EEG信号构建的复杂网络同步稳定性分析

段之宇;胡强强;李文昊;李海芳

【摘 要】人脑是自然界最复杂的系统之一,脑网络作为复杂网络理论在神经科学中的重要应用,为脑疾病的病理机制提供了新的研究方向.同步性作为影响网络性能的指标,对于复杂网络有着重要影响.为了研究同步性在脑网络中的表现,利用EEG动力学方程对120例酗酒病人的EEG信号进行复杂网络模型构造,根据所构造的模型利用李雅普诺夫稳定性理论进行证明.并通过实验对正常人和酗酒者脑网络同步状态做出统计,给出了酗酒病人和正常人的脑网络同步差异,可以揭示酗酒疾病对于人脑在功能结构上的影响,对其他疾病提供研究思路.%The brain is one of nature's most complex systems. As an important application of complex network theory in neuroscience, brain networks provide a new research direction in brain disease pathological mechanism. Synchronization has been regarded as an indicator affecting network performance, it has great impact on complex networks. In order to obtain sufficient criterion for complex synchronization of human brain network, 120 cases of alcoholism patients'brain network model are constructed using EEG kinetic equation. Then the synchronization based on Lyapunov stability theory has been certified in accordance with the constructed mode. And by making experiments on normal subjects and alcoholics, brain network synchronization status is calculated. It gives the alcohol patients and normal subjects'synchronization status difference, which can reveal that how the alcohol abuse disorders impact on the functional structure of human brain and provide research ideas on other diseases.

【期刊名称】《计算机工程与应用》 【年(卷),期】2017(053)011 【总页数】5页(P56-60)

【关键词】同步性;脑网络;复杂网络;李雅普诺夫稳定性 【作 者】段之宇;胡强强;李文昊;李海芳

【作者单位】太原理工大学 计算机科学与技术学院,太原 030024;太原理工大学 计算机科学与技术学院,太原 030024;太原理工大学 计算机科学与技术学院,太原 030024;太原理工大学 计算机科学与技术学院,太原 030024 【正文语种】中 文 【中图分类】TP18;TP399

复杂网络的同步性近些年来逐渐成为热点问题：无论是因特网中节点路由器数据包的转发，还是公交网络中汽车路线的安排调度，甚至人体细胞网络中的细胞演化[1-3]，都受到各界学者的广泛关注。文献[4]利用滑模控制法研究了规则网络的混沌同步问题。文献[5]探讨了具有规则拓扑接口的细胞神经网络同步现象，并做出了相应的解释。文献[6]分析了振荡节点对复杂网络的内聚性影响，并给出了基于生物网络，计算机网络和社会经济网络上的实例。

脑网络是一种复杂网络，且具有无标度，小世界等一系列属性[7]，对于脑网络的研究，大多数研究团队侧重于在时间序列以及熵值检测上进行研究，目前的研究状态包括同步似然[8]，聚类[9]等一系列方法，然而这些方法比对的是时间序列或是电极间的差异，并没有对整体网络属性进行分析。

基于上述讨论，本文研究了具有随机节点分布的脑网络的同步问题。首先利用

EEG（Electroencephalograph）信号构造复杂脑网络模型，根据网络特征选取合适的指标列出复杂网络稳定方程，并且引入构造矩阵变量配合EEG动力学方程来表示每个脑区的耦合极子变化，然后利用李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论考量了方程的充分成立条件，并且通过在酗酒病人的脑网络中进行实验验证，给出了在脑网络上具有局部同步性的网络稳定充分判据。

基于复杂网络的功能脑网络构建主要包括两个方面：网络节点的定义和边的度量方法。首先选择64个头皮电极作为节点，电极的名称代表电极所在的位置和区域。在边的定义上，同步似然性（SL）可以度量两个时间序列的非线性关系，选择以同步似然值作为边的度量指标来构建脑网络，从基础上保证了构造出的网络在时间维度上的一致性，排除了因为时间序列的同步关系而引起并发的网络节点震荡因素。基于非线性同步性的度量指标——同步似然性，建立了EEG不同通道之间的同步性关联矩阵，对预处理后的头皮EEG数据源定位映射到大脑皮层并选取头皮电极作为节点，构建了EEG功能脑网络。参数选择如表1。

所使用的嗜酒成瘾数据集包含122名被试的实验数据，分别包含正常组被试45例，嗜酒成瘾者被试77例。选取国际标准的脑电记录64电极系统对应的脑区作为脑网络节点，取阈值0.5，同步似然值Pref=0.05，用同步似然性度量通道之间的关联性之后，将得到的关联矩阵转换为二值矩阵，构建了10例酗酒者和正常人的EEG功能脑网络。其中一名被试编号为co2a0000407的酗酒者脑网络如图1所示，其中L表示左半脑，R表示右半脑。

Kuramoto认为，一个具有有限个恒等振子的耦合系统，无论系统内部各振子间的耦合强度多么微弱，其动力学特性都可由一个简单的相位方程表示。脑网络符合复杂网络的特征，因此考察脑网络的同步稳定性也需要从动力学的相位方程入手。 2.1 复杂动力学的同步方程

设连续时间内耗散耦合动态网络中有n个节点，考虑时不变的复杂动力网络，其

中第i个节点的状态变量为：

这里是网络节点i的动力学方程，是网络节点j的状态变量。是网络的内部耦合矩阵是网络的耦合矩阵且行和为0，也是网络的耦合强度。假定为0或1，对时不变的网络方程（1）在同步解S(t)上做线性化，令δ为第i个节点状态向量的变分，则可以得到变分方程：

其中的雅可比矩阵在时的取值。判断同步流形稳定的一个常用判据是要求上述方程的横截lyapunov指数全为负值[10]。 2.2 脑网络同步方程

脑网络共有N条连接边，将这N条边抽象成网络中的N个节点，有相同脑区节点就构成了连边，也即组成了一个统一的网络系统。基于上述讨论和脑网络与复杂网络之间的关系，通过随机选取网络中的节点构造局部网络，列出了节点状态变量本文首次提出了脑网络同步性的方程，希望通过该公式描述脑网络的同步特征量，并考察局部脑节点之间是否具有上述同步性。

设集合S为全脑区节点，U、V为随机选取部分节点作为分解初始参考矩阵，经过显著性检验后验证假设是否成立。若成立，则做矩阵分解，其中，保证了网络中有价值的节点振荡信息。代入方程（1）构建一个由n个等同节点组成的一般复杂网络动力模型，脑网络状态方程描述如下：

其中，c是已构造的脑网络耦合强度，aij是构造矩阵关于S的雅可比矩阵，t是EEG信号采样时间，为EEG动力学方程组[11-12]，即 在方程（3）中对节点状态做变分得：

记和矩阵C分别是关于S的雅可比矩阵。写成矩阵方程则有：

其中，是第i个节点的状态变量，在脑网络中表示脑区节点的振动强度，一阶导数表示振动强度的变化率。

即是标准EEG动力学方程。矩阵是内耦合矩阵，在EEG信号构成的脑网络中表示

不同的脑区连接边经过相同节点的个数，对角线上的数表示矩阵所在的行或列元素的相反数。是网络耦合强度，如果节点i和节点j之间有连接，那么且矩阵C的对角元素定义为

建立全脑节点Si和分解矩阵UiVi之间的关系，其中λ1、λ2、λ3为分解系数： 利用块坐标下降算法（Block Coordinate Descent）合并上述项，将每个节点矩阵集合用表示，则得到下述关系：

其中Xi为代入方程的脑区网络，UV为该脑区网络的分解矩阵。 代入方程（3）得：

即所构建的脑网络。当全脑节点都考虑到时，Xi即为整体脑网络。此时

在复杂网络动力学方程中，由于考虑到外耦合矩阵为非对称矩阵时可能为复数的特征值，因此定义主稳定方程为而在脑网络上因为建立脑节点矩阵间的代数关系，从而成功消除了复变量，并且使得稳定状态的参数从一个变成两个。方程（11）作为脑网络上同步稳态方程的最终形态，构造它的lyapunov函数：

给定一个耦合强度，对于每一个固定的k(k=1, 2,…,N)在平面上可以对应地找到固定的一点λ，该点所对应的daij正负号反应了该特征模态的稳定（负时稳定，正时不稳定）。如果与λ对应的所有特征模态都稳定，那么就认为在该耦合强度下整个网络的同步流形是渐进稳定的，也即达到同步状态。

仿真实验采用酗酒病人的eeg数据，构造每个被试的脑网络S，然后求解EEG动力学方程，将式（1）转化为含有十个耦合方程的一阶非线性差分方程组，十个变量分别为选取上述十个变量的初始值（0.1，0.2，0.1，0.2，0.2，0.5， 0.1，0.7，0.1，0，1），其他参数计算得到将脑节点集合S做正交分解得到U、V。将方程（5）的李雅普诺夫函数用matlab分别进行两组模拟仿真。由于构建脑网络时采取随机的方式选择加入该网络的节点，因此符合随机节点分布的脑网络构造条件，并且不会对结果的不确定性造成影响[14]。第一组为正常人的脑网络李雅普诺夫指

数，第二组为酗酒者的脑网络李雅普诺夫指数。每次运算都从网络节点集合S中取一个加入，按照EEG酗酒公开数据集说明，每一次实验时间为3.906×80 ms，其中为该被试的脑网络耦合矩阵。，图2（a）为一名酗酒病人，图2（b）为一名正常人。

每张图的横坐标表示脑电数据采样时间，纵坐标表示网络在该时间点所对应的李雅普诺夫指数，因为正负号反应了该特征模态的稳定与否，所以只要该点指数值为正，即可判定此时的分解矩阵所对应的脑网络达到同步。随着脑区逐渐被添加到方程之中，矩阵的耦合程度越来越高，在给定的时滞性下，局部网络呈现出一种同步的状态。图2（a）中酗酒病人的脑网络同步振荡的持续时间会比图2（b）较长，李雅普诺夫指数变动的幅度也比较频繁。而常人的同步性具有很明显的间隔特征，同步的区域并不会一直保持同步，而是呈现有间隔的同步特性。对20例正常被试和酗酒被试脑网络达到同步的节点个数和首次同步持续时间进行统计分析如图3所示，酗酒者平均在7个节点的时候即可呈现出局部网络的同步特征，虽然同步较早，但持续时间较短，会更频繁地出现同步现象。正常人在14个节点左右才会有同步现象的产生。虽然同步开始时间比酗酒者晚，但一旦同步持续时间则会长于酗酒者。 本文利用EEG信号构建了一个复杂脑网络，并且在理论上给出了这个网络特有的同步稳态模型。利用李雅普诺夫稳定性定理求得网络达到同步时所必须具有的充分条件并且初步讨论了脑网络上的同步性所依赖的关系。并且利用矩阵变换的方法消除了复杂网络动力学方程中的复变量，建立只有实变量的复杂脑网络稳定方程，简化了模型的求解过程。仿真病例运算效果相对理想，较好地解释了达到同步时候的方程状态。实验分析表明该稳态模型的建立可以很好地验证分析网络同步性，对精神类疾病的致病机理研究具有广泛的应用价值。

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