ps7

问题设置＃7－11月14日前完成

1） 题通过求解一个难收敛问题的实例来温习局部连接误差、稳定性和收敛性，用下面的积

分方法来求解满足条件

的

，

其中

，t=mh时刻，x[m]近似于x[t]。

a) 求解这种“跳背戏”法的局部连接误差。 b) 这种方法是否稳定？会收敛么？ c) 分别取

和

画图并比较在λ=1和间隔点t=[0,10]计

算解和精确解。

d) 仔细查看图形，并解释c)部分的结果。

2） 在这个问题中你将学会估算局部连接误差法的训练，并考察当问题描述的非线性函数出

现跳跃时，积分法的精度发生了什么变化。假设采用以下积分法求解满足

的

，

其中

，注意到t=mh时刻，x[m]趋向于近似x[t]。

3

a) 求解a1和a2的值，上述方法的局部连接误差与h成正比，求解其系数的一种方法就是

将x(t)=1,t,t等分别带入公式求得 b) 若

，利用以上方法和a)中求解的系数来计算间隔点

，比较t＝1点

2

t=[0,1]的解，分别取

计算解和精确解。上述方法以多快的速度收敛于精确解？

其它情况下f(x(t))=−0.5x(t)，采用以上方法，c) 先假定x(t)>5时，f(x(t))=−x(t)，

利用（a）中求解的系数，计算间隔点t=[0,1]的解，分别取

，比较t=10.5e

(−0.5(1+log(0.5))

)点计算

解和精确解。上述方法以多快的速度收敛于精确解？解释所得的结果。

3） 这个问题要求你比较有限差分法和投射法求解非线性问题，你将发现两种方法截然不

同，对于标量方程

假设方程有周期性不变解，周期为T＝1，比如

，其中n为整数，

在这个问题中你将会考查用不同的方法求周期解，也就是你可以用两种不同的方法求上面的方程在间隔点t∈[0,1]的解，其中满足约束条件x(0)=x(1)。

a) 令a=1，利用有限差分法求解周期方程，用后欧拉法将时间离散化，∆t=0.01，因此

有限差分离散化就有100个节点，初始假定x(t)=1。

b) 再利用后欧拉法将时间离散化，初始假设x(0)=1用投射法求a=−1时的x(t)。 c) 令a=10，用与（a）中相同的时间离散化法和初始假设值，用有限差分法求解x(t)，

当你试着用投射法求解这个方程时会有什么情况出现？

d) 尝试用有限差分法求得的值x(0)作为投射法的初始假设值，那么对x(0)的扰动有多大，

投射法还收敛么？