一道高考数学试题的变式研究

一道高考数学试题的变式研究

高考数学题的效度，直接关系到考试的成功与否，而试题的效度尤以卷面效度为界限明确。该文以2010年全国高校统一招生考试中一道地方数学试题为例，剖析了个别试题的叙述及设计中存在的问题，以引起同行的关注。

标签：高考；数学；试题；效度；高线长；余弦定理

根据评分意见的解析：主要是要求学生具备转化的思想，将三角形已知的三条高线长利用面积关系转化为三条边长的表达式，再根据余弦定理确定其最大角余弦的正负或零，进而判断最大角是锐角、钝角还是直角。就整体而言，它不失为考查学生基础知识掌握和基本能力形成的一道好的考题，但笔者对此题的效度有不同看法。

所谓效度，也就是有效的程度。试题效度就定性而言，是指通过测试而达到检测目的的程度，也就是指通过检测内容的呈现，让考生能根据命题者的主观愿望去客观地理解，并正确地解答问题，则说明此题的效度就高，反之亦然。试题效度一般包括卷面效度、内容效度、经验效度和观念效度。

卷面效度、经验效度和观念效度姑且不论，我们直接来探讨本题的内容效度。

一、“考题”表述欠准确而降低了效度

大家知道，作为“四选一”的高考数学选择题的表现形式分为“题干”和“选支”，而“题干”和每一个“选支”分别组合都要成为独立而指向明确的判断。显然“考题”的“题干”“则此人能”和“选支”A组合成为“则此人能不能作出这样的三角形”明显不是“考题”的考查意图，后来有的学校把“能”字改成了“将”字让学生进行练习，当然就没有上述问题了，也可以将“题干”最后一个“能”字去掉，再在B、C、D“选支”前分别添上“能”即可。

不难猜出，本题的结论为k=14，但如何证明？不少同学甚至一些老师都感到困惑.下面给出证明过程：假设f（a14）≠0，若f（a14）>0，由于f（x）=sinx+tanx在（-，）上是增函数，且f（0）=0，a14∈（-，），则f（a14）>f（0），即a14>0，

又{an}为等差数列，则a1+a27=a2+a26=…=a13+a15=2a14>o，

所以a1>-a27，a2>-a26，…，a13>-a15，由于an∈（-，），-an∈（-，），且f（x）=sinx+tanx在（-，）上是增函数，则f（a1）>f（-a27），f（a2）>f（-a26），…，f（a13）>f（-a15），而f（x）=sinx+tanx为（-，）上奇函数，则f（-an）=-f（-an），因此，由f（a1）>f（-a27）得f（a1）>-f（a27），亦即f（a1）+f（a27）>0，同样：f（a2）+f（a26）>0，f（a3）+f（a25）>0…，f（a13）+f（a15）>0，以上不等式相加得：f（a1）+f（a2）+…+f（a13）+f（a15）+f（a16）+…+f（a27）>0.而f（a14）>0，则f（a1）+f（a2）+…+f（a13）+f（a14）+f（a15）+f（a16）+…+f

（a27）>0，这与题设f（a1）+f（a2）+…+f（a13）+f（a14）+f（a15）+f（a16）+…+f（a27）=0相矛盾，从而f（a14）>0不成立.同理，可以证明：f（a14）0的充要条件是f（a）+f（b）>0；a+b=0的充要条件是f（a）+f（b）=0；a+b>0的充要条件是f（a）+f（b）>0.

二、新课程背景下人教版数学教材里的高考走向

新课程背景下数学教材的变化与高考的走向有着密不可分的关系.以人教版数学教材为例，对新课程背景下的高考走向做出具体分析，从而更好地展开高考数学试题的研究工作.我们都知道，高考数学试题的内容很大程度上是按照新课标的要求来具体设计的，新课标是高考数学命题的指导性纲领.作为一门基础性学科，高考数学试题不但重视对学生基本数学知识的考查，同样对学生的数学思维能力以及数学解题水平有着严格的要求.比如人教版数学教材里面的课程主要包括集合、函数；立体几何与平面解析集合；统计与概率；三角函数与向量；数列与不等式等几个重要方面.而这些内容都是高考数学考查的重点，不但要做到对新课标知识的重点考查，而且更加重视对学生数学解题能力和数学思维能力的考核.通过对比分析就可以看出来这是高考试题在近些年的变化趋势，通过对数学解题能力的考查来培养学生的数学思维能力.比如这样一道试题，一家花店以5元一支的价格收购郁金香，然后以10元一支的价格卖出，如果卖不掉便進行垃圾处理.如果一天购入15支，求这一天的利润y关于需求量m（m∈N）的函数解析式.这一道题便给出了学生广阔的答题空间，既体现了函数的基本特征和具体性质，又考查了学生在函数方面的认知水平.

三、“考题”的选择分支设计不匹配而降低了效度

本“考题”的主要目的是考查学生对余弦定理的应用，如果根据计算出最大角的余弦值分别是绝对值不小于1或余弦值大于0而小于1或等于0.或大于负1而小于0等四种情况去对应四个选择分支，还有一定的道理，但把“不能作出三角形”与“作出的分别是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形”相对应显然是不匹配的。如果设计了“不能作出三角形”这项选择分支，那么此题就应该分为两步判断：一是符合条件的三角形是否存在？二是若存在，则其最大角的取值范围又如何？但这显然也是偏离试题考查意图的，当然根据最大角余弦值的绝对值不小于1或者“三角形任一高线长的倒数大于另两条高线长的倒数差而小于另两条高线长的倒数和”而判定其“能否组成三角形”（后者证明略），但这又不属于中学数学课程标准的要求范围。其实要修改也很容易，因为已知高线长的三角形是存在的，所以直接将A选择支的内容改为“能作出最大角大于120°的钝角三角形”，再将D选择支的内容改为“能作出最大角小于120°的钝角三角形”。这样既回避了三角形的存在性问题，又考查了余弦函数在90度至180度之间的单调性问题，同时要正确判断就必须用余弦定理才能解决。

总之，作为“四选一”的选择题，不仅要“题干”和“选支”的叙述搭配准确，让考生“抓阄”成功的概率进一步降低而保证试题效度，而且“选支”的设计要科学合理，“交集”、“并集”使用恰当，分类切勿“不伦不类”，从而使试题的效度得到保证，更不能出现问题解决的主要方式方法脱离考查的主要意图而使试题的效度大

大降低。