２０１ ３年 第１－２期 ＼ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ ＮＯ．１—２ ２Ｏ１３ 罗才忠评析（海南省教育研究培训院） 摘要：正态分布是高中学习内容中唯一一种连续型分布．本 态分布具有许多良好的性质，许多分布都可以用正态分布来近 节课设计了高尔顿板试验、画频率分布直方图和折线图等数学 似描述，因此在理论研究中，正态分布占有很重要的地位． 实验，让学生在实验中以分组讨论的方式开展研究性学习，引 导学生逐步经历正态曲线和正态分布概念的形成过程，并利用 图形计算器小组合作探究正态曲线的特点． 关键词：正态分布；正态曲线；频率分布直方图；频率分 布折线图 二、学生学情分析 我所带班级的学生能够应用图形计算器解决简单的数学问 题，并在通用技术课上自己制作过高尔顿板． 认知基础方面：学生学习了统计与概率的相关知识，能 够画出所给数据的频率分布直方图和频率分布折线图，并根 据频率分布直方图和频率分布折线图初步分析数据的分布规 一、教学内容解析 律，具有一定的统计思想．大部分学生会用数形结合思想方 本节课是《韭通高中课程标准实验教科书・数学２－３（选修）》 法研究一些简单的数学问题，能够收集、整理和分析一些简 （人教Ａ版）中的２．４“正态分布（第一课时）”，属于新授概 单的统计问题．念课． 但是，本节课是由离散型随机变量到连续型随机变量，需 正态分布是选修２—３第二章“随机变量及其分布”的最后 要学生由离散型随机变量的频率分布直方图得到连续型随机变 ～节，本节课内容是在学生学习了离散型随机变量及其分布的 量的分布密度函数，这对学生来说是一个挑战，如何认识正态 综上可知，本节课的教学重点、难点是： 教学重点：正态分布密度曲线的特点及其所表示的意义． 教学难点：正态分布密度曲线所表示的意义． 三、教学目标设置 基础上进行研究的，正态分布的随机变量是一种连续型随机变 曲线的特点及其表示的意义也是学生学习的难点． 量，这让学生对随机变量由离散到连续有一个深入的认识．正态 分布是高中学习内容中唯一一种连续型分布，它反映了连续型 随机变量的分布规律，连续型随机变量可能取某个区间上的任 何值，它等于任何一个实数的概率都为０，所以我们感兴趣的是 它落在某个区间的概率．离散型随机变量的概率分布规律用分布 （曲线）描述，本节课是对本章知识体系的一个完善，也是必修３ 思想方法，以及统计思维与确定性思维的差异． （１）通过数学实验和实际问题的数据分析，从直观和形式认 （２）经历从具体到抽象研究正态分布问题的过程，体会数形 （３）认识客观世界中的随机现象和正态分布发生发展的历 列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用分布密度函数 识正态曲线的特点及其所表示的意义； 统计和概率知识的一种拓展．同时本节课内容反映了数形结合的 结合、有限与无限的思想方法； 生活中除了离散型随机变量更多的是连续型随机变量的例 史，感受数学的文化价值．子，因此正态分布在统计中是很常用的分布，它能刻画很多随 机现象，广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．从形式上 四、教学策略分析 基于学生已经在通用技术课上自己制作了高尔顿板，本节 看，它属于概率论的范畴，但同时又是统计学的基石，它在概 课在教学材料的组织上选择了学生进行高尔顿板试验、画频率 率和统计中占有重要的地位．一方面，本节课内容为学生初步应 分布直方图和频率分布折线图的活动．高尔顿板试验需要小组合 用正态分布知识解决实际问题提供了理论依据；另一方面，正 作来完成，画频率分布直方图和频率分布折线图需要借助图形 收稿日期：２０１２—１２—１０ 作者简介：巫宇霞（１９７７一），女，黑龙江哈尔滨人，中学一级教师，北京市朝阳区优秀青年教师，第六届全国高中青年数学教师优秀课观摩与 展示活动一等奖，主要从事数学教育与中学数学研究． ３４ 计算器，正态曲线特点及其所表示的意义需要在教师的指导下 小组讨论交流，因此为了更好地让学生认识正态曲线的特点及 一个直观的印象． ２．建立概念一钟形曲线一正态曲线一正态分布 （１）钟形曲线． 感性认识要上升到理性认识，为方便研究问题，我们从左 其所表示的意义，本节课采用实物模型和信息技术相结合的手 段，应用问题探究式教学方法，为不同认知基础的学生提供了 自主探索、动手实践、合作交流的学习方式，使学生主动地学 到右给球槽编号，小球落人哪个球槽是不是有一定规律可遵循．习，发挥学生的主动性． 五、教学过程 教学流程图 图１ １．情境引入——高尔顿板试验 学生没有接触过正态曲线，对正态曲线的来源也没有认识， 因此，教师向学生出示高尔顿板模型引入本节课，并提出问题． 问题１：同学们是否见过此模型？在哪见过？ 图２ 学生活动：学生不仅见过还在通用技术课上自己制作过高 尔顿板，并知道高尔顿板试验是让一个小球从高尔顿板上方的 通道口落下，小球在下落的过程中与层层障碍物碰撞，最后掉 人高尔顿板下方的某一球槽内． 活动１：高尔顿板试验． 为了观察到小球的运动，得到小球的分布规律，我把全班分 成６个小组，以小组为单位进行高尔顿板试验，思考下面问题． 问题２：试验过程中，小球碰撞和落人的位置，随着试验次 数增加。球槽中小球堆积的高度及形状特点． 学生以小组为单位边试验边观察，并思考教师提出的问题， 教师以小组选派代表的方式总结小组的试验观察结果． 学生活动：学生能够观察到小球从高尔顿板上方下落的过 程中，小球经过每一层都要和其中的一个障碍物发生碰撞，碰 撞有两种可能，从左落下或从右落下，最后落入底部的球槽， 小球落人哪个球槽是随机的；随着试验次数的增加，掉入各个 球槽内的小球的个数就会越来越多，球槽中小球堆积的高度也 会越来越高；随着试验次数增加，小球堆积的形状具有中间高 两边低的特点，如果有学生观察出左右对称的特点，教师应给 与鼓励和表扬． 【设计意图】采用高尔顿板试验的方法引入，一方面可以激 发学生学习探究的兴趣，另一方面使学生对正态曲线的来源有 问题３：如何用我们所学的知识研究落在各个球槽内的小球 的分布情况？ 预案１：用 表示球槽编号，则Ｘ是一个随机变量，每投 放一个小球就可以看做１个试验，重复投放ｎ个小球，相当于 做了ｎ次独立重复试验，某一槽中球的个数就是小球落在这个 槽中的频数，可以在大量重复的试验下，用频率估计概率，列 出球槽编号 的分布列． 预案２：以球槽的编号为横坐标，可以画出小球分布的频率 分布直方图． 学生讨论比较２种预案，哪种预案好？ 学生活动：对于离散型随机变量而言，其分布列完全刻画 了它的概率分布规律，但只能通过频率来近似，现在无法知道 所构造的随机变量的分布列．而频率分布直方图更加准确、直 观、形象，所以经过学生讨论用频率分布直方图进一步探究小 球的分布规律． 【设计意图】借助频率分布直方图更加准确、直观、形象地 研究小球的分布规律，为正态曲线的得出作铺垫． 活动２：画频率分布直方图． 由于课堂时间所限，让学生在课前进行试验，并记录落入 各个球槽内小球的频数，利用图形计算器画频率分布直方图， 课上请１个小组的同学展示在课前画的频率分布直方图．教师出 示课前收集到的其他小组画出的频率分布直方图，并思考下面 问题． 叠 嗣瞄盈圆丽 口 嚼瞄 圆瞄 商 ， ．Ｉ。▲ 。 ｌ ｎ ｎ几ｎ （２） ０ ～（３） ～（４） （５） （６） 图３ ３５ 问题４：观察频率分布直方图，有何共同特点？ （左右两边对称）的特点，并且频率分布直方图的外形与试验中 小球的堆积形状是一样的． 学生活动：像我们生活中的钟、铃铛等类似形状的东西， 学生活动：学生可发现频率分布直方图具有中间高两边低 我们称之为钟形曲线． 【设计意图】引导学生逐步经历概念的形成过程，初步体会 正态曲线的特点． 【设计意图】引导学生归纳频率分布直方图的共同特点，有 对于这条钟形曲线，早在１８世纪３０年代，棣莫弗、斯特 利于学生观察发现、归纳概括能力的初步锻炼，进一步加深正 灵等数学家经过十几年的努力，应用求导、对数、无穷级数、态曲线的印象． 活动３：画频率分布折线图． 问题５：是不是只有小球的分布具有中间高两边低的特点？ 学生活动：教师引导学生调用在必修３统计的学习中，收 集过的身高、体重、成绩等数据，借助图形计算器，可以画出 这些数据的频率分布直方图，发现这些数据都具有中间高两边 低的特点． 既然这么多数据都具有中间高两边低的特点，我们有必要 进一步研究它们的分布规律，教师引导学生画数据的频率分布 折线图，并思考下面问题． 问题６：画出身高、体重、成绩等数据的频率分布折线图， 随着试验次数增加，组距不断缩小，观察频率分布折线图有何 特点？ 组内讨论交流后，以小组选派代表的方式请１～２名学生 展示． 学生活动：随着试验次数增加，组距不断缩小，频率分布 折线图的形状也越来越光滑． 【设计意图】为引入新知搭桥铺路，为了让学生由特殊到一 般地归纳正态曲线的概念作铺垫，同时也说明了正态分布在概 率统计理论和实际应用中都占有重要地位． （２）正态曲线． 对钟形曲线有了初步的认识，如何由钟形曲线得到正态曲线． 活动４：教师用计算机演示． 教师借助《几何画板》演示，引导学生思考当试验次数增 加，组距不断缩小时，频率分布折线图有什么变化特点？ 图４ 学生活动：频率分布折线图越来越光滑，越来越像一条曲线． 【设计意图】这个步骤实现了由离散型随机变量到连续型随 机变量的过渡，突破学生由离散到连续认知上的障碍．通过（仉 何画板》让学生直观、形象地感受正态曲线的形成过程． 问题７：生活中我们是否见过类似形状的东西？ ３６ 积分、变量代换等数学方法就推导出这条钟形曲线就是函数 １ （ 一Ⅱ） ． （ ）＝—兰一～ ２盯 ｅ一 的图象，其中 和盯（０ｒ＞０）为参数， 我们称 ． （ ）的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 【设计意图】对高中生来说，正态分布密度函数的推导是十 分困难的，因此，从数学史的角度介绍正态分布密度曲线的解 析武，既使学生易于接受又渗透了数学的文化价值． 在对正态曲线认识的基础上进行理性分析，得到正态分布 的概念． （３）正态分布． 知道了小球的分布规律是正态曲线，为了引导学生由正态 曲线认识正态分布设计了下面的问题． 问题８：一个小球从高尔顿板口落下，会落在哪？为什么？ 学生活动：一个小球从高尔顿板口落下，落在哪都有可能， 但是，落在中间的可能性大，概率大． 问题９：如何计算小球落在某个区间（ａ，ｂ］内的概率？ 引导学生思考当试验用的小球很小的时候如何刻画小球的 具体位置，学生能够想到用坐标，采用小组讨论的方式探究如 何建立适当的坐标系，以及如何计算小球落在某个区间（ａ，ｂ］ 的概率．教师巡视并参与学生的讨论，做适当的指导． 这样就需要我们建立适当的坐标系，如果去掉高尔顿板最 下边的球槽，沿高尔顿板底部建立一个水平坐标轴，刻度单位 为球槽的宽度，若用Ｘ表示落下的小球第１次与高尔顿板底部 接触时的坐标．引导学生认识 是一个随机变量，这样计算小 球落在某个区间（ａ，ｂ］的概率，就是求Ｐ（ａ＜Ｘ≤ｂ）．引导学生 回忆频率分布直方图是用面积来表示概率的，这样学生能够结 合定积分和概率的知识，想到用曲边梯形的面积计算概率，进 一步可以对 ， （ ）求定积分来求曲边梯形的面积，这样曲边 梯形的面积就是小球落在某个区间（ａ，ｂ］的概率的近似值，即 ｆ ６ Ｐ（ａ＜Ｘ≤ｂ）一ｆ ， （ ） ｙ 、 ０ ａ ｂ ｊ 幽５ 进一步引导学生思考，此公式是不是只对特殊的ａ和ｂ成 立．学生可以发现对于任意的实数ａ和ｂ（ａ＜ｂ），随机变量 ｒ ｂ 都满足Ｐ（ａ＜Ｘ≤ｂ） ｌ ， （ ） ． 【设计意图】正态曲线的意义是本节课的重点也是本节课的 曲线都有哪些特点？难点，通过设疑，引起学生对问题的深入思考，通过复习、巩 学生活动：学生可以从函数的定义域、最值和对称性等方 固原有知识，以确保新内容的自然引入，同时加深了对定积分 面探究曲线的特点，也可以利用图形计算器，画出函数的图象 几何意义的理解．以旧引新，虽然概念较抽象，但这样的处理过 探究曲线的特点 程学生不会觉得太突兀，易于接受新知识，引导学生逐步揭示 表１ 正态曲线的意义．同时培养了学生把前后知识联系起来进行思考 的习惯． 正态曲线特点 （１） 曲线位于 轴上方，与 轴不相交 （２） 曲线是单峰的，它关于直线 ＝／ｚ对称 表示落下的小球第１次与高尔顿板底部接触时的坐标， 是一个随机变量，请同学们通过下面的问题总结 是什么样的 量？它受到哪些因素的影响． 问题１０：判断下面说法是否正确，说明理由． （１） 是一个障碍物作用的结果； （２）如果小球与第１个障碍物相撞后向左落下，那么小球与 第５个障碍物相撞后也向左落下； （３）主要受最后一次与小球碰撞的障碍物的影响． 学生活动： 是一个随机变量，受到了很多个障碍物的 作用；每个障碍物是互不影响、互不相干；小球落在什么位 置是很多次碰撞的结果，这些碰撞不分主次．因此， 是一 个随机变量，受到了众多的、互不相干的、不分主次的偶然 因素的影响． 【设计意图】分析 的特点以及影响 的因素，突破学生 认知上的障碍，初步体会什么样的随机变量 服从或近似服从 正态分布． 由学生给出描述小球分布规律的正态分布的定义，教师给 与补充进一步完善正态分布的概念． 一般地，如果对于任何实数ａ，ｂ（ｏ＜６），随机变量ｘ满 ，ｂ 足尸（ａ＜Ｘ≤ｂ）＝Ｊ ， （ ）ｄｘ，则称随机变量 服从正态分布， Ｊ ０ 记为Ｘ－－Ｎ（Ｉｘ，０－２），参数 可以用样本的均值估计，０－可以用样 本的标准差估计． 根据前面对随机变量 特点的分析，一个随机变量如果是 众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它 就服从或近似服从正态分布． 在现实生活中，长度测量误差，某一地区同龄人群的身高、 体重、肺活量等，一般都服从正态分布．正态分布广泛存在于自 然现象、生产和生活实际中，正态分布在概率和统计中占有重 要的地位．因此，在对概念有初步认识的基础上，就需要我们提 升认知，探究正态曲线的特点． 【设计意图】体会正态分布广泛存在于自然界、生产和生活 实际之中，正态分布在概率统计中占有重要的地位． ３．探究曲线特点 １ （ ～） 正态曲线一方面是函数 ， （ ）＝— 一ｅ— 的图象， 、／２竹 另一方面是刻画随机变量的概率分布规律，因此我们可以从函 数和概率两个方面探究正态曲线的特点． 问题１１：结合吼， （ ）的解析式及概率的性质，说一说正态 （３） 曲线在 ： 处达到峰值— Ｖ２ （４） 曲线与 轴之间的面积为１ 为了调动学生的探究热情，采用组内合作，组问竞争的学 习方式，分组讨论后采用小组选派代表的方式交流探究成果． 【设计意图】加深对正态曲线特点的认识，锻炼了学生的表 达能力．采用生生互动小组合作学习，培养学生的合作精神和竞 争意识． 问题１２：正态分布中的参数 和 可以用样本的均值和标 准差去估计，正态分布完全由 和０－确定，如何研究两个参数 对正态曲线的影响？具体如何操作？ 学生活动：需要控制变量，让 （或０－）固定，作出 （或 取不同值的图象，观察正态曲线的变化 表２ 当 一定时 曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿 轴平移 曲线形状由 确定， 当 一定时 越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中； 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散 明确任务之后请学生分组讨论完成正态曲线特点的探究， 考虑到各组的水平可能有所不同，教师巡视，对个别组做适当 的指导． 【设计意图】让学生通过自主探索、小组合作交流的方式探 究正态曲线的特点，突出了本节课的重点，也调动了学生学习 的热情和主动性，提高合作交流的意识和能力． ４．归纳小结 为了进一步培养学生的概括和语言表达能力，课堂小结设 置了２个问题： （１）本节课我们学习的知识有哪些？ （２）在正态曲线、正态分布概念的得出和正态曲线特点的探 究上，我们用了哪些研究问题的方法，体现了哪些数学思想？ 我们用一节课的时间认识了正态曲线及其所表示的意义， 事实上，从历史上看，正态分布从１７３３年问世到作为分析统计 数据的概率模型经历了１００多年，经过棣莫弗、高斯、凯特莱 和高尔顿等很多科学家的辛苦努力．课后请同学们查阅相关的资 料，了解正态分布的发展史． ３７ 棣莫弗 一目＿ 高斯 凯特莱 高尔顿 图６ 课是一节新知课、数学实验课、研究性学习课、分组学习课， 还是手持技术应用课、数学史示范课． 在教学过程中，学生动手、动脑、积极配合，教师沉着冷 静、有条不紊，学生实验收控自如，教师提问精确独到，学生 回答准确从容，小结部分自然完整，作业布置层次分明，很好 地完成了教学任务． 本节课有以下几个特点非常突出：教学容量大，学生活动 （１）教学容量大．本节课首先做高尔顿板实验，费时１分３０秒， 【设计意图】让学生回顾本节课所学内容以及研究方法，有 法之间的区别和联系以及其中蕴含的数学思想．让学生了解正态 利于学生系统地掌握所学内容，有利于体会各种研究数学的方 丰富，课堂组织严密，教师引领得恰到好处． 分布的历史，渗透数学史和数学文化． ５．布置作业 作业是学生信息的反馈，采用课内与课外相结合的方式， 设计了下面３个作业： （１）课本第７５页Ａ组１． （２）画出课上使用过的身高、体重、成绩等数据的正态曲 线，并估计参数的值． （３）请同学们查阅相关的资料，了解正态分布的发展史，以 小组为单位对某个科学家的观点或在正态分布方面的贡献写一 个简介． 【设计意图】课内作业可以发现学生在学习中存在的问题， 弥补教学中的不足，画正态曲线让学生进一步体会统计思想， 发展数学应用意识，对客观事物中蕴含的数学模式进行思考和 做出判断，课外作业让学生了解数学史，感受数学的文化价值． 六、教学特点及反思 １．实物模型、信息技术与课程内容有机整合 本节课使用了易于动手操作的实物模型——高尔顿板，给 学生创造了数学实验的学习环境，让每个学生亲自动手做实验， 增强了他们的直观认识和探究问题的兴趣；信息技术的使用增 大了课堂容量、减少了重复性的工作，信息技术提供的数据分 析和动态画图的功能是传统教学中无法实现的，有利于学生认 识正态分布的特点，既突破了学生认知上的障碍，又突出了本 节课的重点． ２．以问题引领活动，关注学生发展 本节课通过一系列的提问，设置了引起学生深入思考的问 题，给学生创设了自主探索、动手实践、小组合作交流等多种 学习活动平台，在概念的探究活动中层层深入，充分挖掘思维 的深度与广度，让学生体会正态分布的特点及其所表示的意义， 关注了学生的发展． 本节课在概念教学上进行了一些尝试．在教学过程中，努力 创设一个探索数学的学习环境，通过设计一系列问题和活动， 使学生在探究的过程中，亲身经历数学概念的发生与发展过程． 正态分布仍然是高中学生不易完全理解的概念，如何进行教学 设计帮助学生更好地认识这类概念的本质将是笔者继续思考和 探索的方向． 七、评析 从实际教学效果来看，本节课是一节追求完美的课，本节 ３８ 然后提出问题：如何研究小球的分布情况？经小组讨论，学生 积极发言，确定了基本研究方案——画频率分布直方图，到此 已经耗时６分钟．之后，教师让学生展示课前已经研究的学生成 绩分布、身高数据及高尔顿板实验数据的频率分布直方图，引 导学生利用图形计算器画频率分布折线图，归纳出频率分布折 线图的特点，并通过饥何画板》直观演示了频率分布折线图 随着实验次数增加的图象变化规律，将离散型概率分布过渡到 连续型概率分布，给学生树立了钟形曲线的形象．在第１９分钟 的时候，教师给出了正态曲线的概念，通过对正态曲线函数解 析式的探究，在第２７分钟的时候给出正态分布的概念，直至第 ３０分钟完成正态分布概念的讲授，突破本节课的重点和难点． 最后讨论正态曲线的图象特征，首先是直观特征（比如面积为１、 对称性、最值等），接下来研究 、 对正态曲线图象的影响． 最后５分钟让学生从知识内容和思想方法两个方面小结，并结 合数学史实，留下研究性课题作业．本节课可以说浓缩了人类对 “正态分布”两百年的发展简史和思考过程． （２）学生活动丰富．本节课学生利用高尔顿板及图形计算 器，先后做了４次实验，教学过程中，先后有２４名学生（１５女 ９男）站起来回答问题． （３）课堂组织严密．从高尔顿板实验到确定小球分布研究方 案，从课前实验结果展示到频率分布折线图的探究，从钟形曲 线的直观感知到正态曲线的认知升华，从正态分布概念到正态 曲线图象特征的探究，从课堂小结到作业布置，环环相扣，将 整个正态分布感性到理性的求索过程浓缩到一个课时，其课堂 组织强度及严密性可想而知． （４）教师引领恰到好处．这是显而易见的．举个例子，教师 问钟形曲线图象有什么特点时，学生回答：“上半部分像二次函 数，下半部分像指数函数”，教师乘机借数学史实给出正态曲线 的函数解析式，并分析出解析式中的指数特征，加深了学生的 印象． 这节课是追求完美的一节课，把学生动手体验和理性认识 科学有效地展示出来，其手持技术的应用是本节课最大的亮点． 参考文献： ［１］裴中军．“单调性与最大（小）值（第一课时）”教学设 计［Ｊ］．中国数学教育（高中版），２０１１（１／２）：４８—５１． ［２］吴红霞．正态分布进入统计学的历史演化［Ｄ］．石家 庄：河北师范大学，２００８．