霞浦县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

霞浦县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________

一、选择题

1． 如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（

）

姓名__________ 分数__________

A．1﹣B．﹣C．D．

）

2． 等差数列{an}中，已知前15项的和S15=45，则a8等于（ A．

B．6

C．

D．3

3． 若直线l:ykx1与曲线C：f(x)x1A．－1　　　　B．

1没有公共点，则实数k的最大值为（ ）xe1　　　　C．1　　　　D．32【命题意图】考查直线与函数图象的位置关系、函数存在定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力．

4． 给出下列两个结论：

①若命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0；

②命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为“若方程x2+x﹣m=0没有实数根，则m≤0”；：则判断正确的是（ A．①对②错

）

B．①错②对

C．①②都对

D．①②都错

5． 已知圆C1：x2+y2=4和圆C2：x2+y2+4x﹣4y+4=0关于直线l对称，则直线l的方程为（　　）A．x+y=0B．x+y=2C．x﹣y=2D．x﹣y=﹣26． 已知a=，b=20.5，c=0.50.2，则a，b，c三者的大小关系是（ ）A．b＞c＞aB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．c＞b＞a7． 在ABC中，bA．3 3，c3，B30，则等于（ ）

B．123

C．3或23 D．2

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8． （文科）要得到gxlog22x的图象，只需将函数fxlog2x的图象（ A．向左平移1个单位 ）

B．向右平移1个单位

C．向上平移1个单位

）

D．向下平移1个单位

9． 如图，网格纸上的正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（

A．30B．50C．75D．150

10．某个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为（

）

A．9214 运用，难度中等.

B．8214 C．9224 D．8224【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

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【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离．12．如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（

）

A．11B．11.5C．12D．12.5

|=2，则

二、填空题

13．在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且|=　　　　　　．14．设f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣2）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是　　．　

15．如图是一个正方体的展开图，在原正方体中直线AB与CD的位置关系是　　　　　　．16．一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是　　　　　　．17．B、C、D四点，在半径为2的球面上有A、若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为　　　　　　．　

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18．已知函数f(x)xax3x9，x3是函数f(x)的一个极值点，则实数a 32．三、解答题

19．（本小题满分12分）

如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且DAB60，EF//AC，AD2，

EAEDEF3.

（1）求证：ADBE；

（2）若BE5，求三棱锥F-BCD的体积.

20．如图，四边形ABCD与A′ABB′都是边长为a的正方形，点E是A′A的中点，AA′⊥平面ABCD．（1）求证：A′C∥平面BDE；

（2）求体积VA′﹣ABCD与VE﹣ABD的比值．

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21．AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，

（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；

（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为

，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．

22．（本小题满分12分）

已知圆M与圆N：(x)(y)r关于直线yx对称，且点D(,)在圆M上.

22253531533（1）判断圆M与圆N的位置关系；

（2）设P为圆M上任意一点，A(1,)，B(1,)，P、A、B三点不共线，PG为APB的平分线，且交

5353AB于G. 求证：PBG与APG的面积之比为定值.

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23．（本小题满分12分）已知向量a=(mcoswx-msinwx,sinwx)，b=(-coswx-sinwx,2ncoswx)，设函数f(x)=a×b+(xÎR)的图象关于点(（I）若m=1，求函数f(x)的最小值；

（II）若f(x)£f()对一切实数恒成立，求yf(x)的单调递增区间．

n2p12,1)对称，且wÎ(1,2)．

p4【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角形函数的图象和性质等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力．

24．已知函数f（x）=4（Ⅰ）当x∈[0，

sinxcosx﹣5sin2x﹣cos2x+3．

]时，求函数f（x）的值域；

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（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=求f（B）的值．　

， =2+2cos（A+C），

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霞浦县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：设扇形的半径为r，则扇形OAB的面积为

，

连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：

﹣

，

∴此点取自阴影部分的概率是故选A．

．

2． 【答案】D

【解析】解：由等差数列的性质可得：S15=故选：D．　

3． 【答案】C

=15a8=45，则a8=3．

1，则直线l：ykx1与曲线C：yfx没有公共点，xe11等价于方程gx0在R上没有实数解．假设k1，此时g010，g10．又函1k1ek1数gx的图象连续不断，由零点存在定理，可知gx0在R上至少有一解，与“方程gx0在R上没

【解析】令gxfxkx11kx有实数解”矛盾，故k1．又k1时,gx为1，故选C．

4． 【答案】C

①命题p是一个特称命题，它的否定是全称命题，￢p是全称命题，所以①正确．【解析】解：②根据逆否命题的定义可知②正确．

10,知方程gx0在R上没有实数解，所以k的最大值ex第 8 页，共 18 页

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故选C．

【点评】考查特称命题，全称命题，和逆否命题的概念．　

5． 【答案】D

【解析】【分析】由题意可得圆心C1和圆心C2，设直线l方程为y=kx+b，由对称性可得k和b的方程组，解方程组可得．

【解答】解：由题意可得圆C1圆心为（0，0），圆C2的圆心为（﹣2，2），∵圆C1：x2+y2=4和圆C2：x2+y2+4x﹣4y+4=0关于直线l对称，

∴点（0，0）与（﹣2，2）关于直线l对称，设直线l方程为y=kx+b，∴

•k=﹣1且

=k•

+b，

解得k=1，b=2，故直线方程为x﹣y=﹣2，故选：D．6． 【答案】A

【解析】解：∵a=0.50.5，c=0.50.2，∴0＜a＜c＜1，b=20.5＞1，∴b＞c＞a，故选：A．　

7． 【答案】C【解析】

考

点：余弦定理．8． 【答案】C【解析】

试题分析：gxlog22xlog22log2x1log2x，故向上平移个单位.考点：图象平移．

9． 【答案】B

【解析】解：该几何体是四棱锥，其底面面积S=5×6=30，高h=5，则其体积V=

S×h=

30×5=50．

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故选B．　

10．【答案】A11．【答案】

【解析】解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A所以BD⊥平面PAC

（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，所以BO=1，AO=OC=坐标系O﹣xyz，则P（0，﹣所以

，2），A（0，﹣=（1，

，﹣2），

，0），B（1，0，0），C（0，

，0）

，

以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角

设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|（III）由（II）知则

设平面PBC的法向量=（x，y，z）则所以

=0，令

，

，因为平面PBC⊥平面PDC，

，

，，设

，

平面PBC的法向量所以同理平面PDC的法向量所以所以PA=

=0，即﹣6+．

=0，解得t=

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【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力　

12．【答案】C

【解析】解：由题意，0.06×5+x×0.1=0.5，所以x为2，所以由图可估计样本重量的中位数是12．故选：C．　

二、填空题

13．【答案】　（﹣，

）　．

【解析】解：∵，

，

设OC与AB交于D（x，y）点

则：AD：BD=1：5

即D分有向线段AB所成的比为

则

解得：

∴又∵||=2

∴

=（﹣

，）故答案为：（﹣

，

）

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【点评】如果已知，有向线段A（x1，y1），B（x2，y2）．及点C分线段AB所成的比，求分点C的坐标，

可将A，B两点的坐标代入定比分点坐标公式：坐标公式　

14．【答案】　（﹣2，0）∪（2，+∞）　．

【解析】解：设g（x）=g′（x）=

，

，则g（x）的导数为：

进行求解．

∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＞0成立，即当x＞0时，g′（x）＞0，

∴当x＞0时，函数g（x）为增函数，又∵g（﹣x）=

=

=

=g（x），

∴函数g（x）为定义域上的偶函数，∴x＜0时，函数g（x）是减函数，又∵g（﹣2）=

=0=g（2），

∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（2），解得：x＞2，x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（﹣2），解得：x＞﹣2，∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣2，0）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．　

15．【答案】　异面　．

【解析】解：把展开图还原原正方体如图，

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在原正方体中直线AB与CD的位置关系是异面．故答案为：异面．　

16．【答案】　2：1　．

【解析】解：设圆锥、圆柱的母线为l，底面半径为r，所以圆锥的侧面积为：圆柱的侧面积为：2πrl

所以圆柱和圆锥的侧面积的比为：2：1故答案为：2：1　

17．【答案】　

【解析】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，则有 V=×2×h××2，

当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2则四面体ABCD的体积的最大值为故答案为：

．

．

，

　．

=πrl

【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于基础题．　

18．【答案】5【解析】

试题分析：f(x)3x2ax3,f(3)0,a5．考点：导数与极值．

'2'三、解答题

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19．【答案】

【解析】【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．

（2）在△EAD中，EAED3，AD2，

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20．【答案】

【解析】（1）证明：设BD交AC于M，连接ME．∵ABCD为正方形，∴M为AC中点，又∵E为A′A的中点，∴ME为△A′AC的中位线，∴ME∥A′C．

又∵ME⊂平面BDE，A′C⊄平面BDE，∴A′C∥平面BDE．（2）解：∵VE﹣ABD=∴VA′﹣ABCD：VE﹣ABD=4：1．

=

=

=VA′﹣ABCD．

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA

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∴PA⊥平面ABCD结合AB⊥AD，可得

分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz，如图所示…可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ） （λ＞0）∴，得

，

，

∴DE⊥AC且DE⊥AP，

∵AC、AP是平面PAC内的相交直线，∴ED⊥平面PAC．∵ED⊂平面PED∴平面PED⊥平面PAC（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是设直线PE与平面PAC所成的角为θ，则得λ=±2

∵λ＞0，∴λ=2，可得P的坐标为（0，0，2）设平面PCD的一个法向量为

=（x0，y0，z0），

由， ，得到令x0=1，可得y0=z0=﹣1，得=（1，﹣1，﹣1）

∴cos＜

，

由图形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角，∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为

．

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，

，

，解之

，

，

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【点评】本题在四棱锥中证明面面垂直，并且在线面所成角的正弦情况下求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．着重考查了线面垂直、面面垂直的判定定理和利用空间向量研究直线与平面所成角和二面角大小的方法，属于中档题．　

22．【答案】（1）圆与圆相离；（2）定值为2.【解析】

试题分析：（1）若两圆关于直线对称，则圆心关于直线对称，并且两圆的半径相等，可先求得圆M的圆心，

rDM,然后根据圆心距MN与半径和比较大小，从而判断圆与圆的位置关系；（2）因为点G到AP和BP

PBSPBG的距离相等，所以两个三角形的面积比值,根据点P在圆M上，代入两点间距离公式求PB和SAPGPAPA,最后得到其比值.

试题解析：（1） ∵圆N的圆心N(,)关于直线yx的对称点为M(,)，∴r|MD|()225353553343216，9525216.

33910210210282r，∴圆M与圆N相离.∵|MN|()()3333∴圆M的方程为(x)(y)考点：1.圆与圆的位置关系；2.点与圆的位置关系.123．【答案】24．【答案】

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【解析】解：（Ⅰ）f（x）=4sin2x+2cos2x=4sin（2x+∵x∈[0，∴2x+

∈[]，，

]，

）．

sinxcosx﹣5sin2x﹣cos2x+3=2

sin2x﹣+3=2

∴f（x）∈[﹣2，4]．

（Ⅱ）由条件得 sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），化简得 sinC=2sinA，由正弦定理得：c=2a，又b=

，

a2cosA，解得：cosA=

，

由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=3a2+4a2﹣4故解得：A=∴f（B）=f（

，B=

，C=

，

）=4sin=2．

【点评】本题考查了平方关系、倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．　

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