3 实验2陈酒出售的最佳时机问题

3.1 问题

某个酒厂有一批新酿的好酒，如果现在就出售，可得总收入 R050万元。如果窖藏起

23来待来年（第n年）按陈酒价格出售，第n年末可得总收入为RR0exp(n/8)万元，

而银行年利率为r0.05，试在各种条件下讨论这批好酒的出售方案。 3.2 实验目的

学会用Mathematica软件及最值方法解决实际问题。 3.3 预备知识 银行现值问题

若银行的年利率为r，现有本金为A0的一笔款存在银行里，则第n年末这笔款的积累值变为AA0(1r)n；反之，若第n年末资金为A，则开始的本金为A0A(1r)n ,A0称为A的现值。例如，设银行的年利率为0.05，现有两笔款，已知第一笔款在第八年末的积累值为88.64元，第二笔在第四年末的积累值为74.14元，则第一笔款的现值为

88.64(10.05)860.00元，第二笔款的现值为74.74(10.05)461.49元。

有了现值的概念，我们就可以比较不同时期的两笔款的大小。如在本实验问题中把这批好酒在第四年出售，收入为50exp(342/8)68.51（万元），在第九年出售，收入为，两笔收入的现值分别为56.36（万元）、55.35（万元），50exp(392/8)85.87（万元）

显然第一笔收入大。 3.4 实验内容与要求 1 现回到实验问题，若要求这批酒款在第n年末用于投资，这里有两种简单的销售方案。 第一种方案：现在出售，把销售款存入银行待第n年末用于投资； 第二种方案：把酒窖藏起来，待第n年出售，把销售款直接用于投资。

试列出上述两种方案的可投资资金公式，分别针对投资年份n＝1,2,3,…25，列表讨论应采取哪一种方案较好？

2 若在第n年出售，试推导陈酒出售收入的现值公式，并求出 1—25年出售这批酒收入的现值（制成表）。 3 解答下列问题 (1) 若酒厂希望n0年后用这笔资金作投资，通过现值表分析，你能否找到比单纯采用第一种或第二种方案更优的方案？请用最值的方法证明你的方案的合理性。 (2) 若采用你的方案，对n015计算这批酒款在各年的增值情况。

3.5 操作提示

1 键入：Table[50*(1+0.05)^n,{n,1,25}] Table[N[50*Exp[n^(2/3)/8]],{n,1,25}]

运行后即可的两种方案的投资资金。

2 现值公式d(n)50exp(3n2/8)(10.05)n，第五年的现值最大。

3 参考方案：若投资年份n05，则第n0年出售，若n05,则第五年出售，把款存入银行待第n0年投资。

证明思路：设第t年出售，列出第n0年的投资额与t的函数关系，

f(t)50exp(3t2/8)(10.05)n0t。

把t当作连续变量，用求最值的方法求出最值点。 因n0相对于t是定值,所以也可以运行下列程序来说明。 Clear[t,y1,y2];

f=Exp[t^(2/3)/8]*(1+5/100)^(-t); y1=D[f,t] y2=D[f,{t,2}]

r0=FindRoot[y1==0,{t,2}] (*求驻点*) N[y2/.r0] (*函数在驻点处的二阶导数值*)

3.6 实验习题

1 把银行利率改为r0.04作一遍上述实验。

2 若银行利率开始为r0.05，第5年后降为0.04，请给出最佳出售方案。

3 航空公司因业务需要，需要增加一架波音客机，如果购买需要一次支付6000万美元现金，客机的使用寿命为15年，如果租用一架客机，每年要支付600万美元的租金，租金每年年末支付，若银行年利率为8％，请问购买客机与租用客机那种方案较佳？如果银行的年利率为5％呢？