定义：无限不循环小数. 3.数分类： 有理数：有限小数或无限循环小数 数 无理数：无限不循环小数 分数 整数

三、例题讲述 四、小结 第二章 实数

2. 平方根（第1课时）

一、学生起点分析

学生的知识技能基础：学生刚学完《勾股定理》，通过本章第一节的学习，已具备了对无理数的认识，知道只有有理数是不够的．学生还具备了乘方运算的基础，并且有计算正方形等几何图形面积的技能．

学生活动经验基础：在前面的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．

二、教学任务分析

本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级(上)第二章《实数》的第二节《平方根》．本节内容计2个课时，本节课是第1课时，主要是算术平方根的概念和性质的教学．课程标准要求，对于数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情景引入学习主题，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性，因此确定本节的教学目标如下：

①了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根；了解算术平方根的性质．

②在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力；在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识．

③让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲．

三、教学过程设计

本课时设计六个环节：第一环节：问题情境；第二环节：初步探究；第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习；第五环节：学习小结；第六环节：作业布置．

本节课教学流程为：

问题情境 初步探究 深入探究 反馈练习 学习小结 作业布置 第一环节：问题情境

方法一：问题导入

内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．比如上一节课我们做过的：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，

拼一拼，得到一个边长为a的大的正方形，那么有a22，a＝ ，2是有理数，而a是无理数．在前面我们学过若x2a，则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课我们一起来学习．

方法二：问题导入

内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：

x2 ，y2 ，z2 ，

w2 ．

目的：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算术平方根的必要性．

效果：能表示x22，y23，z24，w25；能求得z2，但不能求得

x，y，w的值．

说明：方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明学习这节课的必要性．相对而言，建议选用方法二．

第二环节：初步探究

内容1：情境引出新概念

x22，y23，z24，w25，已知幂和指数，求底数x，你能求出来

吗？

目的：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性．

效果：学生可以估算出x，y是1到2之间的数，w是2到3之间的数但无法表示x，y，w，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算——开方．

说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习

的兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数x，你能求出来吗？”

内容2：在上面思考的基础上，明晰概念：

一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“a”，读作“根号a”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00．

目的：对算术平方根概念的认识．

效果：了解算术平方根的概念，知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的．

内容3：简单运用 巩固概念 例1 求下列各数的算术平方根： (1) 900； (2) 1； (3)

49； (4) 14． 64目的：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如14的算术平方根是14．

效果：会求一个正数的算术平方根，更进一步了解算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．

答案：解：(1)因为302900，所以900的算术平方根是30，即90030； (2)因为121，所以1的算术平方根是1，即11；

497497749； (3)因为()2，所以 的算术平方根是， 即648864864 (4)14的算术平方根是14．

内容4：回解课堂引入问题

x22，y23，w25，那么x2，y3，w5．

第三环节：深入探究

内容1：例2 自由下落物体的高度h(米)与下落时间t(秒)的关系为h4.9t2．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？

目的：用算术平方根的知识解决实际问题．

效果：学生多能利用等式的性质将h4.9t2进行变形，再用求算术平方根的方法求得题目的解．

解：将h19.6代入公式h4.9t2，得t24，所以正数

t42(秒)．

即铁球到达地面需要2秒．

说明：强调实际问题t是正数，用的是算术平方根，此题是为得出下面的结论作铺垫的．

内容2：观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点．

目的：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：a中的a是一个非负数，a的算术平方根a也是一个非负数，负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．

效果：再一次深入地认识算术平方根的概念，明确只有非负数才有算术平方根．

第四环节：反馈练习

一、填空题：

1．若一个数的算术平方根是7，那么这个数是 ； 2．9的算术平方根是 ；

23．()2的算术平方根是 ；

34．若m22，则(m2)2 ．

二、求下列各数的算术平方根： 36，

1215，15，0.64，104，225，()0． 1446三、如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？

答案：一、1．7；2．3；3．6；

2；4．16；二、311；15；0.8；102；15；1． 12三、解：由题意得 AC＝5.5米，BC＝4.5米，∠ABC＝90°，在Rt△ABC

中，由勾股定理得ABAC2BC25.524.5210(米)．所以帐篷支撑竿的高是10米．

目的：旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生情况调整教学进程.

效果：练习注意了问题的梯度性，由浅入深，一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识.对学生的回答，教师要给予评价和点评．

第五环节：学习小结

内容：这节课学习的算术平方根是本章的基本概念，是为以后的学习做铺垫的．通过这节课的学习，我们要掌握以下的内容：

(1)算术平方根的概念，式子a中的双重非负性：一是a≥0，二是a≥0． (2)算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．

(3)求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．

目的：依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点，强化算术平方根的概念和性质．

第六环节：作业布置

习题2.3

四、教学设计反思

1．细讲概念、强化训练

要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化的过程．概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有必要的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．

“讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征．算术平方根的本质特征就是定义中指出的：“如果一个正数x的平方等于a，即x2a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，”的“正数x”，即被开方数是正的，由平方的意义，a也是正数，因此算术平方根也必须是正的．当然零的算术平方根是零.

“加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练，使练习题达到一定的质和量，也包括书写格式的训练，如在求正数的算术平方根时，不是直接写出算术平方根，而是通过平方运算来求算术平方根，非平方数的算术平方根只能用根号来表示.

“逐步深化”是指利用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”组成题组，在教学的不同阶段按由浅入深的原则加以使用.

2．发展思维、适度拓展

在教学中，根据学生的实际情况，在学有余力的情况下，可以对a的双重非负性的知识进行适当的拓展.

第二章 实数

２. 平方根（第2课时）

一、学生起点分析

学生在七年级上册学习 “棋盘上的故事”就认识了一种运算 “乘方”，并能熟练计算任何一个数的平方．知道正数的平方是正数，负数的平方是正数，0的平方是0． 在八年级上册第二章《实数》的学习中又认识了算术平方根的概念和表示方法，已能求非负数的算术平方根．那么这一课时进一步学习平方根．本节也为后面学习 “立方根”做基础．

二、教学任务分析

《平方根》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二

章《实数》的第二节．本节安排了两个课时完成．第一课时是了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．在具体的例子中抽象出概念，发展学生的抽象概括能力．本节课是第二课时，继续学习平方根的概念及其运用．并对“平方根”和“算术平方根”，“平方”和“开平方”的概念做辨析，使学生在“引导－探索－类比－发现”中发展学习数学的能力．为此，本节课的教学目标是

①了解平方根、 开平方的概念，明确算术平方根与平方根的区别和联

系．

②进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系．

③经历平方根概念的形成过程，让学生不仅掌握概念，而且提高和巩固所学知识的应用能力． 教学重点是

①了解平方根、开平方的概念．

②了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负

数的算术平方根和平方根．

③了解平方根与算术平方根的区别与联系． 教学难点是

①平方根与算术平方根的区别和联系．

②负数没有平方根，即负数不能进行开平方的运算．

三、教学过程设计:

本节课采用引导、探究、类比相结合的教学方法，设计了六个教学环节

第一环节 复习旧知 引入新知；第二环节 形成概念，辨析概念；第三环节 例题和巩固练习；第四环节 课堂小结；第五环节 思维拓展；第六环节 布置作业．

第一环节 复习旧知 引入新知

内容:方法一 复习引入

1．什么叫算术平方根?

3的平方等于9，那么9的算术平方根就是 3 ．

2 2的平方等于 4 ，那么4 的算术平方根就是_____5_________．

52525

展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长_ 7_米． 2．到目前为止，我们已学过哪些运算?这些运算之间的关系如何？ 乘方有没有逆运算?

平方与算术平方根之间的关系？

已知折叠着的正方形ABCD面积为1，则边长为__1___．将它扩展，若面积变为原来的2倍，那么它的边长为___2___；若面积变为原来的3倍，则边长为____3_____；若面积变为原来的n倍，则边长为____n____．

方法二 复习引入 问题 平方等于9，

4，49的数还有吗？ 25

目的: 这一环节主要是复习旧知识和提出问题，由上节课的“算术平方根”的求法使学生能明白“平方”和“算术平方根”的关系，让学生在几何图形中认识．熟悉它们的互化关系．并把上节课的思考题制作成Flash情景引入，增加动画效果．

效果 借助多媒体吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣．

说明 数学知识源于生活，并服务于我们的生活．这两种方法通过生活中的具体问题激发学生的学习兴趣，并让他们产生解决问题的强烈愿望．

第二环节 : 新课学习

内容 （一）探究新知

填空

3=(9 )

2 (－3)=(9 ) ( )=9 0=0 ()

1222221=(4) 2 214 (不存在)=－4

21 (2

)=(4) 1（二）形成概念(1)

一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．而把正的平方根叫做a的算术平方根．

2表达式为:若x=a，那么x叫做a的平方根． 记作 a．

例如:(±4) =16，则+4和－4都是16的平方根；即16的平方根是±4；4是16的算术平方根．

（三）探索平方与开平方的关系:

给出几组具体的数据，由平方探知开平方与平方的互逆关系． （四）概念辨析

平方根与算术平方根的联系与区别

联系 1．包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种．

2．只有非负数才有平方根和算术平方根． 3． 0的平方根是0，算术平方根也是0．

区别 1．个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根．

2．表示法不同：平方根表示为 a ，而算术平方根表示为a．

目的 形成“平方根”的概念．在列举一些具体数据的感性认识基础上，由平方运算反推出平方根的概念和定义，并让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化并，明白它们之间的互逆关系，辨析概念 “平方根”与 “算术平方根”的区别与联系，使之与上一节课紧密联系．

2效果 由于遵循了从具体到抽象的过程，注重学生原有认知基础的回顾，并和原有的概

念进行了比较与辨析，因此，学生对这一抽象的概念掌握得比较牢靠．

说明 平方根与算术平方根的区别是本节课的一大难点，也是学生经常容易出错的地方．

对这两个概念加以比较与区别有利于学生的理解与掌握．

第三环节 例题和新知巩固

（一）例题示范 求下列各数的平方根: (1)64；(2)

492；(3) 0.0004；(4)25；(5) 11 121解 （1）8264，64的平方根是8，即648； （2）

721149497121,121的平方根为11，即49121711；

（3）0.0220.0004,0.0004的平方根是0.02，即0.00040.02； （4）252252,252的平方根是25， 即25225；

（5）11的平方根是11 目的 这是书上的例题，要求学生能正确掌握平方根的文字说理及符号化的表达．能熟

练地求出一个数的平方根，然后由题中的数据探索出正数、0、负数的平方根的个数．

效果 通过对例题的详解，学生能准确地书写表达，规范平方根的书写格式，掌握正 确的符号化语言．

（二）思考提升

1．52的平方根是 ，81的算术平方根是_____，_____；

2．64 ，52 ，64 ，0.04=_______；

24的平方根是93．a2= ，当a0时，a ． （三）巩固练习

1 ．下列说法正确的是 ①3是81的平方根；②25的平方根是5；③－36的平方根是－6；④平方根等于0的数是0；⑤64的平方根是8． 2．下列说法不正确的是( ) ．

(A)0的平方根是0 (B)22的平方根是2 (C)非负数的平方根是互为相反数 (D)一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数

3．已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ）．

(A) a+1 (B)a1 (C) a2+1 (D)a21

4．x为何值，答 因为2x2有意义？

x0，所以x0 2 目的 围绕本节课的重点知识 （平方根）作适当的练习，在不同的变式练习中加深对平方根意义的理解．

效果 学生基本能顺利解决这些问题，并利用探索的规律进行规范的表达．

第四环节 课堂小结

内容 引导学生总结本课时的知识、方法．

目的 让学生对所学的知识进行梳理，使之思路清晰，既巩固了有关知识，又培养了学生良好的学习习惯．

效果 在老师的引导下学生自己总结本节课的知识、方法，如 平方根的概念 若x2a，则x叫a的平方根，xa 平方根的个数 正数有2个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．

平方与开方之间的关系；

求平方根的方法 求一个数的平方根就是转化寻找哪个数平方等于这个数．

第五环节 提高训练

内容 1.511的小数部分为a，511的小数部分为b，求ab的值． 2．已知实数a，b满足b2a496b ①若a，b为ABC的两边，求第三边c的取值范围；

②若a，b为ABC的两边，第三边c等于5，求ABC的面积． 目的 安排了两道题，其中最后一题是用算术平方根的意义来解决三角形的问题，这一环节主要针对层次较好的学生提供的题．可供老师根据教学的实际情况灵活处理．

第六环节 作业布置

习题2．４

四、教学设计反思

本节课是八年级上册第二章《平方根》的第二课时．主要知识是平方根的学习和运用．教材是教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整．

（一）注重概念的形成过程，让学生在概念的形成的过程中，逐步理解所学的概念．概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很必要的．所以在学习平方根的概念时，对正数有两个平方根学生不太容易接受，往往丢掉负的平方根，因为这与他们以前的经验不符．对此，在平方根的引入时，可多提一些具体的问题．如“9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9．还有其他的数，它的平方也是9吗？”等等，旨在引起学生的思考，让学生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念．再

让学生去讨论 一个正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？引导学生更深刻地理解平方根的概念，然后通过具体的求平方根的练习，巩固新学的概念．

（二）鼓励学生进行探究和交流 本节课为学生提供了有趣而富有数学含义的问题，让学生进行充分的探索和交流．如 把正方形的面积不断的扩大为2倍、3倍、n倍，来引导学生充分进行交流、讨论与探索等数学活动，从中感受学习平方根的必要性．

（三）设计之中多处运用类比的方法，使学生清楚新旧知识的区别和联系．类比概念 “平方根”和“算术平方根”的区别和联系，“平方”和“开平方”运算．

（四）根据学生实际，灵活使用教材

教材上只安排了一道例题和几个想一想，为了让学生对新知巩固，我增加了部分练习题，围绕“平方根”这一知识点进行各种题型的变式练习．当然，选题要有层次，有梯度．老师们在进行教学时可以根据学生的实际情况作适当的取舍．

（五）建议

根据知识结构的逻辑关系与学生的认知规律，建议教材在内容安排上平方根置于算术平方根之前．

第二章 实数

３．立方根

一 、 学生起点分析

学生已经学习了平方根的概念，掌握了求一个非负数的平方根和算术平方根的方法，明确了平方运算与开平方的互逆关系．学生在平方根学习活动中体会了类比的思想方法，为立方根的学习提供了一定的经验基础和学习方法．立方根的计算有着非常广泛的应用，有关空间形体的计算经常涉及开立方，因此本节知识是后续学习内容的基础．

二 、 教学任务分析

《立方根》是义务教育教科书北师大版八年级（上）第二章《实数》第三

节．本节内容1个学时完成．主要是通过对立方根与平方根的类比，探索立方根的概念、计算和简单性质．因此，除了具体的知识技能以外，关注学生的学习方法培养，渗透数学思想方法也是教师教学过程中的关注点．为此本节课的三维教学目标是：

①了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算，了解立方根的性质；区分立方根与平方根的不同；

②经历对立方根的探究过程，在探究中学会解决立方根的一些基本方法和策略，培养逆向思维能力和分类讨论的意识．学生在经历用类比的方法学习立方根的有关知识过程中，领会类比思想；

③立方根概念、符号、运算及性质的探究过程中，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神；

三、教学过程设计

本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设问题情境；第二环节：复习引入、类比学习；第三环节：初步探究；第四环节：尝试反馈，巩固练习；第五环节：深入探究；第六环节：课时小结；探究与思考；第七环节：作业布置及课外探究．

第一环节：创设问题情境

内容：

某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体，

现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积

是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐的多少倍？如果储气罐的体积是原来的4倍呢？

4（球的体积公式为v＝R3，R为球的半径）

3 提问：怎样求出半径R ？学完本节知识后，相信你会有一个满意的答案．有关体积的运算和面积的运算有类似之处，让我们用上节课解决问题的方法来学习新知识 ．

目的：通过实际情境引入，让学生感受新知学习的必要性，激发学生的求知欲望．

效果：在思考问题的同时，学生既感受了数学的应用价值，激发了学生的学习热情，又很快将问题归结为如何确定一个数，它的立方等于4，从而顺利引入新课．

第二环节：复习引入、类比学习

内容：

提问：（1）什么叫一个数a的平方根？如何用符号表示数a（a≥0）的平方

根?

（2）正数的平方根有几个？它们之间的关系是什么？负数有没有平方

根？0的平方根是什么？

（3）平方和开平方运算有何关系？

（4）算术平方根和平方根有何区别与联系？

强调：一个正数的平方根有两个，且互为相反数；一个负数没有平方根；0的平方根是0．

（5）为了解决前面情景中的问题，需要引入一个新的运算，你将如

何定义这个新运算？

1．一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就

叫做a的平方根（也叫做二次方根）．

2．一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就

叫做a的立方根（cube root, 也叫做三次方根）．如：2是8的立方根，

－3是－27的立方根，0是0的立方根．

目的：学生通过回顾上节课的学习内容，为进一步研究立方根的概念及性质

做好铺垫，同时突出平方根与立方根的对比，以利于弄清两者的区别和联系．

效果：复习引入既复习了平方根的知识，又利于学生用类比学习法学习立方根知识．

第三环节：初步探究

内容：

1做一做：怎样求下列括号内的数？各题中已知什么数？求什么数？

33（1）（ ）＝0.001 ； （2）（ ）＝－273 ； （3）（ ）＝0． 64 目的：通过计算练习,使学生进一步了解求一个数的立方，与求一个数的立方根是互为逆运算,感受一个数的立方根的唯一性，计算中对a的取值分别选为正数、负数、0，这样设计，在此过程中渗透分类讨论的思想方法． 2议一议：

（1）正数有几个立方根？ （2）0有几个立方根 （3）负数呢？

意图：提问，是为了指出平方根与立方根的对比，以利于弄清两者的区别和联系．

3在上面的基础上明晰下列内容，对知识进行梳理

（1）每个数a都只有一个立方根，记为“3a”，读作“三次根号a”．例如x3=7时，x是7的立方根，即37=x；与数的平方根的表示比较，数的立方根中根号前没有“±”符号，但根指数3不能省略．

（2）正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． （3）求一个数a的立方根的运算叫做开立方(extrction of cubic root) , 其中a叫做被开方数．开立方与立方互为逆运算．

效果：学生通过类比学习，初步掌握立方根的概念，能用符号语言表示一个数的立方根．

第四环节：尝试反馈，巩固练习

内容：

例1求下列各数的立方根： （1）－27； （2）

83 ； （3）3 ； （4）0.216 ； （5）－5． 12583（－3）＝－27，所以－27的立方根是－3，即3－27＝－3； 解：（1）因为

828282＝； （2）因为，所以的立方根是，即31255125512553333327333（3）因为（）＝＝3，所以3的立方根是，即33＝；

8228882 3 （4）因为（0.6）＝0.216，所以0.216的立方根是0.6，即30.216＝0.6；

（5）－5的立方根是3－5． 例2 求下列各式的值：

（1）38; （2）30.064; （3）338； （4）1259．

333解：（1）38=322； （2）30.064=30.40.4；

8 （3）3=312522； （4）5539=9．

33 反馈练习

1．求下列各数的立方根：

30.125；364； －64；5； 33316.

332．通过上面的计算结果，你发现了什么规律？

目的：例1着眼于弄清立方根的概念，因此这里不仅用立方的方法求立方根，而且书写上采用了语言叙述和符号表示互相补充的做法，学生在熟练以后可以简化写法．例2则巩固立方根的计算，引导学生思考立方根的性质．

效果：学生通过练习掌握立方根的概念和计算，通过对计算结果的分析得出立方根的性质，若学生不能发现规律，教师可以再给出几个例子，如：

338＝3－23＝－2； 333＝327＝3； 38＝（2）＝8.引导学生观察被开方数、根指

3数及运算结果之间的关系，从而得出立方根的性质；也可以安排学生分小组讨论，通过交流，展示学生发现的规律；若学生的讨论不够深入，可由教师补充得出结论．

第五环节：深入探究 想一想：

（1）3a表示a的立方根，那么

a等于什么？

333a3呢？

（2）3－a与－3a有何关系？

目的：明晰

a =a，333a3=a

说明：若学生通过上面的计算得出了立方根的性质，可以直接展示学生的成果；若没有得出结果，可以引导学生分析，如果x3=a,那么x就是a的立方根，即x=3a,所以x3=

a=a, 同样，根据定义，a是的a三次方，所以a的立方

3333根就是a, 即3a3a，3－a=－3a．

第六环节 课时小结

内容1：提问通过本节课的学习你学到了哪些知识？归纳、总结学生的回答，

得出下列内容：

1．了解立方根的概念，会用三次根号表示一个数的立方根，能用立方运算求

一个数的立方根．

2．在学习中应注意以下5点：

（1）符号3a中根指数“3”不能省略；

（2）对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有一个立方根； （3）平方根和立方根的区别：正数有两个平方根，但只有一个立方根； 负数没有平方根，但却有一个立方根； （4）灵活运用公式：(3a)3=a,

3a3a，3－a=－3a；

（5）立方与开立方也互为逆运算．我们可以用立方运算求一个数的立方根，

或检验一个数是不是另一个数的立方根．

目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化． 效果：通过小结，学生进一步加深了对类比学习方法的感受，对所学的知识进行了梳理，学习更有条理性． 内容2：回顾引例

某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少倍？如果储气罐的体积是原来的4倍呢？

如有时间，学生学力许可，还可以安排学生探究下列问题：

1．回顾上节课的内容：已知2x218＝0，求x的值． 2．求下列各式中的x．

(1)8x3＋27＝0； （2）x10.3430; (3)81x116；（4）32x510.目的：回顾引例，使得教学环节更完整，同时体现了数学的实用价值．安排有层次的探究问题，可更好地调动不同学生的学习热情，让学生通过练习解决有关问题，培养学生综合解决问题的能力．

效果：学生通过引例的解决，体会到了立方根及开立方运算的实用性，并类比应用方法解决（3）（4），培养并形成能力．

34第七环节 作业布置

1、 习题2.5 2、再次体会总结立方根与平方根的区别与联系

四、教学设计说明

（一）关注类比思想的渗透，关注学习方法的指导

类比是在两类不同的事物之间进行的对比，在找出若干相同或相似点之后，推测在这两类事物的其他方面也可能存在相同或相似之处的一种思维方式．当然，类比的结果是猜测的，不一定可靠，但它作为一种思考问题的方法，可以发现数学结论，可以沟通数学知识，可以解决生活中的一些实际问题，具有发现的功能，有助于发展学生的创新精神．因此，学习中要注意渗透这样的思维方式，实际上，类比学习法让学生省时省力，在学习新知的同时巩固已学的知识，通过新旧对比更好地掌握知识．为此，本节课让学生应用类比法顺理成章的学习立方根的概念、性质、运算．同样在学生以后的数学学习中，可以通过三角形类比四面体、通过圆类比球……

（二）关注学生个体差异，关注学生探究过程

根据新课标的评价理念，教师在课堂教学中应尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，鼓励探索方式、表述方式和解题方法的多样化．在教学活动中教师关注的是学生的参与程度和表现出来的思维水平，关注的是学生对“议一议”、“想一想”、“比一比”的探究情况和学生反馈练习的完成情况，教师要关注学生是否理解立方和开立方是互为逆运算的，是否会用根号正确的表示一个数的

立方根。教学过程中，教师应给足学生思考和计算的时间使学生用原有知识进行新知识建构，这是一个学生自主学习、探究学习的过程，充分开展这样的活动，可以使学生的个性得到张扬，探究能力得到培养。课堂上，教师要充分发挥评价的教育功能，对于学生的回答应给予恰当的评价和鼓励，帮助学生认识自我，建立自信．

（三）需要说明的几个问题：

在第四教学环节中的例题1中补充了带分数的立方根求法,在教学中只要讲明将带分数转化为假分数,再求立方根的方法,学生就容易掌握；例题2则为第五环节补充立方根性质的3个公式( (3a)3=a,

3a3a，3－a=－3a)打下了基础,

若学生基础较差,教师也可删去这３个公式；第六环节中的探究与思考,将平方根、立方根的求法拓展到求四次方根、五次方根的学习，教师在教学过程中可根据学生的学习情况确定是否补充这部分内容，也可留给学生课后思考，分层要求，调动不同学生的学习热情．

第二章 实数

４. 估算

一、学生起点分析

八年级学生初步认识了无理数，对平方根和立方根也有了一定的了解，这样学习“公园有多宽”这节内容就有了一定的基础，但由于学生对估算还比较陌生，在实际教学中需要通过大量贴近学生生活的实例让他们体会估算的方法，初步形成估算的意识，发展学生的数感．

二、教学任务分析

《公园有多宽》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《公园有多宽》的第四节的内容． 在学习了平方根与立方根之后安排本节内容，目的很明确，就是要让学生体会如何运用这些知识去解决实际问题，体会到数学的实用价值，并逐步在今后的学习中有意识地运用估算的方法解决生活中的问题，发展学生的估算意识和数感．为此本节课的教学目标是：

①会估算一个无理数的大致范围，比较两个无理数的大小，会利用估算解决一些简单的实际问题．

②经历实际问题的解决过程和平方根、立方根的估算过程，发展估算意识和数感．

③体会数学知识的实用价值，激发学生的学习热情．

三、教学过程设计

本节课设计了五个教学环节：

第一环节——情境引入；第二环节——活动探究；第三环节——深入探究；第四环节——反馈练习；第五环节——反思归纳；第六环节——作业布置．

第一环节：情境引入

内容：

由修建环保公园的实际问题情境引出本节课的学习内容――公园有多宽． 某市开辟了一块长方形的荒地用来建一个以环保为主题的公园．已知这块地的长是宽的两倍，它的面积为400000平方米．此时公园的宽是多少?长是多少? 给出这个问题情境，先让学生凭感觉说出公园的长和宽分别是多少．

给出引导问题：公园的宽有1000米吗？（没有）那么怎么计算出公园的长和宽．

解：设公园的宽为x米，则它的长为2x米，由题意得： x·2x =400000， 2x2=400000， x =200000． 那么200000=? 目的：

从现实情境引入，一方面让学生初步建立数感，另一方面让学生体会生活中的数学从而激发学习的积极性．

效果：

学生通过与生活紧密联系的问题情境初步感受到估算的实用价值．

第二环节：活动探究

内容：

1．探究一个无理数估算结果的合理性． 2．学会估算一个无理数的大致范围．

例1 下列结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流． ①40≈20 ； ② ③100000≈500； ④

30.9≈0.3； 900≈96．

解答：这些结果都不正确． 怎样估算一个无理数的范围?

例2 你能估算它们的大小吗？说出你的方法．

①40 ； ②0.9； ③100000 ； ④3900． （ ①②误差小于0.1；③误差小于10；④误差小于1．） 解答：

40≈6.3 ；

0.9≈0.9； 100000≈310 ；

3900≈9．

说明：误差小于10就是估算出的值与准确值之间的差的绝对值小于10，所以100000的估算值在误差小于10的前提下可以是310，也可以是320，还可以是310到320之间的任何数．教材使用误差小于10，而不用精确到哪一位，目的在于降低要求。 目的：

同伴间进行交流，教师适时引导．在解决问题的同时引导学生对解决方法进行总结，和学生一起归纳出估算的方法．让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力． 效果：

通过简单无理数大致范围的估计，初步积累一些解决问题的经验，为接下来的实际应用做好准备．

第三环节：深入探究

内容：

用估算来解决数学的实际问题． 例1 你能比较

511与的大小吗？你是怎样想的？ 22511与的分母相同，只要比较他们的分子就可以了，22511＞． 22小明是这样想的：因为5＞2，所以5-1＞1，

解：∵5＞4，即（5）2＞22， ∴5＞2，

5-1＞1，

即 511＞． 22例2 解决引入时“公园有多宽？”的问题情境中提出的问题．

200000=?

（1）如果要求误差小于10米，它的宽大约是？ （大约440米或450米）

说明：只要是440与450之间的数都可以．

（2）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800平方米，你能估计它的半径吗（误差小于1米）？ （15米或16米）

说明：只要是15与16之间的数都可以． 例3 给出新的问题情境——画能挂上去吗？

生活表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙距离为梯子长度的三分之一，

则梯子比较稳定．现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时， （1）他的顶端最多能到达多高（保留到0.1）？

（2）现在如果请一个同学利用这个梯子在墙高5.9米的地方张贴一副宣传画，他能办到吗？

6

x

1×6 3

解：设梯子稳定摆放时的高度为x米，此时梯子底端离墙恰好为梯子长度的根据勾股定理 ：

1，3x21+（×6）2=62，

3x2+4=36，

2x=32 ，

x=32，

因为5.6231.3632 因为5.7232.4932

所以画不能挂上去 目的：

学生通过独立思考与小组讨论相结合的方式解决新的实际问题，让学生初步体会数学知识的实际应用价值．

效果：

在解决实际问题中再次体会估算的方法，从而体验到学习数学的乐趣．

第四环节：反馈练习

内容：

反馈练习1 估算下列数的大小．

（1）13.6（误差小于0.1） ； （2）3800（误差小于1）． 解答：

（1） ∵3．6＜13.6＜3.7，

∴13.6≈3.6或3.7（只要是3.6与3.7之间的数都可以）． （2） ∵9＜3800＜10，

∴3800≈9或10（只要是9与10之间的数都可以）． 反馈练习2 通过估算，比较下面各数的大小． （1）311与 ； （2）15与3.85． 22解答： （1）∵3＜2，

∴3-1＜1， 即

311＜． 22（2）∵3.852=14.8225，

∴15＞3.85．

反馈练习3 给出与生活密切联系的实际问题情境

一个人一生平均要饮用的液体总量大约为40立方米 ，如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高（误差小于1米）? 目的：

教学引导学生解决问题，学生通过独立思考和与同伴合作交流的方式解决提

出的问题，让学生再次体会估算的方法和估算的实际应用，调动探究的积极性． 效果：

进一步激发学生对利用估算的方法解决问题的兴趣，调动学生学习数学的热情．

第五环节：反思归纳

内容：

1．用自己的语言表达学习这节内容的感想 （1）通过这节课的学习，你掌握了哪些知识？ （2）通过学习这些知识，对你有怎样的启发？ （3）对于这节课的学习，你还有哪些疑问？ 2．浏览给出的知识点归纳． 目的：

引导学生归纳本节的基本内容，让学生及时小结，教师展示知识脉络图并反思本节课教学设计的不足，及时做出后面教学的调整． 效果：

部分学生能大胆地提出疑问．

第六环节：作业巩固

内容：

习题2.6 1，2，3，6 目的：

给出作业内容，学生浏览给出的作业． 效果：

让学生在练习中及时巩固所学知识．

四、教学设计反思

（一）突出重点、突破难点的策略

“公园有多宽”这节内容是让学生掌握估算的方法，训练他们的估算能力，而学生在生活中接触用估算解决实际问题的情况比较少，所以比较陌生，进而学习起来难度就比较大。教学中一定要选取学生熟悉的问题情境引入，才能激发学生的学习兴趣，为此，本节课的教学中选取了“修建环保公园”的问题情境引入，与学生平时的生活密切联系，容易把学生的积极性调动起来．当然还可以结合地区特点创设其余的问题情境引入，例如“污水池有多宽”，“实验田有多宽”，“体育馆有多宽”等问题情境．在探究估算方法的时候，教师要注重适时的引导，以免让学生无从下手．在教学过程中一定要让学生体会估算的实用价值，了解到“数学既来源与生活，又回归到生活为生活服务”．

（二）课堂评价的一些思考

在教学中要多鼓励学生用自己的语言表达他们的想法，在估算的过程中多给予适当的引导和评价，让学生逐步把握估算的方法，找到解决问题的信心．比如对“画能挂上去吗”这个问题情境，学生可能提出不同的看法，有些学生可能认为可以挂上去，因为人还有身高，完全可以弥补梯子稳定摆放的高度和挂画位置的高度之间的差距，有些学生可能认为，人不可能爬到梯子的顶部，加上人如果本来比较矮，画就不能挂上去等等想法，教师都应该给予肯定，这样才能激发学生思考问题的热情，调动学生探究问题的积极性．作为教师，一定要尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，鼓励探究方式、表达方式和解题方法的多样化．

附：板书设计

公园有多宽 引入 x·2x=400000 活动探究练习

例1

例2 梯子问题情境 反馈练习

练习1 200000=? 练习2 小结

保留性板书 暂时性板书

第二章 实数

5. 用计算器开方

一、学生起点分析

（本课适合有条件使用计算器的学校）

学生知识技能基础：学生在七年级上学期已经学习了《计算器的使用》，学会了使用计算器进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算，掌握了计算器的基本使用方法．

学生活动经验基础：学生在七年级上学期已经学过了使用计算器进行简单的有理数的计算并利用计算器进行了一定的探索活动，积累了一些活动经验．

二、教学任务分析

本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》第5节，具体内容为：用计算器求平方根和立方根以及有关混合运算．经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力． 为此，本课的教学目标是： 1.会用计算器求平方根和立方根．

2.鼓励学生自己探索计算器的用法，经历运用计算器探求数学规律的活动，发展学生的探究能力和合情推理的能力．

3.在用计算器探索有关规律的过程中，体验数学的规律性，体验数学活动的创造性和趣味性，激发学习兴趣．

三、教学过程设计

本课设计了六个环节：第一环节：情境引入；第二环节：学习使用计算器求

平方根和立方根；第三环节：做一做；第四环节：议一议；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置

教学准备：每位学生一个计算器，并按计算器的类型分小组 目的：便于使用相同计算器的学生进行讨论，共同学习

第一环节 情境引入

提出问题：你能计算5.89吗？

进而明晰：对于小数、分数或一些较大的整数的开方运算，我们可以用计算器来计算．

目的：导入新课．

第二环节 学习使用计算器求平方根和立方根

内容：要求学生仔细阅读计算器使用说明书，找到关于开方运算的说明，并按说明书上的范例操作，然后与组内成员进行讨论，回答下列问题： 1．开方运算要用到键 和键 ． 2．对于开平方运算，按键顺序为： 3．对于开立方运算，按键顺序为： 4．用计算器计算： （1）5.89 （2）32 （3）31285 （4）51 （5）67 7目的：明确使用计算器进行开方运算的按键顺序，并进行实际操作．

说明：学生在阅读了各自的计算器使用说明书后，在计算器上尝试操作，再在小组中交流成功或失败的经验，便于学生更快更好地掌握使用计算器进行开方运算的方法．

学生在小组内自我纠错，自我更正，教师需要在教室里巡视关注学生学习活动的开展情况，提供相应的帮助．

由于我校计算器是同一型号，授课时可以请学生示范开方运算的按键顺序，学生能很快掌握．

第三环节 做一做

内容：利用计算器，求下列各式的值（结果保留4个有效数字）： （1）800 （2）322 （3）0.58 （4）30.432 5此环节可以开展比一比看谁算得快的活动． 例1 利用计算器比较33和2的大小．

目的：熟悉用计算器进行开方运算．

效果：有了上个环节的铺垫，此环节操作很顺利．

第四环节 议一议

内容：（1）任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开方次数的增加，你发现了什么？ （2）改用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似规律． 学生操作后，在小组内讨论形成结果，再进行全班交流．

（3）任意找一个非零数，利用计算器对它不断进行开立方运算，你发现了什么？ 学生操作后，在小组内讨论形成结果，再进行全班交流．

目的：熟悉使用计算器求平方根和立方根的技能，并在探求数学规律的活动，发展合情推理的能力．

效果：枯燥的运算，竟然蕴含这规律，较好地激发了学生的兴趣，增强了学生的求知欲．

第五环节：课堂小结

内容：今天我们学习了如何使用计算器进行开方运算，你能叙述如何使用计算器进行开方运算吗？

目的：回顾使用计算器进行开方运算的步骤． 效果：学生所学知识得以巩固．

第六环节：布置作业

内容：习题 2.7

四、教学设计反思

根据新课标的评价理念，教师在课堂教学中应尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，这一节的内容，学生可以通过自己阅读计算器的使用说明书学会操作步骤，所以采用了学生自学、小组内交流的学习方式．学习效果较好． 附：板书设计

2．5用计算器开方 一．学习使用计算器求平方根和立方根 二．做一做 三．议一议（对任一正数一直进行开平方运算会发现什么规律） 四．小结

第二章 实数

6．实数

一、学生起点分析

实数是在有理数和勾股定理等知识基础上进行的第二次数系扩张，在教学中注意运用类比方法，使学生明确新旧知识之间的联系，如实数的相反数、倒数、绝对值等概念可完全类比有理数建立，并通过例题和习题来巩固，适当加深对它们的认识。

二、教学任务分析

本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》的第六节。这节内容教材安排了3个课时，本节课为第一课时。主要是建立实数的概念并能对实数按要求进行不同的分类，同时了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义，让学生在动手操作中明确实数和数轴上的点是一一对应的。

在本节之前学生已学习了平方根、立方根，认识了无理数，了解了无理数是客观存在的，从而将有理数扩充到实数范围，使学生对数认识进一步深入。中学阶段有关数的问题多是在实数范围内进行讨论的，同时实数内容也是今后学习一元二次方程、函数的基础。本节课的教学目标是：

1．了解实数的意义，能对实数按要求进行分类；了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数轴上的位置比较大小.

2．了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.

3．在利用数轴上的点来表示实数的过程中，让学生进一步体会数形结合的思想。

4.在认识“实数”这一新知识时，学生应用已有的“有理数”的相关概念及

运算规律类比解决“实数”的相关概念及运算规律，从而获取解决实数相关问题的基本方法。

5．了解数系扩展对人类认识发展的必要性；

教学重点

1．了解实数意义，能对实数进行分类；

2．在实数范围求相反数、倒数和绝对值、明确实数的运算运算规律； 3．明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数。

教学难点

利用数轴上的点表示无理数

三、教学过程设计

本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：实数概念和分类；第三环节：实数相关概念；第四环节：实数的运算；第五环节：探究——实数与数轴上点之间的对应关系；第六环节：课堂练习；第七环节：归纳小结；

第一环节：复习引入新课

内容：问题：（1）什么是有理数？有理数怎样分类？

（2）什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？

意图：回顾以前学习过的内容，为进一步学习引入无理数后数的范围的扩充作准备。

效果：学生主动思考并积极回答，通过相互补充完善了旧知识的复习掌握，通过对有理数分类的复习，使学生进一步明确了分类要按同一标准不重不漏。通过举例明确了无理数的表现形式，野味后续判断或者对实数进行分类提供了认知准备。

第二环节：实数概念和分类

内容1：把下列各数分别填入相应的集合内：

3204152，4，7，，2，2，3，5，38，9，0，0.3737737773……

（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）

有理数集合

无理数集合

… … 知识整理：有理数和无理数统称为实数。

意图：通过将以上各数填入有理数集合和无理数集合，建立实数概念。 效果：学生动手填写，并进行小组交流讨论，对带根号的数是否是无理数有了进一步认识。

内容2：1．你能把上面各数分别填入下面相应的集合内吗？

正数集合

负数集合

… … 2．0属于正数吗？0属于负数吗？

知识整理：无理数和有理数一样，也有正负之分。

1．从符号考虑，实数可以分为正实数、0、负实数，即：

正实数实数0负实数

2．另外从实数的概念也可以进行如下分类：

有理数实数无理数

意图：在实数概念形成的基础上对实数进行不同的分类。上面的数中有0，0不能放入上面的任何一个集合中，学生容易遗漏，强调0也是实数，但它既不是正数也不是负数，应单独作一类。提醒学生分类可以有不同的方法，但要按同一标准不重不漏。

效果：让学生讨论回答，形成共识：实数也可以分为正实数、0、负实数，并体会到了分类中不能出现遗漏和重复的要求。

第三环节：实数的相关概念

内容1：1．在有理数中，数a的相反数是什么？绝对值是什么？当a不为0时，它的倒数是什么？

32．2的相反数是什么？5的倒数是什么？3，0，—π的绝对值

分别是什么？

意图：从复习入手，类比有理数中的相关概念，建立实数的相反数、倒数和绝对值等概念，它们的意义和有理数范围内的意义是一致的。

效果：学生类比有理数中相关概念，体会到了实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义。

内容2：想一想：

1．3—π的绝对值是 。

2．想一想：a是一个实数，它的相反数是 ，它的绝对值

是 ，当a≠0时，它的倒数是 。

知识整理

（1）相反数：a与—a互为相反数；0的相反数仍是0；

1（2）倒数：当a≠0时，a与a互为倒数（0没有倒数）；

（3）绝对值：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；

a|a|0a即：

(a0)(a0)(a0)

意图：加深学生对相关概念的理解。

效果：学生在讨论交流中进一步掌握了实数的相反数、倒数、绝对值等知识。

第四环节：实数运算

内容：1.在有理数范围内，能进行哪些运算？（加、减、乘、除、乘方），用哪些运算律？

2.判断下列各式成立吗？

2552

351135355

43273247321132

意图：从复习入手，类比有理数中的相关运算及运算律，得到有理数的运算及运算律对实数仍然适用。

效果：学生类比有理数中相关运算，体会到了实数范围内的运算及运算律。

第五环节：探究——实数与数轴上点之间的对应关系

内容1：如图所示，认真观察，探讨下列问题：

议一议：

（1）如图，OA=OB，数轴上A点对应的数表示什么？它介于哪两个整数之间？ （2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？ 知识整理

（1）每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的；

（2）在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

意图：探讨用数轴上的点来表示实数，将数和图形联系在一起，让学生进一步领会数形结合的思想，利用数轴也可以直观地比较两个实数的大小。

效果：经过学生的探讨，认识到了数轴上点A表示的数是2，它是一个无理数，这表明有理数不能将整个数轴填满。进而观察到点A在表示数1和2的点之间，因此“数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”在实数范围内仍然适用。

-2

-1

0

1

A 2

B

第六环节：课堂练习

内容：1．判断下列说法是否正确：

（1）无限小数都是无理数； （2）无理数都是无限小数； （3）带根号的数都是无理数。

2．求下列各数的相反数、倒数和绝对值：

3（1）7； （2）8； （3）49．

3．在数轴上作出5对应的点。

意图：通过以上练习，检测学生对实数相关知识的掌握情况。

效果：第1，2题学生能较好地完成，在解决第第3题时遇到了一定的困难，通过回顾

2的作法，学生相互讨论、交流，确定了作长、宽分别为2和1的长

方形，其对角线为即为5，从而能在数轴上作出相应的点。

第七环节：归纳小结

内容：议一议，本节课我们学习了哪些知识？ 意图：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获。 效果：学生交流，互相补充，完成本节知识的梳理。

六、反思

实数作为有理数的扩张，其具体研究内容和有理数完全类似，因此学习中，本课时设计中，十分关注前后知识之间的内在联系，关注运用类比的思想学习新的知识，这是本课设计中一个十分显著的特点。实际上，类似的问题在其他知识学习中同样存在，注意体会。

此外，根据学生的认知状况，借助类比学习实数有关知识，还可以有一些不同的尝试，如果学生整体认知水平较高，可以要求学生首先回忆有关有理数学习内容和顺序，并根据这个知识框架思考是否可以构建实数的有关顺序，思考在各个具体内容如何研究等问题，然后再打开书本比照学习。当然也可以首先提出一些思考的问题，让学生自学，整理有关框架，并和旧的框架建立联系等。教无定法，关键在于适应你的学生状况。

附：板书设计 一、实数定义 6．实数（一） 正实数有理数二、实数分类：实数或 实数0 无理数负实数 三、实数的相关概念与运算： 相反数 倒数 绝对值 运算 四、实数和数轴上的点一一对应 第二章 实数

7．二次根式（第1课时）

一、学生起点分析

七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度．

二、教材任务分析

本节分为三个课时。第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力．

为此，确定本节课教学目标是：

1.认识二次根式和最简二次根式的概念. 2.探索二次根式的性质．

3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式．

三、教学过程设计

本节课设计了六个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质； 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结；

第一环节：明晰概念

问题1 ：5，11，7.2，

49，(cb)(cb)（其中b=24,c=25），上述121式子有什么共同特征？

答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。

介绍二次根式的概念。一般地，式子a(a0)叫做二次根式。a叫做被开方数．强调条件：a0．

问题2：二次根式怎样进行运算呢？ 答：这是我们本节课要解决的新问题．

意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础．

第二环节：探究性质

（一）内容：通过探究得出aba•b，

具体过程如下：

（1）49＝ ，49＝ ；

aba． b1625＝ ，1625＝ ；

49＝ ，

4＝ ； 91625＝ ，

16＝ ． 25（2）用计算器计算：

67＝ ，67＝ ；

67＝ ，

6＝ ． 7问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？

问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？

问题3：其中的字母a，b有限制条件吗？ 意图：最终归纳出aba•b（a≥0，b≥0），

aba（a≥0， b＞0）． b说明：公式中字母a≥0，b≥0（或b＞0）这一条件是公式的一部分，不应忽略．

第三环节：知识巩固

例1 化简（1）8164；（2）256；（3）

5。 9 观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？

意图：由于现在还没有最简二次根式的概念，学生实际上并不知道化简的方向，因此，这里以例题的形式呈现了有关结论.

被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数。一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。 化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。

例2.化简：（1）45；（2）27；（3）

13；（4）

8125；（5）． 916答案：（1）4595953535； （2）2793933333； （3）

13=

1•33•33； 3422222； 3332555555． 444（4）

8899423（5）

12512516162554问题：

（1）你怎么发现45含有开得尽方的因数的？你怎么判断

14是最简二次7根式的？

（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴交流。

说明：含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在前面，并省略去乘号．

反思：以上化简过程有何规律呢？希望学生得出：根号里面的数有一部分移到了根号外面，具体来说是能开得尽方的因数，开方后写到了根号外面．从而明确：被开方数若有开得尽的因数，一般需要进行化简．

第四环节：知识拓展

说明：这部分根据学生的实际情况进行取舍，程度好的班级可选用，基础不好的班级舍去． 练习：

1.下列平方根中, 已经简化的是（ ） A.

1 B. 20 C. 22 D. 121 32.判断下列各式是否成立。你认为成立的请在（）内打对号 ，不成立的打错号 。 ①22233 （ ） ； ②33 ( ) 233884455 （ ）； ④5( ) 4515152424③ 4你判断完以后，发现了什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并说明n的取值范围？

第五环节：课堂小结

本节课主要内容：

（1）掌握并会运用公式：abab（a≥0，b≥0），

aba（a≥0，b＞b0）．

（2）理解本节课中用过的数学方法：类比，找规律，归纳总结．

五、教学反思

（一）关注类比，提出重点

本节经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系．

（二）对运算技能要求恰当定位

根据新课标精神，对学生的评价不能过分要求技巧，应关注学生对运算法则

的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法，能否依据算理正确地进行计算，能否确认结果的合理性等等，对于较复杂的实数运算，应关注学生是否会使用计算器进行运算．因此，注意对运算技能要求作恰当的定位，特别是在开始运算的第一课时，不要提高要求。

（三）分层教学

本节课的教学设计中考虑了学生的层次不同，对知识深度和广度的要求也有

所不同，因此，增加了知识拓展的内容，供层次高一些的学生及班级选用．

第二章 实数

7．二次根式（第2课时）

一、学生起点分析

在前面，学生已经掌握了实数的概念，实数的运算法则；学会了利用公式：

abab（a≥0，b≥0），

aba（a≥0，b＞0）进行简单的实数四则b运算．本课时更多的是反用上面的公式，因此，上一课时知识成为本课时很好的知识基础。

二、教材任务分析

二次根式（第2课时）是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第2课时，基于第1课时二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算，经历本节课的学习，学生将对实数的运算，有较全面的了解，同时进一步熟练实数的运算，为今后的学习打下坚实的基础．本节课的教学目标是：

1.通过对公式的反向运用，达到化简的目的．学会一种特殊的思考方法． 3.在探究、合作活动中，发展学生探究能力和合作意识．

4.通过对公式的逆运用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．

三．教学过程设计

本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：知识探究；

第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结；

第一环节：复习引入

内容：复习算术平方根的概念，并提出问题：下面正方形的边长分别是多少？

面积8

这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？

点明本节课研究课题

面积2

意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课。

第二环节：知识探究

1．在上一课时探究的公式的基础上明晰二次根式乘除的运算法则：

abab（a≥0，b≥0），

aba（a≥0，b＞0）． b2．提出问题：能否根据该公式将8化成22？ 例3 计算：

（1）62263；（2）；（3）。 352解：

（1）略 （2）

63225＝＝

＝

632

＝

63＝9＝3 2（3）

21025＝= 5555说明：常常把要被开方数的分子与分母同乘以一个适当的数，使得分母成为一个平方数．

第三环节：巩固练习

例4 计算：

（1）3223（2）1235；（3）(51)2；（4）(133)(133)； （5）(121818)3；（6）。 32 解：（1）3223=3223=66；

（2）1235＝1235＝365＝6－5＝1； （3）(51)2＝(5)2251＝5＋25＋1＝6＋25； （4）(133)(133)＝(13)232＝4； （5）(1211)31233361615； 3381849235。 22 （6）

8182意图：从本例开始，正式进行二次根式的加减乘除运算，但设计时注意了题目的梯度。本例还侧重于乘除法运算，只是已经开始考虑有关运算律和公式的运用了（如交换律、结合律、分配率、乘法公式等）；教学中，注意体会这些题目之间的层次性，教学中务必循序渐地开展相关技能训练，让更多的学生感受到成功的喜悦，循序渐进地发展学生的学力。

例5 计算：

（1）483；（2）5143)6。 ；（3）(53解：（1）483＝1633＝1633＝433＝53； （2）515545＝5＝5＝5＝5； 52555254636818223252。 3（3）(43)63课堂练习1： 1.化简：（1）18；（2）4513375；(3)6 ；（3）（4）12．（5）

322第四环节：知识拓展

﹡课堂练习2：

化简：（1）128； （2）9000； （3）21248； （4）

2132； （6）． 5032； （5）320459523解：（1）1286426428282；

（2）9000900109001030103010； （3）21248

＝24316324316322343

434383；

（4）

25032 925216222425216252422； 333＝

29（5）32045＝345951 555514 3459565355；

255525（6）

3266666656． 234923649第五环节：课堂小结

在进行根式乘除运算时，你有哪些体会与收获？

五、教学反思

本节课提出了最简二次根式，给出了二次根式化简成最简二次根式的常用方法．同学们需通过练习认真体会各类方法，做到能灵活运用．为今后的学习打下基础．

本节课的教学设计中考虑了学生的层次不同，对知识的要求也不同，因此增加了知识拓展的内容，供层次高一些的学生及班级选用．

第二章 实数

7．二次根式（第3课时）

一、学生情况分析

前面学习了实数，实数的运算法则，最简二次根式及二次根式的化简，已能进行实数的四则运算.但熟练程度不高，同时对根号内含字母的二次根式的化简比较生疏.．为今后的数学学习扫清了计算方面的障碍．

二、教学任务分析

二次根式（第3课时）是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第3课时．继续巩固二次根式的概念，熟练二次根式的化简，进而完善实数的运算．

二次根式化简掌握以后，初中阶段实数的运算基本完成，本节课就是进一步完善二次根式的运算。若能够在含字母的二次根式的化简方面再深化一下，那么在今后的学习中，实数的计算问题基本解决了．经历本节课的学习，学生对实数的运算，就有了较全面的了解。因此本节课的目标定为： 1.进一步理解二次根式的概念，进一步熟练二次根式的化简。 2. 了解根号内含有字母的二次根式的化简

3.利用二次根式的化简解决简单的数学问题． 通过独立思考，能选择合理的方法解决问题．

4.在运算过程中巩固知识，通过与人交流总结方法． 根号内含字母的二次根式的化简对学生来说是一个难点．

三、教学过程设计

本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：知识巩固； 第三环节：问题解决 ；第四环节：知识提升；第五环节：课时小结； 第六环节：作业布置.

第一环节：复习引入

内容：

（1）最简二次根式的概念；

（2）二次根式化简过程中，你有哪些体会？

（3）上节课课后作业：若21.414，31.732，62.449，求是怎样解决的？

3．你2意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课．

第二环节：知识巩固

1.巩固提升 例4 计算： （1）

1321；（2）188；（3）(24)3． 238632322311111＝＝66＝()6＝6； 232233236231215＝322222＝32222＝2； 81644解：（1）

（2）188（3）(24111 )3＝2433 ＝2433 66612111 ＝42 ＝222 ＝2 ． 636666＝8说明：可以放手让学生独立完成，然后通过交流，发现问题，给出一个统一的意见．

2.交流

收集第（3）小题有多少种解决方法．让学生说说想法． 3.反思

以上过程每位同学都是怎样化简的，方法好不好，能做到快而准确吗？ 4.练习 化简：

（1）

1211)8． ；（2）123；（3）(18510322125110111＝＝1010＝10； 5105510105101011314＝433＝2333＝3； 33333解：（1）

（2）123（3）(18111)8＝1888＝1888

22218＝1444＝122＝10． 2＝188第三环节：问题解决

如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形 的面积，你有哪些方法，与同伴交流．

1.交流

让学生充分发表意见． 2.答案

（1）直接求法．

过点D作AB边上的高DE，可发现边AB，DC及DE 都是某一个小直角三角形的斜边．根据勾股定理可求得 AB＝52， CD＝2，DE＝32，面积梯形ABCD的面积是

1(522)32＝18. 2（2）间接求法．

将梯形ABCD补成一个5×7长方形，用长方形的面积减去3个小三角形的面

111积，得梯形ABCD的面积是57554211＝18．

222第四环节：知识提升

1.知识探索

问题：a2（a0）等于多少？

根据算术平方根的定义，可知a2a（a0）． 2.知识运用 例5 化简：

（1）25a3b3（a0，b0）；（2）(xy)3（xy0）；（3）． b0）

abb（a0，a解：（1）25a3b3＝52a2b2ab＝52a2b2ab＝5abab； （2）(xy)3＝(xy)2(xy)＝(xy)xy；

（3）

abab＝baaba11＝＝abab． baba23.课堂练习

1.当a0，b0时化简： （1）ab(1ab（2）4a2b3；（3）()；b)ab；

baaba15． ab（4）10a2ab5解：（1）ab(ababab)＝abab＝abab bababa＝a2b2＝ab；

（2）4a2b3＝22a2b2b＝22a2b2b＝2abb； （3）(111b)ab＝abbab＝abbab＝bb2a

aaa＝bba； （4）10a2102b3baba2ab515＝(10a515)ab＝a

3aabab102b2ba102b2ba102b2ab102ba＝a＝＝＝aaab

2333a2a23aa＝

10abab． 31b)ab的值，其中a3，b2． a2. 求代数式(解：由题知a0，b0．

(111b)ab＝abbab＝abbab＝bab2 aaa＝bba．

当a3，b2时，bba＝223．

第五环节：课堂小结

（1）二次根式的化简：

二次根式的化简一定要化成最简二次根式．

（2）利用式子a2a（a0）可将根号内含字母的二次根式化简，结果也要化成最简二次根式．

第六环节：课后作业

习题 2．11 1， 3 补充作业：

化简：（1）(232)(362)； （2）32(2124yxx)xy(x0,y0)； y1348)； 8（3）(xy2（4）(a3bab3ab)ab(a0,b0)； （5）2a3ab2b327a32aba(a0)． 64答案：（1）16246；（2）4866；（3）xy2yx；（4）a2bab2abab；（5）

5ab3a． 2五、教学反思

本节课继续熟练二次根式的化简，要求化成最简二次根式．同学们需通过练习认真体会各类方法，做到熟练并能灵活运用．

本节还涉及根号内含有字母的二次根式的化简，仍然要求化成最简二次根式．这部分内容对学生的基础要求较高，基础不好的班级可降低难度．

第六章 实数

回顾与思考

一、学生起点分析

本章学习至此，学生已经认识了无理数，学习了实数概念及相关运算，从而将原有有理数扩充到了实数范围，使得对数的认识更进一步深入，让学生感受到了数系扩充的必要性与作用．在前面的探究活动中，学生已经掌握了相关数学知识，并具备了一定的数学能力，掌握了类比、数形结合等数学思想方法，也具备了一定的合作学习经验，为学习本节“知识回顾与思考”奠定了基础．

二、教学任务分析

本章是在学习了勾股定理及有理数等知识的基础上，进行的数系第二次扩张，使学生对数的认识进一步深入．本课是对整章内容的复习与归纳，在教学过程中不必多过地追求概念，只要学生能够结合具体情境，从意义上理解主要概念即可．

作为复习归纳课，学生虽对相关知识基本掌握，但是知识间的联系还不够清楚，对于一些综合性较强的题在方法上还有所欠缺，因此本节的教学中应将整章知识点进行梳理整合，并以典型题作为载体让学生从题中悟知识点，从题中悟数学思想与方法．

因此，本节课的教学目标是：

①复习无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式及相关概念，会用根号表示，并会求数的平方根、立方根并进行相关运算；

②在实数的有关概念和运算律、运算法则的教学中，让学生体会类比的思想； ③通过复习提高学生归纳整理的能力，并在师生互动、生生互动的过程中让学生学会倾听学会交流；

本章概念较多，学生容易混淆，因此本节的重点应帮助学生理清无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式的概念．

本章的难点体现在以下几处：①算术平方根的双重非负性有着重要的作用，常与平方、绝对值等具有非负性的知识结合在一起应用；②实数的混合运算也一向是学生计算的难点，学生往往在运算顺序、运算法则上出错；③本章对学生数形结合的能力有较高要求，如实数与几何知识勾股定理结合在一起就是学生掌握的难点．

本章的知识结构框图

整数有理数分数实数分类无理数正无理数负无理数定义：如果一个数x的平方等于a，即x2a，那么这个数x叫做a的平方根2平方根表示：若xa，则xa算术平方根：若x2a，则a的算术平方根为x3定义：如果一个数x的立方等于a，即xa，那么这个数x叫做a的立方根立方根表示：若x3a，则x3a实数定义：式子a(a0)叫做二次根式二次根式最简二次根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式2(a)a(a0)2aa33(a)a重要性质3a3aabab(a0,b0)aa(a0,b0)bb实数的性质应用

三、教学过程设计

本节课设计了五个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：典例精析；第三环节：运用巩固；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业．

第一环节 知识回顾

知识点填空:

（1） 无限不循环小数 叫做无理数． （2） 有理数和无理数 统称为实数．

整数有理数分数 实数分类正无理数无理数负无理数

（3） 实数 和数轴上的点是一一对应的．

（4）a2a；(a)2a(a0)；(3a)3a；3a3a；

abab(a0,b0)；

aba(a0,b0) b（5）把 分母 中的根号化去，叫做分母有理化．

（6）最简二次根式应满足的条件是被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式

（7）同类二次根式：几个二次根式化成 最简二次根式 后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式；化简时，有同类二次根式要合并，可以约分的分式要约分．

设计说明：以上7个填空题老师可带着学生共同完成，通过填空让学生清晰本章的几个重要概念，特别是（4）中的几个易混点可通过此环节帮助学生理清楚．这样也为解决下一环节中的经典例题做好知识点的扎实铺垫.

第二环节 典例精析

（一）实数的相关概念

例1 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？

23，35，3.14159265，9，，31，(5)2，3.1010010001…（相邻两

个1之间0的各数逐次加1）

设计说明：此题考查概念．整数和分数统称为有理数，这是有理数的判断方法．无理数是无限不循环的小数，这是无理数的判断方法．而无限不循环小数主要有以下几种：①开方开不尽的方根；②含π的数；③是无限小数且不循环．在判断时还应注意，一定要抓住概念的本质而不是根据数的形式，如此题中的9，(5)2虽然都含有根号，但它们都是有理数.所以此题中的有理数有：3.14159265，

9，(5)2；无理数有：23，35，，31，3.1010010001…（相邻两个

1之间0的各数逐次加1） （二）实数的相关性质及运算

例2 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简ab(ba)2.

设计说明：此题考查算术平方根的意义，也培养学生的读图能力，体现数学中的数形结合思想方法．由数轴上a、b的位置可知ab0，ba0，从而根据算术平方根与绝对值的意义有：

ab(ba)2(ab)baabba2a 例3 计算：(1)11140 (2) 512948 1032设计说明：意在复习实数的运算法则及二次根式的化简.

11101910 4041021010101010512911113485439163103923103332393323322013例4 （1）已知a、b满足a2b30，求(ab)的值

（2）已知y2x4242x3，求xy的值.

设计说明：运用算术平方根的双重非负性解决此题，这也是本章的难点之一. 解：（1）

又

a20,b30 a2b30

a20,b30

a2,b3

(ab)2013(23)2013(1)20131

（2）2x40,42x0

2x442x0 x2

y0033 xy238

（三）实数中的数形结合

例5、已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为多少？

设计说明：此题是关于运用实数相关知识解决三角形中线段长度的问题．其易错点是△ABC的形状有两种情况，学生容易忽略钝角三角形的情况．通过此题意在提高学生运用分类讨论的思想解决数学问题的能力.

分析：（1）当△ABC为锐角三角形时，易求BD=15，DC=6，从而求得BC=15+6=21.

BAADCBCD（2）当△ABC为钝角三角形时，易求BD=15，DC=6，从而求得BC=15－6=9.

第三环节 运用巩固

1．下列说法错误的是（ ）

A．4的算术平方根是2 B．2是2的平方根 C．－1的立方根是－1 D．－3是(3)2的平方根 2．当2x3时，求代数式1616x4x22x6的值． 3．若x1有意义，求x的取值范围. x24．一等腰三角形的腰长与底边之比为5:6，它底边上的高为68，求这个等腰三

角形的周长与面积．

设计说明：通过这几道题意在巩固第二环节的学习效果，让学生自己动笔练习，并在独立完成后通过小组合作来进行交流订正．

答案：1．D 2．2 3．x2 4．CABC817，SABC51

第四环节 课堂小结

请同学们认真思考下列问题：

1、通过本堂课的学习我收获了什么？ 2、我还有哪些没有解决的困惑？

设计说明：用2分钟左后时间让学生思考这两个问题，并请学生回答，及时肯定学生的收获并加以归纳，同时发现学生的困惑及时答疑．

第五环节 布置作业

完成课本P4749复习题知识技能1题、4题、10题；数学理解14题；问题解决21题．

设计说明：1题是关于有理数与无理数概念的题；4题为实数的运算题；10题考查的是“实数与数轴上的点一一对应”这一知识点，巩固数形结合的思想方法；14题看似简单，其实考查了本章的众多概念，特别适合用于检验学生对基础知识的掌握情况；21题为实数的应用，在考查计算的同时也锻炼了学生作图、读图、数形结合的综合能力．

四、教学设计反思

1．选择性的使用例题

在此教学设计中，例题数量并不少，针对不同的学生群体，老师可适当删减，做到有的放矢，但是建议概念例题保留． 2．给予学生充分的表达和交流的机会

老师可以在前四个环节中根据具体情况采用不同的教学方法，可以师生互动也可以生生互动，通过交流讨论让学生学会表达、学会倾听、学会归纳．其实教学活动最主要的意图就是让学生主动起来，应多给予学生交流的时间与机会． 3．注意收集学生生成性的学习资源

在师生的问答活动中、在学生的独立思考中、在生生之间的互动交流中都会迸发出许多我们难以预料的惊喜或困惑，也许是一些精彩的发言、也许是一个精妙的方法、也许是一个典型的错误、也许一个重要的经历、也许是一串宝贵的收获…这些在课堂中新生成的资源是学生学习过程中的宝贵财富，因此我们应鼓励学生多收集这些闪光点用以形成自己可以学习借鉴的学习资源．

《实数》单元检测题

（满分：100分 时间：60分钟）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．如果a有算术平方根，那么a一定是（ ）

（A）正数 （B）0 （C）非负数 （D）非正数 2. 下列说法正确的是（ ）

（A）7是49的算术平方根，即497 （B）7是(7)2的平方根，即(7)27 （C）7是49的平方根，即497 （D）7是49的平方根，即497

13．一个数的算术平方根的相反数是2，则这个数是（ ）.

3949349（A） （B） （C） （D）

734994．下列各组数中互为相反数的是（ ）

（A）2与(2)2 （B）2与38 （C）2与与2

5．若将三个数3，

7，11表示在数轴上，其中能被如图所示

1 （D）22的墨迹覆盖的数是（ ）

（A）3 （B）7

（C）11

（D） 无法确定

那

么

化

简

6．a、b在数轴上的位置如图所示，

aba2的结果是 ( )

（A）2ab （B）b （C）b （D）2ab 7．已知：a5，b27，且abab，则ab的值为（ ）

（A）2或12 （B）2或－12 （C）－2或12 （D）－2或－12 8．下列命题中：①有理数是有限小数；②有限小数是有理数；③无理数都是无限小数；④无限小数都是无理数；⑤无理数包括正无理数、零、负无理数；⑥无理数都可以用数轴上的点来表示；⑦一个数的算术平方根一定是正数；⑧一个数的立方根一定比这个数小．其中正确的有（ ）

（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个 9．将2，33，45用不等号连接起来为（ ） （A） （C）

32<33<45 3<2<45

（B） （D）

45< 5<

33<

2

342<

3

10．下列运算中，错误的有 （ ） ①125511111；②(4)24；③22222；④ 1441216442（A）1个 (B)2个 （C）3个 （D）4个 二、填空题（每小题4分，共20分）

115π2211．在实数，，0.1414，39 ，，，0.1010010001…， ， 0，

16222712，

5，241中，其中：无理数有 ；

分数有 ；负数有 ． 12．(81)2的算术平方根是 ，1的立方根是 ，52绝对值27是 ，2的倒数是 ．

13．已知数轴上点A表示的数是2，点B表示的数是1，那么数轴上到点B的距离与点A到点B的距离相等的另一点C表示的数是 ． 14．已知a、b为有理数，m、n分别表示57的整数部分和小数部分，且

amnbn9，则ab ．

15．如图，将1，2，3，6按下列方式排列．若规定(m，n)表示第m排从左向右第n个数，则(5，4)与(15，7)表示的两数之积是__________.

三、解答题（共50分）

16．（本小题满分12分，每题6分）

3052710262 1（1）21

（2）223

17．（本小题满分8分）已知2a1的平方根是±3，5a2b2的算术平方根是4，求3a4b的平方根．

18．（本小题满分8分）已知a，b，c都是实数，且满足(2－a)2＋a2bcc8＝0，且ax２＋bx＋c＝0，求代数式3x2＋6x＋1的值．

2201123201241(12)2 8

19．（本小题满分10分）若a，b为实数，且b的值．

20．（本小题满分12分）

问题背景：

在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．

小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积． (1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上．__________________ 思维拓展：

(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为．．．

5a、22a、17a(a＞0)，请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积． 探索创新：

(3)若△ABC三边的长分别为m2＋16n2、9m2＋4n2、2m2＋n2(m＞0，n＞

0，且m≠n)，试运用构图法求出这三角形的面积． ．．．

A a211a2a，求ab3a1B C

《实数》单元检测题答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．C 2. C 3．D 4．A 5．B 6．C 7．D 8．B 9．A 10．D 二、填空题（每小题4分，共20分） 11．无理数有

15π322，9，，0.1010010001…，12，；分数有，0.1414，

22271155，；负数有，，12．

1616222112．9，，52，． 13．22． 14．47． 15．23

23三、解答题（共50分）

16．（本小题满分12分，每题6分） （1）解:原式=12327582123113358123 33（2）解:原式= 223212223212222 17．（本小题满分8分）

解:由已知得，2a1=9，5a2b2=16，解得a4,b1

所以3a4b=16，则3a4b的平方根为4

18．（本小题满分8分）

解：依题意知(2－a)2≥0，a2bc≥0，c8≥0，

2a0,a2, 所以a2bc0,解得b4,

c80,c8, 所以ax2＋bc＋c＝0即为2x2＋4x－8＝0，可化为x2＋2x＝4， 故3x2＋6x＋1＝3(x2＋2x)＋1＝3×4＋1＝13．

19．解：因为a，b为实数，且a2－1≥0，1－a2≥0，所以a2－1＝1－a2＝0． 所以a＝±1．又因为a＋1≠0，所以a＝1．代入原式，得b＝ 所以ab3＝－3． 20．（本小题满分12分）

(1)

7 21． 2(2) 17a可看作两直角边为4a和a的直角三角形的斜边，5a和22a类似，△ABC如图所示(位置不唯一)

111SABC2a4aa2a2a2aa4a3a2

222 (3)构造△ABC如图所示．

111SABC3m4nm4n3m2n2m2n5mn

222