学时：12
章节
第三章 二维随机变量的分布及其数字特征
1.理解二维随机变量的概念。
2.熟练掌握二维离散型随机变量的联合概率分布及其性
质、二维连续型随机变量
教学目的和要求
的联合分布密度及其性质。
3.熟练掌握二维随机变量的边缘分布和独立性。4.掌握二维随机变量函数的分布。5.掌握二维随机变量的数字特征。
6.掌握切比雪夫不等式，大数定律和中心极限定理。重点：1.二维随机变量的联合分布和边缘分布。
2.随机变量的独立性。
重点和难点
3.二维随机变量函数的分布。4.二维随机变量的数字特征。5.大数定律与中心极限定理。难点：二维随机变量函数的分布
教学内容（12学时）：
§3.1二维随机变量及其分布（2学时）。
教学内容与§3.2边缘分布与独立性（2学时）。学时分配§3.3二维随机变量函数的分布（3学时）
§3.4二维随机变量的数字特征（3学时）§3.5大数定律与中心极限定理（2学时）
教学方法教学方法：课堂以讲授为主，适当提问、讨论和练习。与教学手段：板书.教学手段河北农业大学教案(课时备课) 学时：2
第3章 二维随机变量的分布及其数字特征 章节§3.1二维随机变量及其分布
1.掌握二维离散型随机变量定义及其联合分布律；教学目的和2.掌握二维连续型随机变量定义及其联合分布密度；
要求
3.掌握二维随机变量的联合分布函数。重点：1.二维离散型随机变量定义及其联合分布律；
2.二维连续型随机变量定义及其联合分布密度；3.二维随机变量的联合分布函数。
重点和难点难点：1.二维随机变量的定义、性质与几何意义；
2.二维离散型和连续型随机变量分布函数的求
法。
教学方法与教学手段教学方法：通过平面图形讲授计算二维随机变量的概率和分布函数，适当提问和练习，使学生掌握二维随机变量概率的方法。教学手段：板书。
1、教学内容
一、二维离散型随机变量的定义及联合分布律；二、二维连续型随机变量的定义及联合分布密度；三、常见的二维离散型和连续型随机变量的分布；四、二维随机变量分布函数的定义
五、二维离散型随机变量分布函数的求法；
六、二维连续型随机变量分布函数的求法及其与联合分布密度的关系。2、讲授要点
一、二维连续型随机变量及其联合分布密度；
二、通过例题讲授离散型和连续性随机变量分布函数的求法；
三、二维随机变量与一维随机变量的区别与联系。§3.1二维随机变量及其分布一、二维随机变量的定义
1.定义 设、都是随机变量，称为二维随机变
教学内容
与要点
教学进程 量，、称为的分量．
2.几何意义 从直观上看，一维随机变量为直线上的“随机点”，二维随机变量为平面上的“随机点”．二、二维离散型随机变量及其联合分布律
1.二维离散型随机变量及其分布律
若二维随机变量只取有限个值或可列无穷多个值，则称为二维离散型随机变量，称
，
为的联合分布律或联合概率分布．通常用下表表示：
…………
…
…┇
┇
┇
┇
…
…
┇┇┇ ┇ 其中满足：
（1） ，（2）例1 例2
三、二维连续型随机变量及其分布密度1．二维连续型随机变量
对二维随机变量，若存在非负可积的二元函数，，使对任一矩形域有
则称为二维连续型随机变量，称为的联合分布密度，简称联合密度．
联合密度具有如下性质：（1），（2）
（3）对于任一平面区域，有例3
2.常见的二维连续型分布
（3）对于任一平面区域，有
3.通过两道例题掌握如何列举分布律，把握三个要点，即随机变量的全部可能取值，取每个值的概率，是否符合两条性质。
三、二维连续型随机变量及其联合密度
1.二维连续型随机变量的定义。强调定义方式和离散型不同。
2.联合分布密度的定义和性质。强调已知分布密度如何求概率。概率的几何意义。
3.通过例题熟悉性质和解题方法。
4.简单介绍二维均匀分布和二维正态分布。提醒学生注意正态分布联合密度中的参数，为相关系数打下伏笔。5.学生练习求解均匀分布的联合密度。四、二维随机变量的分布函数
1.二维随机变量的分布函数的定义和几何意义，强调函数的定义域和值域。
2.二维随机变量的分布函数的性质。
3.已知分布律如何求二维离散型随机变量的分布函数，已知分布密度如何求二维连续型随机变量的分布函数。此处只讲解简单类型，对于复杂问题不做要求。
4. 二维连续型随机变量已知分布函数如何求分布密度。
定义3.1.4 设是平面上的有界区域，为的面积，若二维随机变量的联合密度为
则称服从区域上的均匀分布，记作。
定义3.1.5 若二维随机变量的联合密度为
其中，，，，均为常数，则称服从二维正态分布，记作
四、二维随机变量的分布函数
定义3.1.6 设为二维随机变量，称二元函数 ，
板书设计作业布置课后教师总结分析YX
为的联合分布函数，简称分布函数．
从几何直观上，若把看作平面上随机点的坐标，则分布函数在点处的函数值，即为随机点落入点左下方的整个无穷矩形域D内的概率，即
其中
联合分布函数有以下性质：
（1）对每个变量，是单调不减函数．即固定，当时，有；固定，当时，有．
（2） 对每个变量，右连续．（3），，，固定，；固定，．
（4） 对，有=
二维离散型随机变量的联合分布函数可按下式求得：
上式是对满足的一切点求和．例4
若二维连续型随机变量的联合密度为，则其分布函数为
在的连续点处，有
例5
教学主要内容例题讲解演算区
教材P.67 3.4.5.6
二维随机变量的各项定义，性质，定理和方法较之一维随机变量有一定难度，通过大量练习强化理解记忆。
河北农业大学教案(课时备课)
2学时
章节§3.2边缘分布与独立性
1.掌握二维离散型随机变量的边缘分布；教学目的和2.掌握二维连续型随机变量的边缘分布函数与边缘分布
要求密度；
3.掌握二维随机变量独立性的判定定理。重点：1.边缘分布的知识来源；
2.已知联合分布求边缘分布；
重点和难点3.掌握二维随机变量独立性的有关知识。
难点：求二维连续型随机变量的边缘分布密度。
教学方法与教学手段教学方法：课堂讲授为主，由平面图形讲解二维连续型随机变量边缘分布密度的求法，通过练习提高学生的运算能力。
教学手段：板书。
1、教学内容
一、边缘分布的知识来源；
二、二维离散型随机变量的边缘分布律；三、二维连续型随机变量的边缘分布密度；四、随机变量的独立性。2、讲授要点
一、重点讲授已知二维连续型随机变量的联合密度求边缘密度；
二、二维正态分布的边缘密度为一维正态变量。三、独立性的定义与判定定理。
§3.2边缘分布与独立性一、边缘分布的知识来源
二维随机变量作为整体具有联合分布函数，其分量和作为一维随机变量也各有其自身的分布函数，称为边缘分布函数，分别记作，．联合分布函数与边缘分布函数之间有密切关系．由分布函数定义易得二、二维离散型随机变量的边缘分布律1.二维离散型随机变量的边缘分布律。
教学内容与要点
教学进程 板书设计作业布置课后教师总结分析
设二维离散型随机变量的联合分布律为，
则的边缘分布律为
(记作)，
(记作)，例题
三、二维连续型随机变量的边缘分布密度1.二维连续型随机变量的边缘分布密度。
设的联合密度函数为，则的边缘分布函数两边求导得的边缘密度同理
举例
四、随机变量的独立性
定义1 设，为两个随机变量，如对任意实数，，事件和是相互独立的，即或
则称与相互独立．
定理1 设二维离散型随机变量的联合分布律为
则与相互独立的充要条件是对任意（），有定理2 设二维连续型随机变量的联合密度、边缘密度分别为，，，则与相互独立的充要条件是
定理3 若，则与相互独立的充要条件为．
教学主要内容例题讲解演算区
教材P.67 8.10.11
本节难点为已知联合密度求解边缘密度，通过丰富例题类型拓宽学生解题思路。
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章节
3学时 §3.3二维随机变量函数的分布
教学目的和1.掌握二维离散型随机变量函数的分布的求法；
要求2.掌握二维连续型随机变量函数的分布的求法。
重点：1.掌握二维离散型随机变量函数的分布律的求法；
2.掌握二维连续型随机变量型函数的分布密度公式
重点和难点—卷积公式
难点：1.已知二维连续型随机变量的分布密度求其函数的分布密度。
2.卷积公式的理解和应用。
教学方法与教学手段教学方法：课堂讲授为主，由平面图形讲解二维连续型函数的分布密度的求法，通过练习提高学生的运算能力。
教学手段：板书。
1、教学内容
一、举例讲解，由二维离散型随机变量的联合分布表求其函数的分布律；
二、举例讲解，已知二维连续型随机变量的分布密度求其分布，同时引出卷积公式；
三、求两个相互独立的标准正态变量和的分布密度，并由此推广到更一般的情况，为后续统计部分的内容打基础；
四、练习求解型函数的分布密度。2、讲授要点
一、由二维连续型随机变量的联合分布密度求其函数的分布密度的步骤和方法；二、卷积公式的理解和应用。
§3.3二维随机变量函数的分布
举例 设的联合密度为，求的分布密度．定理1 若的联合密度为，则的分布密度为或
教学内容与要点
教学进程 板书设计作业布置课后教师总结分析
特别地，当与相互独立时，有
或
例 设与相互独立，，，求的分布密度．结果表明，仍为正态变量且．
推广可得正态变量的一般情况．定理3.3.2 若与相互独立，，，则推论1 若且相互独立，则
推论2 若相互独立且均服从，则举例
教学主要内容例题讲解演算区
教材P.68 14.15
本节难点为已知二维连续型随机变量的分布密度求函数的分布密度和套用卷积公式求和的分布密度。对于学有余力的学生，可以适当增加离散型随机变量函数的分布，及连续型随机变量其他形式的函数的分布。
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3学时
章节§3.4二维随机变量的数字特征教学目的和要求
1. 掌握二维随机变量的数学期望与方差；2. 掌握二维随机变量的协方差和相关系数；3. 简单介绍矩的概念。
重点：二维随机变量的数学期望与方差、协方差和相关系数。
难点：1.二维随机变量的数学期望和方差的计算公式；
重点和难点 2.数学期望和方差的性质及性质的推广形式；
3.协方差和相关系数的性质和关系。
教学方法与教学手段教学方法：以讲授为主，通过适当提问和练习加强学生计算能力的培养。教学手段：板书。
1、教学内容
一、二维离散型随机变量的数学期望与方差的计算；二、二维连续型随机变量的数学期望与方差的计算；三、二维随机变量的协方差和相关系数；四、矩的概念。
2、讲授要点
一、二维随机变量的数学期望与方差及其求法；二、二维随机变量的协方差和相关系数及其性质和关系。
§3. 4二维随机变量的数字特征
一、二维随机变量的数学期望与方差。
定义3.4.1 对二维随机变量，如果，皆存在，则称为的数学期望．
（1）当为离散型随机变量时，（2）当为连续型随机变量时，
与一维随机变量函数的期望类似，可求出二维随机变量函数的期望．
若为离散型随机变量，则若为连续型随机变量，则由此可得与的方差：
教学内容与要点
教学进程 举例
2. 数学期望和方差的性质。
（1）
（2）当与相互独立时，（3）当与相互独立时，
上述性质可推广到多个随机变量的情形．若随机变量相互独立，则举例
二、二维随机变量的协方差和相关系数。
定义3.4.2 设为二维随机变量，若存在，则称其为与的协方差，记作或，即
＝
化简得：举例
定义3.4.3 如果随机变量与的方差存在且均大于0，记
=
称为与的相关系数．
相关系数具有如下性质：（1）
（2），其中，为常数，且．举例
三、矩与协方差矩阵
定义3.4.4 设为随机变量，若
，
存在，则称为的阶原点矩，称为的阶中心矩．
板书设计作业布置课后教师总结分析
教学主要内容例题讲解教材P.68 16.19.21.23
演算区
本节依靠大量计算掌握几个数字特征的求法，通过深入讲解使学生领会数字特征之间的内涵和联系。
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2学时
章节§3.5大数定律和中心极限定理教学目的和1.掌握切比雪夫不等式和大数定律。要求2.掌握中心极限定理。重点：切比雪夫不等式和中心极限定理。重点和难点难点：中心极限定理。教学方法与教学手段教学方法：通过大数定律和中心极限定理的实际意义讲授，以强调概率统计在实际生活中的重要性。教学手段：板书。
1、教学内容
一、切比雪夫不等式和大数定律；二、中心极限定理。2、讲授要点
一、切比雪夫不等式的应用；二、中心极限定理的应用。
§3. 5大数定律和中心极限定理一．大数定律
引理 （切比雪夫不等式）设随机变量的数学期望，方差，则对于任意正数，恒有
或 举例
教学内容与要点
教学进程 定理1 （贝努里大数定律）设是次重复独立试验中事件发生的次数，是事件在一次试验中发生的概率，则对于任意正数，恒有
二．中心极限定理
若随机变量相互独立且都服从正态分布，则其标准化变量
一般随机变量序列也有类似的结论．
定理2 设随机变量相互独立具有相同的分布，且具有有限的期望和方差，．令，则对任意实数 举例
教学主要内容
例题讲解教材P.68 25.26.27
通常应用中心极限定理解决实际问题时题目中往往没有明确信息提示使用什么方法，引导学生学会分析问题准确选择方法。
演算区
板书设计作业布置课后教师总结分析
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