贝叶斯统计-习题答案

解：令10.1,20.2

设A为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则

P(A1)C820.120.960.1488 P(A2)C820.220.860.2936 从而有

P(A|1)(1)0.14880.70.5418P(A|1)(1)P(A|2)(2)0.14880.70.29360.3(1|A)(2|A)or

P(A|2)(2)0.29360.30.4582P(A|1)(1)P(A|2)(2)0.14880.70.29360.3

(2|A)1(1|A)0.4582 解：令11,21.5

设X为一卷磁带上的缺陷数，则X:P()

P(X3)3e3!

R语言求：^(3)*exp()/gamma(4)

P(X3)P(X31)(1)P(X32)(2)0.0998 从而有

P(X31)(1)P(X3)P(X3)(1X3)(2X3)0.2457P(X32)(2)

0.7543 解：设A为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则

33P(A)C8(1)5

（1） 由题意知 ()1,01 从而有

(|A)P(A|)()10P(A|)()dC05C833(1)51383(1)5d3(1)5013(1)d3(1)50141(1)61d3(1)5B(4,6)

R语言求1：1/beta(4,6)504B(4,6)(|A)5043(1)5,01.（2）

3(|A)P(A|)()(1)52(1)1C831330P(A|)()d0C8(1)52(1)d33(1)6(1)63(1)6131)60(d141(1)71dB(4,7)

0R语言求1B(4,7)：1/beta(4,7)840(|A)8403(1)6,01. 解：（1）由已知可得

p(x111|)1,2x12,当x112时，p(x，111|)12122，即p(x1|)1，11.512.5

()110,1020,(|xp(x1|)()1/101)201,11.512.5.10p(x1|)()d12.5111.510d（2）由已知可得

p(x111,x2,x6|)1,2xi2,i1,2,6,当x112.0,x211.5,x311.7,x411.1,x511.4,x611.9时，p(x|)1，11111,x2,x62122，211.521111211.72,211.12,1211.412,1211.912,即p(x1,x2,x6|)1，11.511.6()110,1020,(|xp(x1,x2,x6|)()1/101,x2,x6)2010p(x1,x2,x6|)()d11.6110,11.510d

【原答案：由已知可得 P(x)1,0.5x0.5

()110,1020 m(vx)11.6111.510d0.01

从而有

(vx)P(vx)()m(vx)10,11.511.6 】 .511.6.

11 证明：设随机变量X:P()，的先验分布为Ga(,)，其中,为已知，则

np(x1,x2,xn|)i1exixi!xii1nenix!i1n,1()e,0,() (|x1,x2,xn)p(x1,x2,xn|)•()xi1(n)i1en(|x1,x2,xn)~Ga(xi,n)i1n即得证！【原答案： P(x)xex!,0

1e,0 ()()因此 (x)P(x)•()xe1ex1e(1) 所以 x:Ga(x,1)】 解：（1）由题意可知

np(x1,x2,xn|)i12xi2nxi12nni2,0xi1,i1,2,n,()1,01,(|x1,x2,xn)2np(x1,x2,xn|)()10p(x1,x2,xn|)()d

xi12nni12nxind1/(2n)1max{x1,xn}i12nmax{x1,xn}1/()d2n12n,max{x1,xn}1.【原答案：由题意可知 ()1,01 因此

m(x)12xx2•1d2(1x)

因此 (x)P(x)()x1,x1 2m(x)1x（实质是新解当n=1的情形）】

（2） 由题意可知

np(x1,x2,xn|)i12xi2nxi12nni2,0xi1,i1,2,n,()32,01,(|x1,x2,xn)2np(x1,x2,xn|)()10p(x1,x2,xn|)()d

xi12nni323d21/(2n-2)12nxin1max{x1,xn}i12nmax{x1,xn}1/(2n-2)d12n-2,max{x1,xn}1.【原答案：由题意可知 m(x)12x02•32d6x

P(x)()1,01】 因此 (x)m(x) 解：设A为100个产品中3个不合格，则

3P(A)C1003(1)97

由题意可知 ()(202)(1)199,01 (200)因此 (A)P(A)•()3(1)97(1)1994(1)296 由上可知(|A)~Be(5,297)

解：设X为某集团中人的高度，则X:N(,52)

X:N(,5p(x)2) 10(176.53)251e5

2(172.72)1由题意可知 ()e5.08

5.08又由于X是的充分统计量，从而有

(x)(x)p(x)•()

e(176.53)25v•e(172.72)25.08e(174.64)221.26

v因此 x:N(174.64,1.26)

证明：设:N(u,2),其中u,2为已知

又由于X是的充分统计量，从而有

(x)(x)p(x)•()

(x)12252v12125125xu(2 e25xu21v,因此 x:N(2512251)

e(u)2222512)2e

2又由于

125121 251所以 的后验标准差一定小于

5 解：设X为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则X:U(0,)

p(x1,x2,x3|)13,0xi,i1,2,3.当x15,x28,x38时，p(x1,x2,x3|)13，8.()1924,4,192p(x1,x2,x3|)()

(|x1,x2,x3)4p(x1,x2,x3|)()d192787d1/(7)6867,8.1d78【原答案：设X为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则X:U(0,)

p(x)1,0x

1v当8时，p(x)3

1921vm(x)d4381 8192vp(x)()3v从而有 (x), 计算错误】 vm(x)12871v 证明：由题意可知 p(x)n,0xi,i1,2,...,n

vv从而有 (x)(x)p(x)•()

00nn•1n1 1因此 的后验分布仍是Pareto分布。

解：由题意可知

133 162145 解：

（1）设的先验分布为Ga(,)，其中,为已知 由题意可知

p(x1,x2,xn|)p(xi|)ei1i1nnxienxii1n,xi0,i1,2,n.1 ()()e,0.(|x1,x2,xn)p(x1,x2,xn|)•()n1(

exi)i1n,0.所以Ga(,)是参数的共轭先验分布。

【原答案：设的先验分布为Ga(,)，其中,为已知 由题意可知

vp(x)p(xi)nei1nxii1n,xi0,i1,2,...,n

vv从而有 (x)p(x)•() eni1nxi•1en1(exi)i1n

nv因此 x:Ga(n,xi)

i1所以 Ga(,)是参数的共轭先验分布】 （3） 由题意可知

0.00020.0004 0.000122 解：设X:N(1,2)N(1,1)，则 22p(x1,2)12e2(x1)

2(xi1)2vp(x1,2)2ei1

n22n由题意可知 12:N(0,1) 2:Ga(,) 222(1)1122e从而有 1,2122()

i1nvv因此 1,2xp(x1,2)1,22n12(n1)122112exixi2i1n

证明：设的先验分布为，X:P()，则

P(x)xex!,0

p(x1,x2,xn|)p(xi|)i1nxii1nenix!i1n,

从而有

(|x1,x2,xn)p(x1,x2,xn|)•()i1en•() 令Txi，则 T~P(n),

i1nxinp(xi|)i1n(n)i1en(xi)!i1nnxin

(|xi)p(xi|)•()i1i1nnxii1nen•()n所以，(|xi)(|x1,x2,xn), 故xi是的充分统计量。

i1i1第二章 贝叶斯推断

解：由题意可知 1,01 设x1,x2,,xn 是从随机变量X中抽取的随机样本，则

p(x1,x2,xn|)p(xi|)(1)i1i1nnxi1(1)i1nxin

n从而有

(|x1,x2,xn)p(x1,x2,xn|)•() 所以

(1)i1nxinn,01n

(|x1,x2,xn)~Be(n1,xin1)i1

（1）由题意可知 n1,x13,

(|x1)~Be(2,3)ˆE22235

(2) 由题意可知 n3,x13,x22,x35

(|x1,x2,x3)~Be(4,8)41ˆE483

【原答案: 由题意可知 1,01

设x1,x2,

,xn 是从随机变量X中抽取的随机样本，则

xivnp(x)p(xi)(1)i1

ni1nxivvn从而有 xp(x)•(1)i1,01

nv所以 x:Be(n1,xi1)

i1n（1） 由题意可知 n=1,x=3

v x:Be(2,4)

ˆE21 243（2） 由题意可知 n3,x13,x22,x35

x:Be(4,11)

v44 ， 由于原题几何分布分布律出错，导致结果出错】 41115 解：设X为银行为顾客服务的时间，则 ˆEp(x)ex

p(x1,x2,xn|)p(xi|)exinei1i1nnxii1n

设的先验分布为Ga(,)，则

0.20.04 0.212由题意可知 x3.8

从而有

(|x1,x2,xn)p(x1,x2,xn|)•()

n e因此有

xii1n•1enxin1i1en1enx

(|x1,x2,xn)~Ga(n,nx)Ga(20.04,76.2)

所以有

20.04ˆEE(|x1,x2,xn)0.26

76.2nxn1enxdnx4.002 vˆE(1x)1•0nn1n 解：设X为磁带的缺陷数，则X:p()

p(x1,x2,x3|)p(xi|)i1i133exixi!xii13e3

ix!i1312由题意可知 e,0

2从而有

(|x1,x2,x3)p(x1,x2,x3|)•()当x12,x20,x36时，xii13e32e(|x1,x2,x3)10e4即：(|x1,x2,x3)~Ga(11,4),111111ˆE,Var(|x1,x2,x3)2.4416

解：设X为n个产品中不合格数，则X:bin(n,) 由题意可知 4(1)9,01 （1） 由题意可知X:bin(20,)

p(x)3(1)17

(x)p(x)•3(1)17•4(1)97(1)26

vvv因此 x:Be(8,27)

v又(x)76(1)26267(1)25@0

ˆ7 所以 MD33（2） 由题意可知X:bin(20,)且7(1)26

p(x)(1)20

(x)p(x)•7(1)26•(1)207(1)46

vvv因此 x:Be(8,47)

ˆ7,ˆ8 所以 MDE5355 解:设X2令0:N(,22)，则222

2n设:v2N(u,1)，则1，且x:N(u1,1)

4n

022x22u 其中 u122001

2110212

4v2ˆMSE(E)Var(x)10.1 n4 解：设X为1000名成年人中投赞成票的人数，则X:bin(1000,)

710710（1）由题意可知 p(710)C1000(1)290,01

a.710p(710)•A710(1)290•711(1)290

710:Be(712,291)

b.710p(710)•B710(1)290•3713(1)290

710:Be(714,291)

7120.7098

712291ˆE(710)7140.7104 b. E714291ˆE(710)（2）a.Ex（3）由题意可知p(x)C1000x(1)1000x,01

a.xp(x)•Ax(1)1000x•x1(1)1000x

x:Be(x2,1001x)

ˆE(x)x2 EA1003b.xp(x)•Bx(1)1000x•3x3(1)1000x

x:Be(x4,1001x)

x4 1005ˆEA-ˆEB=x2-x4=

10031005ˆEBE(x) 解：由题意可知 p(x)1,0x

1vp(x)n,0xi,i1,2,...,n

令1max0,x1,x2,...,xn，则

vvm(x)p(x)•d10 n(n)1vp(x)(n)1nv,1 从而有 xvm(x)n1n(n)v1ˆE(x)En1d11 n1(n1)1(n)1vE(x)2n12n1d1 n2(n2)111 n222(n1)(n2)1(n1)1vvvˆ)Var(xMSE()E(2x)E2(x)E 解：

xn1212(1)（1）由题意可知 p(x)xe e

2n21因此 xxe2nx所以 x:IGa(,)

22n2xn122(1)exn2(1)2e

x2（2）Var(x) 2nn12222x2 E(x)n12v1（3） 由题意可知 p(x)en2nxx:IGa(,)

22n22nx2 xn2(1)2enx2

ˆMDnxnx2 2 ˆ2E2nn1122

第三章 先验分布的确定

大学生中戴眼镜的比例是 （1）由题意可知

因此，该密度既不是位置密度也不是尺度密度。 （2）由题意可知

令 ，则

因此，该密度是尺度密度。 （3）由题意可知

令 ，则

因此，该密度是尺度密度。 解：（1）由题意可知 设

对上式分别求一阶导、二阶导得

（2）由题意可知

设X1,X2,...,Xn是来自X的简单随机样本，则

i1i1i1nnnnvxi2lxlnp(xi)lnCnxiln(nxi)ln(1)

i1X1,X2,...,Xn是来自X的简单随机样本，则

对上式分别求一阶导、二阶导得

（3）由题意可知 p(x)Cxxm1m(1)x

设X1,X2,...,Xn是来自X的简单随机样本，则

nnnvxilxlnp(xi)lnCxim1nmlnxiln(1)

i1i1i1对上式分别求一阶导、二阶导得

（4）由题意可知

设X1,X2,...,Xn是来自X的简单随机样本，则

nnnvlxlnp(xi)nlnnln1lnxixi

i1i1i1对上式分别关于求一阶导、二阶导得

(5) 由题意可知

设X1,X2,...,Xn是来自X的简单随机样本，则

nnnvlxlnp(xi)nlnnln1lnxixi

i1i1i1对上式分别关于求一阶导、二阶导得

（6）由题意可知

设X1,X2,...,Xn是来自X的简单随机样本，则

nnnvl,xlnp(xi)nlnnln1lnxixi

i1i1i1对上式分别关于求导得

v令,，则

证明：由题意可知 lixilnpixii

iiIi 由于各Xi独立，因此有

l(x1,x2,...,xk)lnpixiilnpixii

i1i1vkk由上式可得出

因此有 detIIi

i1vk所以

解: 由题意可知 0.012e因此有 所以有

解：由题意可知

0.01,0

所以有 h(x,)p(x) 进而有

第四章 决策者的收益、损失与效用

解：

令1:畅销，2:一般，3:滞销；a1:大批生产，a2:中批生产，a3:小批生产

a3a2a110050101（1）Q(,a)304092

60206360,j1minQ(,a)20,j2 ij（2）

i1,2,36,j3maxminQ(i,aj)6

j1,2,3i1,2,3因此，在悲观准则下，最优行动为

a3

100,j1maxQ(,a)50,j2 （3）iji1,2,310,j3maxmaxQ(i,aj)100

j1,2,3i1,2,3因此，在乐观准则下，最优行动为

a1

（4）H(a1)0.81000.2(60)68

H(a2)0.8500.2(20)36H(a3)0.8100.269.2

因此，在乐观系数为时，最优行动为

a1

35,j1（1）maxQ(i,aj)

i1,2,330,j2maxmaxQ(i,aj)35

j1,2i1,2,3因此，在乐观准则下，最优行动为a1

17,j1（2）minQ(i,aj)

13,j2i1,2,3maxminQ(i,aj)17

j1,2i1,2,3因此，在悲观准则下，最优行动为a1 （3）H(a1)0.7350.31729.6 H(a2)0.7300.31324.9 因此，在乐观系数为时，最优行动为a1 解：由题可知

Qa11000.6300.3(60)0.163 Qa2500.6400.3(20)0.140Qa3100.690.360.19.3因此，在先验期望准则下，最优行动为a1 解;(1)

¢:510

5a,a(2)Q(,a)

5a,aa12525Q25252525201262323 384303540454453035404550624303030232935352228344021273339a2a3a4a5a625,j124,j223,j3(3) minQ(i,aj)

22,j4i1,2,...,621,j520,j6maxminQ(i,aj)20

j1,2,...,6i1,2,...,6因此，在悲观准则下，最优行动为a6

(4) H(a1)2512525 H(a2)30124246 H(a3)351232312 H(a4)401222218 H(a5)451212124 H(a6)501202030

a1a2a3a401235012解：L10501151050201510525201510a5432105a65142 33241506La1EL(,a1)50.09100.15150.4200.2250.114.45 La2EL(,a2)10.0650.15100.4150.2200.19.81 同理可得

La35.71,La42.51,La51.71,La62.11 因此，在该先验分布之下a5为最优行动。

a3a2a10302560501150530102 解：L0183691803a3a2a1150501001解：Q1002002002

5010003250a,a解：（1）W,a

750500a,a250a,a（2）L,a

500a,a解：令1为010%时的状态，2为10%20%时的状态，3为20%时的状态，a1为第一种支付办法，a2为第二种支付办法，则

a2a1100401Q30402

50403因此有

Qa1EQ,a10100Be(2,4)d10%30Be(2,4)d20%50Be(2,4)d47.9

10%20%1Qa2EQ,a2040Be(2,4)d40

1所以该厂决策者应采取第一种支付办法。

0,6解：由题意知L,a1

530,6305,6 L,a2

0,61,010 1061101因此有 La1EL(,a1)0d530d4

01061061 La2EL(,a2)305d9

010 在先验期望损失最小的原则下最优行动为a1

2a22aEE2 L,aEa证明：LaE证明：设m是先验分布的中位数，a是任一不同于m的行动，且a>m,则

ma,mL(,m)L,a2(ma),ma

am,a其中ma时，2(ma)am

ma,m因此L(,m)L,a

am,m所以LmLaEL(,m)L,amaPmamPm0

a1a21 由题意可知 Q510

512（1）Qa1EQ,a15 Qa2EQ,a24.5 因此，期望收益决策为a1

a1a21（2）U210

212Ua1EU,a12 Ua2EU,a25.5 因此，期望效用决策为a2

a1a21（3）U1252

1272Ua1EU,a112 Ua2EU,a229.5 因此，新期望效用决策仍为a2

a2a11399400 解: 由题意可知 Q39902(1) Qa1EQ,a1399 Qa2EQ,a2399.2

因此，按直线效用曲线决策，他应该不参加保险。

a2a118.266598.28427 （2）U8.2665902Ua1EU,a18.26659 Ua2EU,a28.2677

因此，在该效用曲线下，不应该参加保险。

第五章 貝葉斯決策 解：由題意可知

設X為三件中的不合格品數，則X:b(3,) 從而有 p(x)C3xx1因此有 繼而有

3x,x0,1,2,3

所以

（2）由題意可知0,1,2,3,a1,a2

x 1(x) 0 1 2 3 a1 a1 a1 a1 a1 a1 a1 a2 a1 a1 a2 a1 a1 a2 a1 a1 a2 a1 a1 a1 a1 a1 a2 a2 a1 a2 a2 a1 a2 a2 a1 a1 a2 a2 a2 a2 a2 a2 a2 a1 a2 a2 a1 a2 a2 a1 a2 a2 a1 a2 a2 a2 a2 a2 a1 a1 a2 a1 a1 a2 a1 a2 a1 a2 2(x) 3(x) 4(x) 5(x) 6(x) 7(x) 8(x) 9(x) 10(x) 11(x) 12(x) 13(x) 14(x) 15(x) 16(x) (3)

0 令2.4125080，則0.06208@所以有

因此有

（4）由（3）的計算可知後驗風險最小的決策函數為

解：（1）令xd，則

對上式關於x求一階導得 l(x)cecxccecx1 若x0,c0，則l(x)0，因此l(x)l(0)0 若x0,c0，則l(x)0 若x0,c0，則l(x)0 若x0,c0，則l(x)0 （3）

對上式關於求一階導、二階導得

因此，

（4）由題意可知 因此有 所以 從而 證明：

對上式關於求一階導、二階導得

因此

由题意可知

因此有 所以

证明：由题意可知

因此 所以

解:由题意可知

因此

所以

解: 由题意可知

因此

由题意可知 1ex0

因此 xex1ex01exx0

x:Ga,xx0 解：由题意可知 因此

ˆ为后验分布的 分位数。 由定理可知 B1x1xpv解:由题意可知 p(x)222e2

p2121vvvv 2Ae

vv1vv1v1vvvvvx1xuA1uMW1M因此有 xe2 e2e2111vv其中 MA111xA1u，A11A

1vvvMxA(ux)

vvˆEx所以 M B1v1vuAu2解：由题意可知 p(x)Cnxx1 因此

nx

x:Bex,nx 由定理得 所以

解：由题意可知p(x)C5xx1 因此

5x

x:Bex1,14x 所以

（1） 由定理可知

ˆ为 Be1,14的中位数 （2） B（3） 由定理可知

ˆ为Be1,14的 分位数。 （4） 由定理可得 B解：（1）由题意可知

（2）

（3）Ra0xExL(,a0)0.10277

解：由题意可知 x:N(u1,1)，其中

1002EL(,)Ee解：（1）由题意可知

xx2900 

因此

先验EVPIEL(,a2)15

因此，在先验期望准则下最优行动为a2 （2）参照

（3）设X为两件中的不合格品数，则X:b2,

pxC2xx1因此 所以

2x,x0,1,2

因而有 Ra10E0L,a1250.722218.055 同理可得

因此 在后验风险准则下最优决策函数为

后验EVPIRa20m0Ra11m(1)Ra11m(2)13.85625 （4）EVSI=先验EVPI-后验EVPI1.14375

ENGS=EVSI-C=1.14375-0.2=0.94375

解：令a1:购买,a2:不购买,X:每棵桔子树的产量，则X:N,2 由题意可知 :N3.9,0.82

（1） 令Q,a1Q,a2，则04E3.9 由定理可知 公司不应该购买这片桔林的桔子。 （2）由题意可知

由定理可知 先验EVPIEL(,a2)1000000.8LND027168

v（3）由题可知 x:N(u1,1) 其中

由定理可知 后验EVPI1000000.1940.19313746.14 因此 EVSI=23421.86，ENGS=20921.86

a1为后验下的最优

（5） 由题意可知 ENGS=24135 =

解：由题意可知 m125m220,D01

（1）由定理可知 先验EVPI54LND01.6664 （2）由题意可知

由定理可知 先验EVPI530.04240.636 同理