数学建模手机问题

•

• ⑴ 购买手机的大学生都是在同一个市场里选择手机，即不考虑不同市场之间的手

机差价； • ⑵ 不考虑性别对手机选择的影响，即在后面建模过程中不区分“男式手机”和“女式手机”；

• ⑶ 购买手机的大学生都计划通过正规渠道购买新手机，即不考虑购买者是否能通

过其他渠道使手机降价（如在手机市场有熟人可以降价或者购买“水货”等）以及所买手机不是二手的；

• ⑷ 由于手机的价格每天都会有浮动以及受到所参考的手机市场数

据的限制。所以假设在同一天购买手机。 • （5）忽略人为对手机的故意破坏。

• 评价． 手机的功能非常多，为了使建模的过程简单一些，我们从中筛选出了相

对比较重要的一些功能，但是也舍去了许多有用的功能。比如录音功能，计算器等

等，这始模型的实用程度下降了，比较遗憾。 • 2.手机的售后服务和质量等其他一些因素 • 没有考虑。

• 3.手机是一个个性化十足的产品，手机的外观也是一个很重要的评定标准。但是在

此我们没有考虑进去！ • 4.由于只选择了九款手机,所以一般性较低，虽然结论比较实用，但是不适合同学在

购买其他手机时作参照！这是一个最大的缺点

利用层次分析法解决大学生购买手机品牌的选择方案

摘要：

在日常工作、生活中总存在各种各样的需要进行决策的问题，这些问题会涉及到经济、社会等各方面因素的约束。在大学生选购买手机时选择手机品牌的问题中，也会因为这样子的诸多因素，而不知如何做出抉择。本论文将这一问题进行探讨，对手机品牌抉择这一问题进行相对合理的假设以及简化，将购买手机时主要考虑因素集中在性能、价格、外观、品牌这四个方面，并利用层次分析法，将定性问题转化成定量问题，构造对比矩阵，分析权重的一致性，并在最后借助Matlab数学软件进行求解，最终得出最佳选择方案。

关键词：层次分析法 AHP Matlab 对比矩阵 权重

一、问题重述：

如今，大学生都把手机当成了一种日常生活中的必需品。同时，越来越多

的商家也已开始把大学生作为手机购买群中最重要的消费群体之一，开始为大学生量身订做了很多款适合大学生使用的手机。作为一种重要的联络手段，一种高端科技产品，一种时尚的象征和身份的标志，手机在校园里的普及率已经超乎人们的想象，在有些院校几乎达到“人手一部”。我们在此并不准备讨论大学生购买手机的利与弊，而是向目前大量准备购买新手机或者即将更换自己的手机的大

学生朋友们提出一些指导性意见。

二、问题的分析：

对于这类问题，普遍可以利用层次分析法（AHP）对所有方案进行优先排

序。本问题首先分析内在因素间的联系与结构，并把这种结构划分为三层即可，即目标层，准则层，方案层。把各层间诸要素的联系用线表示出来，接着是同层因素之间对上层因素重要性进行评价，并利用“两两比较法”建立比较矩阵，求的权系数，再进行一致性检验，如通过，则求得的权重系数可以被接受，否则，应重新评判。再进行单层权重评判的基础上，再进行层次间重要性组合权重系数的计算。

最后求出各个方案所占的权重，即可确定手机的优先顺序。

三、模型假设：

1、假设大学生所考察的因素中除了价钱，外观，品牌，性能，不考虑其他因素 2、假设4个因素中，性能因素囊括了电池，系统，摄像头，硬件等其他综合因素

3、假设大学生在构建成对比矩阵的观点一致

4、假设只考虑市场上份额较大的四个牌子：诺基亚、三星、多普达、苹果 5、假设所有手机的价位都是建立同种品牌的热门机种，不考虑相同牌子的不同机种

四、模型的建立和求解：

STEP 1：建立层次分析结构模型

大学生购买手机的三个主要层次如下所示： 目标层：选择哪种品牌手机 准则层：价钱 外观 品牌 性能

方案层：诺基亚 三星 多普达 苹果

该问题十分明确，三个层次的要素也十分明显。首先将有关因素按照不同的属性从上到下分为三个层次，分别为目标层、中间层和方案层。最上层为目标层：最终要选的手机品牌；中间层为准则层：品牌，性能，外观、价钱；最下层为方案层：苹果、诺基亚、SUMSUNG、多普达。其中，这三个层次相互影响，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立，将这三个层次用图表示即为：

手机品牌 目标层

品 价 外 性 准则层 牌 钱 观 能 诺基亚 三星 苹果 多普达 方案层

STEP 2：构造成对比较阵

在构造成对比矩阵之前，引入一个评价指标，即由购买者评价品牌、性能、价格、外观等四个指标对于购买决定的影响大小，采用1-9级相对重要性作为尺度的方法。其详细内容如下所示： 介于两级Ci/Cj 相同重要 稍微重要 明显重要 强烈重要 绝对重要 之间 1 3 5 7 9 2,4,6,8 在网络上通过对以上四种产品的四种种评价指标的实际情况的调查，得到下面几个表格。其中，表格1是对四种指标之间的相对重要性进行比较，表格2到表格5则是针对于每种具体的指标，根据四种手机在该指标上的优劣进行比较，最终得出以下的对比矩阵：

表格1 价钱 外观 品牌 性能 价钱 1 3 2 1/3 外观 1/3 1 3 1/5 品牌 1/2 1/3 1 1/5 性能 3 5 5 1 表格2 价钱 诺基亚 三星 多普达 苹果 诺基亚 1 2 7 3 外观 品牌 性能 三星 多普达 苹果 诺基亚 三星 多普达 苹果 诺基亚 三星 多普达 苹果 诺基亚 三星 多普达 苹果 1/2 1 7 1 1/7 1/7 1 1/7 1/3 1 7 1 表格3 诺基亚 三星 多普达 苹果 1 1/3 1/7 1/3 3 1 1/5 1/3 7 5 1 5 3 3 1/5 1 表格4 诺基亚 三星 多普达 苹果 1 2 1/5 1/5 1/2 1 1/7 1/4 5 7 1 5 5 4 1/5 1 表格5 诺基亚 三星 多普达 苹果 1 1/5 1/8 1/5 5 1 1/5 1 8 5 1 5 5 1 1/5 1

STEP 3：计算权向量并作一致性检验

借助数学软件Matlab对每一个成对比矩阵计算最大特征根和特征向量，并作一致性检验，若通过，则可认为成对比矩阵的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量。否则则应该重新构造成对比矩阵。

在这里引入计算公式与随机一致性指标： 1、定义一致性指标: CInn1（CI 越大，不一致越严重）

2、随机一致性指标RI：

表格6（随机一致性指标RI） n RI 1 0 2 3 0 0.58 4 5 6 7 8 9 10 11 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 3、定义一致性比率 CR = CI/RI（当CR<0.1时，通过一致性检验） 利用Matlab软件计算可得：（注：Matlab程序以及语句、结果在附录中） （1）四种指标之间的相对重要性：

表格1成对比矩阵由Matlab得出结果 最大特征根 4.2489 权向量（特征向量）w00.23210.13470.08340.5499T 一致性比率 CR=CI/RI0.0922<0.1 （2）四种手机在对应指标上的相对重要性：

表格2（价钱）成对比矩阵由Matlab得出结果 最大特征根 4.1179 权向量（特征向量）w10.47840.24860.04380.2292T 一致性比率 CR=CI/RI0.0437<0.1 表格3（外观）成对比矩阵由Matlab得出结果 最大特征根 4.2281 权向量（特征向量）w20.06030.11250.62230.2019T 一致性比率 CR=CI/RI0.0845<0.1 表格4（品牌）成对比矩阵由Matlab得出结果 最大特征根 4.1660 权向量（特征向量）w30.10030.06090.62720.2116T 一致性比率 CR=CI/RI0.0615<0.1 表格5（性能）成对比矩阵由Matlab得出结果 最大特征根 4.1665 权向量（特征向量）w40.04540.16280.62890.1628T 一致性比率 CR=CI/RI0.0617<0.1 在上述表格中，可以看出所有的CR都小于0.1，表示这5个成对比矩阵的不一致程度在容许范围之内，故其特征向量均可以用作权向量。

STEP 4：计算组合权向量（作组合一致性检验）

计算组合权向量并将最后结果作为决策的定量依据。将上述5个表格中得到的结果融合并用EXCEL进行处理，计算最终的组合权向量。

表格7（组合权向量） 组合权价钱 外观 品牌 性能 向量 准则层权重 0.2321 0.1347 0.0834 0.5499 诺基亚 0.0454 0.0603 0.1003 0.4784 0.2900 三星 0.1628 0.1155 0.0609 0.2486 0.1951 多普达 0.6289 0.6223 0.6272 0.0438 0.3062 苹果 0.1628 0.2019 0.2116 0.2292 0.2087 最大特征值 4.1179 4.2281 4.166 4.1665 一致性比率CR 0.0437 0.0845 0.0615 0.0617

综上可得，方案1在目标中的组合权重应为方案1在各准则中的权重与相应准则对于目标的权重的两两乘积之和，即：

0.0454*0.2321+0.0603*0.1347+0.1003*0.0834+0.4784*0.5499=0.2900 同理可以算出方案2、方案3、方案4在目标中的组合权重分别为 0.1951 0.3062 0.2087

由上述表格我们可以得到最终结果：多普达>诺基亚>苹果>三星，故最后我们的选择会是多普达。

五、模型的推广

层次分析把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策。把定量和定性的方法结合起来，能处理许多传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广。具有中等文化程度以上的人即可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤，计算也非常简便。但也有它的局限性，可以用粗略、主观等词来概括，第一，它只能从原有的方案中选优，不能生成新方案；第二，它的比较判断直到结果都是粗糙的；第三，人主观因素的作用很大，当然，采取专家群体判断的方法是克服这个缺点的一种途径。

六、附录

Matlab函数JianYan的代码： function JianYan(A) %输出格式 format short;

%输入待求的矩阵A [v,d]=eigs(A); %最大特征值

tbmax=max(d(:)); %得到行数和列数 [m,n]=size(v);

%将特征向量标准化 sum = 0; for i=1:m

sum = sum + v(i,1); end

tbvector = v(:,1); for i=1:m

tbvector(i,1)= v(i,1)/sum; end

disp('========================================'); disp('最大的特征值为：'); tbmax

disp('最大的特征值对应的特征向量为（标准化后的）：'); tbvector

disp('一致性比率CR为：') CR=(tbmax-4)/3/0.9 if CR<0.1

disp('CR小于0.1，通过一致性检验，特征向量为权向量') else

disp('CR大于0.1，没能通过一致性检验，特征向量不为权向量'); end

(注：由于题目要求需要，我将原先的求权重的程序做了小幅度修改，来适应这次题目的要求)

五个矩阵的一致性检验结果分别为： >> A=[1 3 2 1/3 1/3 1 3 1/5 1/2 1/3 1 1/5 3 5 5 1]; B=[1 2 7 3 1/2 1 7 1 1/7 1/7 1 1/7 1/3 1 7 1]; C=[1 1/3 1/7 1/3 3 1 1/5 1/3 7 5 1 5 3 3 1/5 1]; D=[1 2 1/5 1/3 1/2 1 1/7 1/4 5 7 1 5 3 4 1/5 1]; E=[1 1/5 1/8 1/5 5 1 1/5 1 8 5 1 5

5 1 1/5 1]; >> JianYan(A)

======================================== 最大的特征值为： tbmax = 4.2489

最大的特征值对应的特征向量为（标准化后的）： tbvector = 0.2321 0.1347 0.0834 0.5499

一致性比率CR为： CR =

0.0922

CR小于0.1，通过一致性检验，特征向量为权向量 >> JianYan(B)

======================================== 最大的特征值为： tbmax = 4.1179

最大的特征值对应的特征向量为（标准化后的）： tbvector = 0.4784 0.2486 0.0438 0.2292

一致性比率CR为： CR =0.0437

CR小于0.1，通过一致性检验，特征向量为权向量 >> JianYan(C)

======================================== 最大的特征值为： tbmax =4.2281

最大的特征值对应的特征向量为（标准化后的）： tbvector = 0.0603 0.1155 0.6223 0.2019

一致性比率CR为： CR =0.0845

CR小于0.1，通过一致性检验，特征向量为权向量 >> JianYan(D)

======================================== 最大的特征值为： tbmax =4.1660

最大的特征值对应的特征向量为（标准化后的）： tbvector = 0.1003 0.0609 0.6272 0.2116

一致性比率CR为： CR =0.0615

CR小于0.1，通过一致性检验，特征向量为权向量 >> JianYan(E)

======================================== 最大的特征值为：

tbmax =4.1665

最大的特征值对应的特征向量为（标准化后的）： tbvector = 0.0454 0.1628 0.6289 0.1628

一致性比率CR为： CR =0.0617

CR小于0.1，通过一致性检验，特征向量为权向量