一．解答题（共7小题）
1．（2012•广西）已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标； （3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2013•茂名）如图，抛物线为（3，0）．
（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；
（2）分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等；
（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由．
与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标
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3．（2011•茂名）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M． （1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）点P在抛物线上，且以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；
（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．
4．（2012•黔西南州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线的对称轴l与x轴相交于点M． （1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；
（2）设点P为抛物线（x＞5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；
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（3）连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2013•新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．
6．（2009•江津区）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
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（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．
7．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c经过点A（1，0），C（0，3），且对称轴为直线x=﹣1． （1）求二次函数的表达式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使△PAB得面积为10，请写出所有点P的坐标．
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二次函数与三角形最大面积的3种求法
参考答案与试题解析
一．解答题（共7小题）
1．（2012•广解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c的图象经过点A（3，0）和点B（0，3）， 西）解答： ∴
，解得a=﹣1，c=3，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3．
（2）对称轴为x=
=1，
令y=﹣x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=﹣1，∴C（﹣1，0）．
如图1所示，连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点，由于A、C两点关于对称轴对称，则此时DB+DC=DB+DA=AB最小．
设直线AB的解析式为y=kx+b，由A（3，0）、B（0，3）可得：
，解得k=﹣1，b=3，
∴直线AB解析式为y=﹣x+3．
当x=1时，y=2，∴D点坐标为（1，2）．
（3）结论：存在．
如图2所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，
过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y，AN=OA﹣ON=3﹣x． S△ABP=S梯形PNOB+S△PNA﹣S△AOB =（OB+PN）•ON+PN•AN﹣OA•OB
.
=（3+y）•x+y（•3﹣x）﹣×3×3 =（x+y）﹣，
∵P（x，y）在抛物线上，∴y=﹣x2+2x+3，代入上式得： S△ABP=（x+y）﹣=﹣（x2﹣3x）=﹣（x﹣）2+∴当x=时，S△ABP取得最大值． 当x=时，y=﹣x2+2x+3=
，∴P（，
）．
使得△ABP的面积
，
所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P，最大；P点的坐标为（，
）．
2．（2013•茂名）
.
（1）∵抛物线y=ax2﹣x+2经过点B（3，0）， 解答： 解：
∴9a﹣×3+2=0， 解得a=﹣， ∴y=﹣x2﹣x+2，
∵y=﹣x2﹣x+2=﹣（x2+3x）+2=﹣（x+）2+， ∴顶点坐标为（﹣，）；
（2）∵抛物线y=﹣x2﹣x+2的对称轴为直线x=﹣， 与x轴交于点A和点B，点B的坐标为（3，0）， ∴点A的坐标为（﹣6，0）． 又∵当x=0时，y=2， ∴C点坐标为（0，2）．
设直线AC的解析式为y=kx+b， 则
，解得
，
∴直线AC的解析式为y=x+2． ∵S△AMC=S△ABC，
∴点B与点M到AC的距离相等， 又∵点B与点M都在AC的下方， ∴BM∥AC，
设直线BM的解析式为y=x+n， 将点B（3，0）代入，得×3+n=0， 解得n=﹣1，
∴直线BM的解析式为y=x﹣1．
.
由，解得，，
∴M点的坐标是（﹣9，﹣4）；
（3）在抛物线对称轴上存在一点N，能够使d=|AN﹣CN|的值最大．理由如下： ∵抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于点A和点B， ∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称．
连接BC并延长，交直线x=﹣于点N，连接AN，则AN=BN，此时d=|AN﹣CN|=|BN﹣CN|=BC最大．
设直线BC的解析式为y=mx+t，将B（3，0），C（0，2）两点的坐标代入， 得
，
，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+2， 当x=﹣时，y=﹣×（﹣）+2=3， ∴点N的坐标为（﹣，3），d的最大值为BC=
3．（2011•茂名）
解答： 解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），
把点A（0，4）代入上式得：a=， ∴y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣∴抛物线的对称轴是：x=3；
（2）P点坐标为：（6，4），
x+4=（x﹣3）2﹣
， =
．
.
由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3， 又∵点P的坐标中x＞5， ∴MP＞2，AP＞2；
∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意， ∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况， 在Rt△AOM中，AM=∵抛物线对称轴过点M，
∴在抛物线x＞5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5， 即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；
故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立， 即P（6，4）；
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大． 设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣
t+4）（0＜t＜5），
=
=5，
过点N作NG∥y轴交AC于G；作AM⊥NG于M，
由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4； 把x=t代入得：y=﹣t+4，则G（t，﹣t+4）， 此时：NG=﹣x+4﹣（t2﹣∵AM+CF=CO，
∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AM×NG+NG×（﹣t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+∴当t=时，△CAN面积的最大值为由t=，得：y=t2﹣
t+4=﹣3，
，
，
CF=NG•OC=
t+4）=﹣t2+4t，
.
∴N（，﹣3）．
4．（2012•黔西南州）
解答： 解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），
将点A（0，4）代入上式解得：a=，
即可得函数解析式为：y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣故抛物线的对称轴是：x=3；
（2）P点坐标为：（6，4），
由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3， 又∵点P的坐标中x＞5， ∴MP＞2，AP＞2；
∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意， ∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况， 在Rt△AOM中，AM=∵抛物线对称轴过点M，
∴在抛物线x＞5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，
=
=5，
x+4=（x﹣3）2﹣
，
.
即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；
故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立， 即P（6，4）；
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大． 设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣
t+4）（0＜t＜5），
过点N作NG∥y轴交AC于G，作AM⊥NG于M，
由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4； 把x=t代入y=﹣x+4，则可得G（t，﹣t+4）， 此时：NG=﹣x+4﹣（t2﹣∵AM+CE=CO，
∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AM×NG+NG×CE=NG•OC=（﹣t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+
，
，
t+4）=﹣t2+4t，
∴当t=时，△CAN面积的最大值为由t=，得：y=t2﹣∴N（，﹣3）．
t+4=﹣3，
5．（2013•新疆）
.
解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），
∴解得
，
，
所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；
（2）∵点A、B关于对称轴对称，
∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小， 设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0）， 则解得
， ，
所以，直线AC的解析式为y=x﹣1， ∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x=2， 当x=2时，y=2﹣1=1，
∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；
（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m， 联立
，
消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0， △=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0， 即m=﹣
时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积
=﹣，
最大，
此时x=，y=﹣
∴点E的坐标为（，﹣），
.
设过点E的直线与x轴交点为F，则F（∴AF=
﹣1=，
，0），
∵直线AC的解析式为y=x﹣1， ∴∠CAB=45°，
∴点F到AC的距离为AF•sin45°=×又∵AC=
∴△ACE的最大面积=×3
6．（2009•江津区）
解答： 解：（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代y=﹣x2+bx+c中得
（2分）
∴
（3分）
=3×
， =
，此时E点坐标为（，﹣）． =
，
∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；（4分）
（2）存在（5分）
理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=﹣1对称 ∴直线BC与x=﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小 ∵y=﹣x2﹣2x+3 ∴C的坐标为：（0，3）
直线BC解析式为：y=x+3（6分） Q点坐标即为
解得
∴Q（﹣1，2）；（7分）
（3）存在．（8分）
理由如下：设P点（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0） ∵S△BPC=S四边形BPCO﹣S△BOC=S四边形BPCO﹣ 若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大， ∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC（9分） =BE•PE+OE（PE+OC）
=（x+3）（﹣x2﹣2x+3）+（﹣x）（﹣x2﹣2x+3+3） =
当x=﹣时，S四边形BPCO最大值=
∴S△BPC最大=
（10分） 当x=﹣时，﹣x2﹣2x+3=
∴点P坐标为（﹣，）．（11分）
7．解
解：（1）根据题意得：
， 答：
解得：a=1，b=2，c=﹣3， ∴抛物线解析式为y=x2+2x﹣3． （2）令y=0，则x2+2x﹣3=0， 解得x=1或x=﹣3，
.
.
∴AB=4，
∵△PAB得面积为10，设P的纵坐标为h， ∴AB×|h|=10， ∴|h|=5，
∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）， ∴P的纵坐标不能为﹣5， ∴，h=5，
代入得5=x2+2x﹣3， 解得x=2，x=﹣4；
∴点P的坐标为（2，5），（﹣4，5）．
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