1.3 勾股定理的应用（word解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________
一．选择题（共10小题）
1．如图，CD是一平面镜，光线从A点射出经CD上的E点反射后照射到B点，设入射D，且AC=3，BD=6，角为α（入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、CD=12，则CE的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离
为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下落了（ ）
A．0.9米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米
3．小明从家走到邮局用了8分钟，然后右转弯用同样的速度走了6分钟到达书店（如图所示）．已知书店距离邮局660米，那么小明家距离书店（ ）
A．880米 B．1100米 C．1540米 D．1760米
4．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（ ）
A．直角三角形两个锐角互补 B．三角形内角和等于180°
C．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方
D．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形 5．如图，厂房屋顶人字形钢架的跨度BC=12米，AB=AC=6.5米，则中柱AD（D为底边BC的中点）的长是（ ）
A．6米 B．5米 C．3米 D．2.5米
6．如图，盒内长、宽、高分别是6cm、3cm、2cm，盒内可放木棒最长的长度是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
7．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
8．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
9．如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（ ）
A．11cm B．2cm C．（8+2）cm D．（7+3）cm
10．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
二．填空题（共6小题）
11．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向60°，距离灯塔为4海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离AB长 海里．
12．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1m，当他把绳子下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为 米．
13．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 cm．
14．一架长25m的云梯，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7m，如果梯子的顶端沿墙下滑了4m，那么梯足将滑动 ．
15．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm（杯壁厚度不计）．
16．如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4，5，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是 ．
三．解答题（共4小题）
17．如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向上，轮船从B处继续向正东方向航行100海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向上，AD⊥BC于点D，求AD的长．
18．（1）如图1是一家唇膏卖家的礼品装，卖家采用了正三梭柱形盒子，里面刚好横放一支圆柱形唇膏，右图是其横载面，△ABC为正三角形．求这个包装盒空间的最大利用率（圆柱体积和纸盒容积的比）；
b．h的长方体纸箱装满了一层高为h的圆柱形易拉罐如图2．（2）一个长宽高分别为l，求纸箱空间的利用率（易拉罐总体积和纸箱容积的比）； （3）比较上述两种包装方式的空间利用率哪个大？
19．如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，以每小时12海里的速度向B岛驶去．乙船沿南偏东55°的方向向C岛驶去，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？
20．如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上，∠C=90°，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC为0.7m．
（1）求此时梯子的顶端A距地面的高度AC；
（2）如果梯子的顶端A下滑了0.9m，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？
2018-2019学年度北师大版数学八年级上册同步练习：1.3 勾股
定理的应用（word解析版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题） 1．
【分析】证明△AEC∽△BED，可得
=
，由此构建方程即可解决问题；
【解答】解：由镜面反射对称可知：∠A=∠B=∠α，∠AEC=∠BED． ∴△AEC∽△BED． ∴
=
，
又∵若AC=3，BD=6，CD=12， ∴
=
，
求得EC=4． 故选：B． 2．
【分析】要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即可．
【解答】解：在Rt△ACB中，AC2=AB2﹣BC2=2.52﹣1.52=4， ∴AC=2， ∵BD=0.9， ∴CD=2.4．
在Rt△ECD中，EC2=ED2﹣CD2=2.52﹣2.42=0.49， ∴EC=0.7，
∴AE=AC﹣EC=2﹣0.7=1.3． 故选：B． 3．
【分析】利用勾股定理求出小明家到书店所用的时间，求出小明的速度，再求小明家距离书店的距离．
【解答】解：∵小明家到书店所用的时间为又∵小明的速度为
=110米/分钟，
=10分钟，
故小明家距离书店的距离为110×10=1100米． 故选：B． 4．
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断．
【解答】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m， ∵（3m）2+（4m）2=（5m）2，
∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形） 故选：D． 5．
【分析】首先证明AD⊥BC，再利用勾股定理计算即可； 【解答】解：∵AB=AC，BD=DC， ∴AD⊥BC， 在Rt△ADB中，AD=故选：D． 6．
【分析】两次运用勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方即可解决． 【解答】解：本题需先求出长和宽组成的长方形的对角线长为
=3
cm．
=
=2.5，
这根最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形． 盒内可放木棒最长的长度是故选：B． 7．
=7cm．
【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长 【解答】解：根据题意可得图形：AB=12cm，BC=9cm， 在Rt△ABC中：AC=
则这只铅笔的长度大于15cm． 故选：D．
=
=15（cm），
8．
【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC=90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可．
【解答】解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是BCπ=6π，
以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l=6π，
设展开后的圆心角是n°，则解得：n=180，
即展开后∠BAC=×180°=90°， AP=AC=3，AB=6，
则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长， 由勾股定理得：BP=故选：C． 9．
【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【解答】解：把长方体的侧表面展开得到一个长方形，高6cm，宽=2+3+2+3=10cm，AB
，
=6π，
为对角线． AB=故选：B． 10．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论． 【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米， ∴AB2=0.72+2.42=6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B2， ∴BD2+22=6.25， ∴BD2=2.25， ∵BD＞0， ∴BD=1.5米，
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米． 故选：C．
=2
cm．
二．填空题（共6小题） 11．
【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=60°，AP=4海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=60°．然后解Rt△ABP，得出AB=AP•cos∠A=2海里．
【解答】解：如图，由题意可知∠NPA=60°，AP=4海里，∠ABP=90°． ∵AB∥NP，
∴∠A=∠NPA=60°．
在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=60°，AP=4海里， ∴AB=AP•cos∠A=4×cos60°=4×=2海里． 故答案为2．
12．
【分析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．
【解答】解：设旗杆高xm，则绳子长为（x+1）m，∵旗杆垂直于地面，
∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为x2+52=（x+1）2，解得x=12m． 13．
【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】解：Rt△ACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm； 根据勾股定理，得：AD=
=5cm；
∴AD+BD﹣AB=2AD﹣AB=10﹣8=2cm； 故橡皮筋被拉长了2cm． 14．
【分析】利用勾股定理进行解答．先求出下滑后梯子低端距离低端的距离，再计算梯子低端滑动的距离．
【解答】解：梯子顶端距离墙角地距离为顶端下滑后梯子低端距离墙角的距离为15m﹣7m=8m． 故答案为：8m． 15．
【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【解答】解：如图：
=24m，
=15m，
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=故答案为20． 16．
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答，注意此题展开图后蚂蚁的爬行路线有两种，分别求出，选取最短的路程．
【解答】解：如图①：AM2=AB2+BM2=16+（5+2）2=65； 如图②：AM2=AC2+CM2=92+4=85； 如图③：AM2=52+（4+2）2=61．
∴蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是：61．
=
=20（cm）．
故答案为：61．
三．解答题（共4小题）
17．
【分析】如图，直角△ACD和直角△ABD有公共边AD，在两个直角三角形中，利用三
角函数即可用AD表示出CD与BD，根据CB=BD﹣CD即可列方程，从而求得AD的长．
【解答】解：如图所示． 则∠ABD=30°，∠ACD=60°． ∴∠CAB=∠ABD， ∴BC=AC=100海里．
在Rt△ACD中，设CD=x海里， 则AC=2x海里，AD=在Rt△ABD中，AB=2AD=2BD=
=
=x，
=3x，
=
x，
又∵BD=BC+CD， ∴3x=100+x， 解得x=50， ∴AD=
x=50
海里．
18．
【分析】（1）如图1，设⊙O半径为r，纸盒长度为h'，则CD=
r，BC=2
r．根据圆
柱的体积和棱柱的体积公式分别求得圆柱型唇膏和纸盒的体积，然后求其比值； （2）求得易拉罐总体积和纸箱容积，然后求得比值； （3）利用（1）（2）的数据进行解答．
【解答】解：（1）由题意，⊙O是△ABC内接圆，D为切点， 如图1，连结OD，OC．设⊙O半径为r，纸盒长度为h'，则CD=则圆柱型唇膏和纸盒的体积之比为：
r，BC=2
r
（）
（2）易拉罐总体积和纸箱容积的比：
=；
（3）∵
=
∴第二种包装的空间利用率大．
19．
【分析】首先求得线段AB的长，然后利用勾股定理求得线段AC的长，然后除以时间即可得到乙船的速度．
【解答】解：根据题意得：AB=12×2=24，BC=30，∠BAC=90°．…（1分） ∴AC2+AB2=BC2．
∴AC2=BC2﹣AB2=302﹣242=324 ∴AC=18．…（4分）
∴乙船的航速是：18÷2=9海里/时．…（6分） 20．
【分析】（1）直接利用勾股定理求出AC的长，进而得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出B′C，进而得出答案． 【解答】解：（1）∵∠C=90°，AB=2.5，BC=0.7， ∴AC=
=
=2.4（米），
答：此时梯顶A距地面的高度AC是2.4米；
（2）∵梯子的顶端A下滑了0.9米至点A′， ∴A′C=AC﹣A′A=2.4﹣0.9=1.5（m），
在Rt△A′CB′中，由勾股定理得：A′C2+B′C2=A′B′2， 即1.52+B′C2=2.52， ∴B′C=2（m），
∴BB′=CB′﹣BC=2﹣0.7=1.3（m）， 答：梯子的底端B在水平方向滑动了1.3m．
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容