中考数学总复习讲义03：统计与概率

中考数学总复习：.统计与概率

考 试 内 容 单元 知 识 条 目 1.统计 （1）数据的收集、整理 （2）抽样、样本 （3）统计图（条形图、折线图、扇形图） （4）众数、中位数、平均数、加权平均数 （5）频数、频率的概念 （6）频数分布的意义 （7）频数分布表和分布直方图 （8）用频数分布直方图解决实际问题 （9）数据的离散程度、极差、方差 （10）用样本估计总体 （11）根据统计结果作出合理判断 （12）设计简单的统计活动，检验某些判断 （13）根据问题查找有关资料，获得数据信息，对得出的结论发表自己的看法 （14）用统计方法解决社会生活及科学领域中的一些简单的实际问题 2.概率 （1）概率的意义 （2）必然事件、不可能事件、不确定事件 （3）用列举法计算简单事件发生的概率 （4）根据要求设计简单的概率试验 （5）用频率估计概率 （6）用频率知识解决简单的实际问题

考点1 . 统计的方法――普查与抽样调查：

1）普查：为一特定目的而对所有考察对象做的全面调查叫普查； 2）抽样调查： 为一特定目的而对部分考察对象做的调查叫抽样调查。 说明：

1）下列的情形常采用抽样调查：

① 当受客观条件限制，无法对所有个体进行普查时； ②当调查具有破坏性，不允许普查时。

2）抽样调查的要求：① 抽查的样本要有代表性；② 抽查的样本不能太少。

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考试要求目标 A √ √ √ B √ √ √ √ √ C D √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √

考点2 与统计有关的概念：

1）总体：所要考查的对象的全体叫总体；

2）样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；样本中个体的数目叫做样本容量。使总体的每一个个体有同等的机会被选中，这样的样本称为简单随机样本； 3）个体：总体中每一个考查的对象叫做个体；

4）频数：统计时，每个对象出现的次数叫频数，频数之和等于总数； 5）频率：每个对象出现的次数与总次数的比值叫频率，频率之和等于1。 注意：考查对象不是笼统的某人某物，而是某人某物的某项数量指标。

考点3 统计图表：

1）扇形统计图是用圆代表总体，圆中各个扇形分别代表总体中不同部分的统计图，它可以直观地反映部分占总体的百分比大小，一般不表示具体的数量；

2）条形统计图能清楚地表示每个项目的具体数目及反映事物某一阶段属性的大小变化，复合条形图的描述对象是多组数据；

3）折形统计图可以反映数据的变化趋势；

4）频数分布表和频数分布直方图，能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分布情况。 说明：绘制频数分布直方图的一般步骤：①计算最大值与最小值的差；②决定组距与组数（当数据在100个以内时，一般取5～12组）；③确定分点，常使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点；④列频数分布表；⑤用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数,绘制频数分布直观图；

考点4 数据的代表：反映数据集中趋势的特征数

1）平均数：一组数据中所有数据之和再除以数据的个数称为这组数据的平均数； ①算术平均数：一般地，如果n个数x1,x2,x3„，xn， 那么xx1x2x3xn叫做这n个数的平均数；

n ②加权平均数：一般地，如果n个数x1,x2,x3„，xn中，x1出现f1次，x2出现f2次，„， xkf2f3„fn＝n），那么x出现fk次（f1x1f1x2f2x3f3xkfk

n 叫做x1,x2,x3„，xn这n个数的加权平均数，其中f1、f2、f3、„、fk叫做 x1,x2,x3„，xk的权；

2）中位数：将一组数据按照由小到大或由大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数，就是这组数据的中位数；

3）众数：一组数据出现中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。

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一组数据的众数可能不止一个。

注意：

1)确定中位数时，一定要注意先把整个数据按照大小顺序排列，再确定；

2) 当一组数据出现极端数据时用平均数往往不能正确反映这组数据的集中趋势，这是就应考虑用中位数或众数来考查。

3)平均数的简化计算：当一组数据x1,x2,x3,,xn中各数据的数值较大，并且都与常数a接近时，设x1a,x2a,x3a,,xna的平均数为x'则：xx'a。

考点 5 数据的波动：反映数据波动大小的特征数

1）极差：一组数据中最大值与最小值的差，叫做这组数据的极差，它反映了一组数据波动范围的大小；.

2）方差：各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记为S， 一般地，设n个数据x1，x2，x3，„，xn的平均数为x，则

2

S21(x1x)2(x2x)2(xnx)2；它反映了一组数据的波动性大小，方差越大，n波动性就越越大，反之方差越小，波动性就越越小。 3） 标准差：方差的算术平方根叫做标准差，记作注：

方差的简化计算公式：

2x1x2xn2x. 当x1,x2,x3,,xn为较小的整数时用这个公式要比较方便。 ①Sn222s2 或S。 通常由方差求标准差。

②记x1,x2,x3,,xn的方差为S，设a为常数，x1a,x2a,x3a,,xna的方差为S`，则S=S`。当x1,x2,x3,,xn各数据较大而常数a较接近时，用该法计算方差较简便

考点6 利用样本估计总体及根据数据进行决策

1）利用样本的特征去估计总体的特征是推断统计的基本思想，要注意样本选取中个体要有足够的代表性.

2）利用数据进行决策时，要全面、多角度地去分析已有数据，比较它们的代表性和波动大小，发现它们的变化规律和发展趋势，从而作出正确决策。

考点7 事件的分类：

1）确定事件：在一定条件下，有些事件发生与否可以事先确定，这样的事件叫做确定事件，其中一定会发生的叫做必然事件，不一定会发生的叫做不可能事件；

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2222

2）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件； 考点8 概率的概念：

概率：在随机现象中，一个事件发生的可能性大小叫做这个事件的概率；必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，随机事件发生的概率介于0与1之间。

考点9 概率的计算： 1）试验法求概率：

m会逐渐稳定在某个常数P附近，那么nm把这个常数P作为这一事件发生的概率的近似值，事件A的概率记作P（A）=

n 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率

说明：不能说频率等于概率，这两者的区别在于：频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性；一个事件发生的频率接近于概率，必须有足够的大量重复试验，才可以用频率作为事件发生概率的估计值。 2）列举法求概率：

①直接枚举法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它的发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=

m n②列表法：当一次试验涉及两个因素，且可能出现的结果数目较多，可采用列表法列出所有可能的结果，再根据P（A）=

m计算概率； n③画树状图：当一次试验涉及两个或两个以上因素时，可采用画树状图表示出所有可能的结果，再根据P（A）=

m计算概率。 n注意：利用列表法，画树状图求概率，实质上是求等可能性事件的概率，其前提是各种情况出现的可能性必须相等。

考点10 概率的应用：

1）用概率分析事件发生的可能性：

概率是表示一个事件发生的可能性大小的数，事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，反之事件发生的可能性越小，它的概率越接近0； 2）用概率设计游戏方案：

在设计游戏规则时要注意设计的方案要使双方获胜的概率相等；同时设计的方案要有科学性、实用性和可操作性等。

注意：游戏的公平性是通过概率来判断，在得分相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率相等则游戏公平，否则不公平；在概率不等的前提下，可将概率乘以相应得分，结果相等即公平，否则不公平。

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例题讲解：

1（2011年安徽）.从下五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，对于事件M，“这个四边形是等腰梯形”.下列推断正确的是（ B ）

A.事件M是不可能事件 B. 事件M是必然事件 C.事件M发生的概率为

1 5 D. 事件M发生的概率为

2 5

2. （2011年安徽）一次学科测验，学生得分均为整数，满分10分，成绩达到6分以上(包括6分)为合格.成绩达到9分为优秀.这次测验中甲乙两组学生成绩分布的条形统计图如下

学生数/人 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分

甲组 乙组 （1）请补充完成下面的成绩统计分析表： 平方中合优均数 差 位数 格率 秀率 甲6.2 9116组 9 .4 .7% .7% 乙 1 838.组 .3 .3% 3%

（2）甲组学生说他们的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们的成绩好于乙组.但乙组学生不同意

甲组学生的说法，认为他们组的成绩要高于甲组.请你给出三条支持乙组学生观点的理由.

解：（1）甲组：中位数 7； 乙组：平均数7， 中位数7

（2）（答案不唯一）

①因为乙组学生的平均成绩高于甲组学生的平均成绩，所以乙组学生的成绩好于甲组； ②因为甲乙两组学生成绩的平均分相差不大，而乙组学生的方差低于甲组学生的方差，说明乙组学生成绩的波动性比甲组小，所以乙组学生的成绩好于甲组；

③因为乙组学生成绩的最低分高于甲组学生的最低分，所以乙组学生的成绩好于甲组. ④乙组学生成绩不低于7分的人数比甲组多。

3、（2010年安徽）某企业1～5月份利润的变化情况如图所示，以下说法与图

利润/万元 中反映的信息相符的是（ C ）

140 A、1～2月份利润的增长快于2～3月份利润的增长。

130 B、1～4月份利润的极差与1～5月份利润的极差不同。 120 115 C、1～5月份利润的众数是130万元。 110 100 D、1～5月份利润的中位数是120万元。

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0 1 2 3 4 5 月份

4、（2010年安徽）上海世博会门票的价格如下表示：

门票价格一览表 指定日普通票 200元 平日优惠票 100元 „„ „„ 某旅行社准备了1300元，全部用来购买指日普通票和平日优惠票，且每种票至少买一张。 （1）有多少种购票方案？列举所有可能结果;

（2）如果从上述方案中任意选一种方案购票，求恰好选到11张门票的概率。

（1）解：有6种购票方案 购票方案 一 二 三 四 五 六 指定日普通票张数 1 2 3 4 5 6 平日优惠票张数 11 9 7 5 3 1 （2）解：由（1）知，共有6种购票方案，且选到每种方案的可能性相等，而恰好选到11张门票

的方案只有1种，因此恰好选到11张门票的概率是

1。 6

5. （2009年安徽）某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演

出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是„„„„【 B 】 A．

4321 B． C． D． 5555

6．（2009年安徽）如图，将小王某月手机费中各项费用的情况制成扇形统计图，

则表示短信费的扇形圆心角的度数为 720 ．

本地话费 月基本费 43% 4% 短信费 长途话费 33%

第11题图

7．（2009年安徽）某校九年级学生共900人，为了解这个年级学生的体能，从中随机抽取

部分学生进行1min的跳绳测试，并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次 测试结果的数据作出整理，下图是这四名同学提供的部分信息： 甲：将全体测试数据分成6组绘成直方图（如图）； 乙：跳绳次数不少于106次的同学占96%；

丙：第①、②两组频率之和为0.12，且第②组与第⑥组频数都是12； 丁：第②、③、④组的频数之比为4:17:15． 根据这四名同学提供的材料，请解答如下问题：

（1）这次跳绳测试共抽取多少名学生？各组有多少人？

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【解】第①组频率为：196%0.04

∴第②组频率为：0.120.040.08

这次跳绳测试共抽取学生人数为：120.08150人 ∵②、③、④组的频数之比为4:17:15

可算得第①～⑥组的人数分别为6、12、51、45、24、12．„„„6分

（2）如果跳绳次数不少于135次为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到跳绳优秀的人数为多少？

【解】）第⑤、⑥两组的频率之和为0.160.080.24

由于样本是随机抽取的，估计全年级有9000.24216人达到跳绳优秀„„„9分

（3）以每组的组中值（每组的中点对应的数据）作为这组跳绳次数的代表，估计这批学生1min跳绳次数的平均值．

【解】x10061101212051130451402415012≈127次„„„„12分

150

8. （2008年安徽）某火车站的显示屏，每隔4分钟显示一次火车班次的信息，显示时间持续1分钟，某人到达该车站时，显示屏上正好显示火车班次信息的概率是„„„„【 B 】

A.

1111 B. C. D. 6543

9. （2008年安徽）如图是我国2003～2007年粮食产量及其增长速度的统计图，

2003－2007年粮食产品及其增长速度　下列说法不正确的是„„„„【 A 】 ．．．

万吨%25A．这5 年中，我国粮食产量先增后减

B．后4年中，我国粮食产量逐年增加 C．这5 年中，我国粮食产量年增长率最大 D．这5 年中，我国粮食产量年增长率最小

52000500004800046000440004200040000－5.8380002003粮食产量比上年增长501502015104980048402469479.0430703.12.90.750－5－10

2004200520062007第9题图

10. （2008年安徽）甲同学口袋中有三张卡片，分别写着数字1、1、2，乙同学口袋中也有三张卡片，分别写着数字1、2、2。两人各自从自己的口袋中随机摸出一张卡片，若两人摸出的卡片上的数字之和为偶数，则甲胜；否则乙胜。求甲胜的概率。 【解】．解：所有可能的结果列表如下： 乙 甲 1 2 2

1 偶数 奇数 奇数 1 偶数 奇数 奇数 2 奇数 偶数 偶数 中考数学第一轮总复习：统计与概率 第7页

„„„4分

由表可知，和为偶数的结果有4种，∴P(甲胜)=答：甲胜的概率是

4，„„8分 94.„„10分 9

11. （2007年安徽）下列调查工作需采用的普查方式的是„„„【 D 】 A.环保部门对淮河某段水域的水污染情况的调查 B.电视台对正在播出的某电视节目收视率的调查 C.质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查 D.企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查

12（2007年安徽）两个小组进行定点投篮对抗赛，每组6名组员，每人投10次。两组组员进球数

的统计如下： 组别 甲组 乙组 8 5 5 4 6名组员的进球数 3 3 1 3 1 2 0 1 平均数 3 3 根据统计结果，乙组组员的实力更平均。

13. （2007年安徽）在“妙手推推推”的游戏中，主持人出示了一个9位数，让参加者猜商品价格。被猜的价格是一个4位数，也就是这个9位中从左到右连在一起的某4个数字。如果参与者不知道商品的价格，从这些连在一起的所有4位数中，任意猜一个，求他猜中该商品价格的概率。 ．．

解：所有连在一起的四位数共有6个，商品的价格是其中的一个。„„4分 由于参与者是随意猜的，因此，他一次猜中商品价格的概率是

1。„„8分 6

14．（2006年安徽）田忌赛马是一个为人熟知的故事．传说战国时期，齐王与田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强．有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜．看样子田忌似乎没有什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强 „ „ (1）如果齐王将马按上中下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜？ (2）如果齐王将马按上中下的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，田忌获胜的概率是多少？（要求写出双方对阵的所有情况）

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15 （2005年安徽）某市社会调查队对城区内一个社区居民的家庭经济状况进行调查，调查的结果是，该社区共有500户，高收入、中等收入和低收入家庭分别有125户、280户和95户。已知该市有100万户家庭，下列表述正确的是（D ） A. 该市高收入家庭约25万户 B. 该市中等收入家庭约56万户 C. 该市低收入家庭约19万户

D. 因城市社区家庭经济状况较好，所以不能据此数据估计全市所有家庭经济状况

16. （2005年安徽）两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆汽车（票价相同），但是他们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序。两人采用了不同的乘车方案：甲无论如何总是上开来的第一辆车，而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况。如果第二辆车的状况比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆不比第一辆好，他就上第三辆车。 如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题：（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？

（2）你认为甲、乙两人采用的方案，哪一种方案使自己乘坐上等车的可能性大？为什么？

解：（1）三辆车开来的先后顺序有6种可能：

（上、中、下）、（上、下、中）、（中、上、下）、（中、下、上）、（下、中、上）、（下、上、中）。

（2）由于不知道任何信息，所以只能假定6种顺序出现的可能性相同。我们来研究在各种可能性的顺序之下，甲、乙二人分别会上哪一辆汽车：

顺序 上、中、下 上、下、中 中、上、下 中、下、上 下、上、中 下、中、上 甲 上 上 中 中 下 下 乙 下 中 上 上 上 中

于是不难得出，甲乘上、中、下三辆车的概率都是 而乙乘上等车的概率是

1； 3111，乘中等车的概率是，乘下等车的概率是。 236 乙采取的方案乘坐上等车的可能性大。

17．（2004年安徽）新安商厦对销量较大的A、B、C三种品牌的洗衣粉进行了问卷调查，发放问

卷270份（问卷由单选和多选题组成）。对收回的238份问卷进行了整理，部分数据如下： 一、最近一次购买各品牌洗衣粉用户的比例（如图） 二、用户对各品牌洗衣粉满意情况汇总表：

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根据上述信息回答下列问题： 内容 品牌 质 量 A B C 121 117 广 告 A 163 B 172 C 107 价 格 A 98 B C 96 100

满意户数 194 ⑴A品牌洗衣粉的主要竞争优势是什么？你是怎样看出来的？ ⑵广告对用户选择品牌有影响吗？请简要说明理由。 ⑶你对厂家和何建议？

解：⑴A品牌洗衣粉主要竞争优势是质量。可以从以下看出： ①对A品牌洗衣粉的质量满意的用户多；

②对A品牌洗衣粉的广告、价格满意的用户不是最多。

⑵广告对用户选择品牌有影响，可以从以下看出：

①对B、C品牌洗衣粉质量、价格满意的用户数量相差不大；

②对B品牌洗衣粉的广告满意的用户数多于C品牌，且相差较大； ③购买B品牌洗衣粉单用户比例高于C品牌8.45%。 ⑶①要重视质量；

②在保证质量的前提下，要关注广告和价格。

18、（2003年安徽）某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变。有关数据如下表所示： 景点 原价（元） 现价（元） 平均日人数（千人） A 10 5 1 B 10 5 1 C 15 15 2 D 20 25 3 E 25 30 2 （1） 该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平。问风景区是怎

样计算的？

（2） 另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约

9.4%。问游客是怎样计算的？

（3） 你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？ 解：（1）风景区是这样计算的：

101015202516元 „„2分

555152530设整后的平均价格：16元 „„4分

5调整前的平均价格：

∵调整前后的平均价格不变，平均日人数不变

∴平均日总收入持平 „„5分

（2）游客是这样计算的：

原平均日总收入：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160（千元） „„7分 现平均日总收入：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175（千元） „„9分

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∴平均日总收入增加了：

1751609.4% „„10分

160（3）游客的说法较能反映整体实际。 „„12分

19.（2003年安徽）我国近期每日公布非典疫情，其中有关数据的收集所采用的调查方式是

全面调查或普查。

20（2002年安徽）．某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：

每人销售件数 人数 1800 1 510 1 250 3 210 5 150 3 120 2 （1）求这15位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数；

（2）假设销售部负责人把每位营销员的月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较合理的销售定额，并说明理由． 解：（1）平均数为：

11800＋1510＋3250＋5210＋3150＋2120

1＋1＋3＋5＋3＋2 ＝320（件）； „„（2分） 中位数为：210（件）．

众数为：210（件） „„（4分） （2）不合理． „„（6分） 因为15人中有13人的销售额达不到320件． „„（8分） （320虽是所给一组数据的平均数，它却不能反映营销人员的一般水平．）

销售额定为210件合适一些，因为210既是中位数，又是众数，是大部分人能达到的定额．（如果有同学提出其他方式确定定额，若理由恰当，就酌情给分）． „„（10分）

21 （2001年安徽）．甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示。 （1）分别求出两人得分的平均数与方差；

（2）根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价。

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解：（1）甲、乙两人五次测试的成绩分别为：

甲：10分，13分，12分，14分，16分。

乙：13分，14分，12分，12分，14分。

甲、乙二人的平均成绩都是13分，,。

（2）因，可知，乙的成绩较稳定。

从折线图看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的成绩则在平均线上、下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高。

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