高数下册知识点

空间解析几何和向量代数：

空间两点的距离：dM1M2(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2向量在轴上的投影：PrjuABABcos,是AB与u轴的夹角。Prju(a1a2)Prja1Prja2数量积：ababcosaxbxaybyazbz,是一个数量两向量之间的夹角：cos向量积：ababsinicabaxbxjaybykaxbxaybyazbzaxayazbxbybz222222，0

az,cabsin.bz几何意义：向量积的模为平行四边形的面积；向量积模的一半为三角型面积.平面的方程：1、点法式：A(xx0)B(yy0)C(zz0)0，其中n{A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般式方程：AxByCzD0xyz3、截距式方程：1abc平面外任意一点到该平面的距离：dAx0By0Cz0DA2B2C2xx0mtxxyy0zz0空间直线的方程：0t,其中s{m,n,p};参数方程：yy0ntmnpzzpt0二次曲面：x2y2z21、椭球面：2221abc2、抛物面：x2y2椭圆抛物面：z（,p,q同号）2p2qx2y2双曲抛物面：z（,p,q同号）2p2q3、双曲面：x2y2z2单叶双曲面：2221abcx2y2z2双叶双曲面：2221abc 1 / 7

x2y2z24、椭圆锥面：2220

abc多元函数微分法及应用

全微分：dzzzuuudxdy　　　dudxdydzxyxyz全微分的近似计算：zdzfx(x,y)xfy(x,y)y多元复合函数的求导法：dzzuzvzf[u(t),v(t)]　　　　dtutvtzzuzvzf[u(x,y),v(x,y)]　　　　xuxvx当uu(x,y)，vv(x,y)时，duuuvvdxdy　　　dvdxdy　xyxy隐函数的求导公式：FxFFdydyd2y隐函数F(x,y)0，　　，　　2(x)＋(x)dxFyxFyyFydxdxFyFxzz隐函数F(x,y,z)0，　，　　xFzyFz微分法在几何上的应用：

x(t)xxyy0zz0空间曲线y(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：0(t0)(t0)(t0)z(t)在点M处的法平面方程：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0曲面F(x,y,z)0上一点M(x0,y0,z0)，则：1、过此点的法向量：n{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0xx0yy0zz03、过此点的法线方程：Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：

fff函数zf(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：cossinlxy其中为x轴到方向l的转角。ff函数zf(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)ijxy

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f它与方向导数的关系是：gradf(x,y)e，其中ecosisinj，为l方向上的l 单位向量.梯度是方向导数最大的方向，梯度的模式方向导数最大值.多元函数的极值及其求法：

设fx(x0,y0)fy(x0,y0)0，令：fxx(x0,y0)A,　fxy(x0,y0)B,　fyy(x0,y0)CA0,(x0,y0)为极大值2ACB0时，A0,(x0,y0)为极小值2则：值ACB0时，　　　　　　无极ACB20时,　　　　　　　不确定多元函数的最大、最小值问题

我们已经知道求一元函数极大值、极小值的步骤，对于多元函数的极大值、极小值的求解也可采用同样的步骤。下面我们给出实际问题中多元函数的极大值、极小值求解步骤。如下： a)：根据实际问题建立函数关系，确定其定义域； b)：求出驻点；

c)：结合实际意义判定最大、最小值. 重积分及其应用：

f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrdDD曲面zf(x,y)的面积ADzz1ydxdyxDD22

平面薄片的转动惯量：对于x轴Ixy2(x,y)d,　　对于y轴Iyx2(x,y)d柱面坐标和球面坐标：

xrcos柱面坐标：f(x,y,z)dxdydzF(r,,z)rdrddz,yrsin,　　　zz其中：F(r,,z)f(rcos,rsin,z)xrsincos2球面坐标：yrsinsin，　　dvrdrsinddrrsindrddzrcos2

r(,)2F(r,,)rsindr0f(x,y,z)dxdydzF(r,,)rsindrdddd002曲线积分：

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第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：x(t)y(t),　　(t),则：f(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt　　()　　特殊情况：xtLy(t)第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：设L的参数方程为x(t)y(t)，则：P(x,y)dxQ(x,y)dy(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dtL{P[两类曲线积分之间的关系：PdxQdy(PcosQcos)ds，其中和分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。格林公式：(QPQPDxy)dxdyPdxQdy格林公式：L()dxdyDxyPdxQdyL当Py,Qx，即：QPxy2时，得到D的面积：Adxdy1D2xdyydxL·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且Qx＝Py。注意奇点，如(0,0)，应减去对此奇点的积分，注意方向相反！·二元函数的全微分求积：在Qx＝Py时，PdxQdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：(x,y)u(x,y)Q(x,y)dy，通常设x0y00。(xP(x,y)dx0,y0)曲面积分：

对面积的曲面积分：f(x,y,z)dsy,z(x,y)]1z2(x,y)z2xy(x,y)dxdyDf[x,xy对坐标的曲面积分：P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy，其中：R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正号；Dxy

P(x,y,z)dydzP[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正号；DyzQ(x,y,z)dzdxQ[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。Dzx两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds高斯公式：

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(PQR)dvPdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds xyz

常数项级数：

1qn等比数列：1qqq1q(n1)n

等差数列：123n2111调和级数：1是发散的23n2n1级数审敛法：

1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：1时，级数收敛设：limnun，则1时，级数发散n1时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛Un1设：lim，则1时，级数发散nUn1时，不确定3、定义法：snu1u2un;limsn存在，则收敛；否则发散。n

交错级数u1u2u3u4(或u1u2u3,un0)的审敛法——莱布尼兹定理： unun1如果交错级数满足，那么级数收敛且其和su,其余项r的绝对值ru。limu01nnn1nn绝对收敛与条件收敛：

(1)u1u2un，其中un为任意实数；(2)u1u2u3un如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。1(1)n调和级数：n发散，而n收敛；1　　级数：n2收敛；ｐ１时发散1　　p级数：　　npp1时收敛幂级数：

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1x1时，收敛于1x1xx2x3xn　　x1时，发散对于级数(3)a0a1x　a2x2anxn，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全xR时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使xR时发散，其中R称为收敛半径。xR时不定1

0时，R求收敛半径的方法：设limnan1，其中an，an1是(3)的系数，则0时，Ran时，R0函数展开成幂级数：

f(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)n2!n!f(n1)()

余项：Rn(xx0)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn0n(n1)!f(0)2f(n)(0)nx00时即为麦克劳林公式：f(x)f(0)f(0)xxx2!n!微分方程的相关概念：

一阶微分方程：yf(x,y)　或　P(x,y)dxQ(x,y)dy0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式，解法：g(y)dyf(x)dx　　得：G(y)F(x)C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方程可以写成dyyf(x,y)(x,y)，即写成的函数，解法：dxxydydududxduy设u，则ux，u(u)，分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxx(u)ux即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：

dy1、一阶线性微分方程：P(x)yQ(x)dxP(x)dx当Q(x)0时,为齐次方程，yCe

P(x)dxP(x)dxdxC)e当Q(x)0时，为非齐次方程，y(Q(x)edy2、贝努力方程：P(x)yQ(x)yn，(n0,1)dx全微分方程：

如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函数的全微分方程，即： uudu(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0，其中：P(x,y)，Q(x,y)xyu(x,y)C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：

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f(x)0时为齐次d2ydy P(x)Q(x)yf(x)，2dxdxf(x)0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)ypyqy0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：()r2prq0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数；2、求出()式的两个根r1,r2 3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：r1，r2的形式 两个不相等实根(p两个相等实根(p一对共轭复根(p22(*)式的通解 4q0) yc1er1xc2er2x y(c1c2x)er1x yex(c1cosxc2sinx) 4q0) 4q0) 2r1i，r2i4qp2p，22 二阶常系数非齐次线性微分方程

ypyqyf(x)，p,q为常数f(x)ePm(x)型，为常数；

x

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