例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧

将所得出的正函数平方，立方，……，n 次方，然后再使用均值不等式求解。 例1 已知0,，求函数 (94年全国数竞题)

解： 0, yy21cos(1cos)221cos(1cos)2ysin2(1cos) 的最大值。

=

1(22cos)(1cos)(1cos) 41(22cos)(1cos)(1cos)4393 =

1627

y43 当且仅当22cos1cos 即cos1时取

3到等号。

所以 y 的最大值为43

9例2 有一浮标由三部分组成，一个圆筒和两个相同的

圆锥，其中每一个圆锥的高等于圆筒的高，问当表面积一定时，什么形状会有最大体积？

（第一届普特南数竞题）

解：设圆筒的半径为 r, 高为 h，那么

S2rh2rh2r2S242r4即 h

4rS

252Vrhrhr2h332

5r(S242r4) 12S544V4()r(S242r4)4

12S利用五个正数的算术平均数不小于它们的

几何平均数即可求得最大体积。

当且仅当16等号。

2r4S242r4，

即r4S2202时取到

此时进一步有 二、 引参后使用均值不等式

h22 r5 。

有些和（积）不为常数的函数求最值时，可通过引入参数后，再使用均值不等式求解。

1例3 求函数 ysinxcosx 的

sin2xcos2x22最小值。

解：引入待定参数、，且+4，则有

sin22x4sin22xy2244sin2xsin2xsin22xsin22x224sin2xsin2x224sin22x

sin22x2sin2x1时 当且仅当 且 4sin22x115取到等号，此时

4 ，42sin2x1时，y有最小值为17 所以当

432yx3x2x1在区间例4 求函数（0,1）

上的最大值和取到最大值时的x的值。(第十二届希望杯竞赛题)

解： yx33x22x1x(2x)(1x)1 x(0,1)

引入两个正实数,后利用均值不等式

y1x(2x)(x)1

1x(2x)(x)3 31

x2xx

当且仅当 10 且

取到等号。

此时

x133时

23，

31 ，

0,1

所以当x1123933时，y有最大值为

三、连续使用均值不等式

有些函数在求最值时，需要几次使用均值不

等式进行放缩才能达到目的。放缩时要保证几个等号能同时成立。

例5 在三棱锥一个顶点处的三个面角都是直角，

求它的外接圆半径和内切圆半径R:r的最小值 （86年江苏竞赛题）

解：设直角顶点处三条棱长分别为x,y,z 那么由立体几何知识易知：

1222Rxyz

2rxyzxyyzzxx2y2y2z2z2x2 以

所

Rr

3x2y2z2(xyyzzxx2y2y2z2z2x2)2xyzx2y2z22xyz(3x2y2z233x4y4z4) =

33333xyz3xyz =

2xyz2当且仅当xyz时取到等号，所以R:r的最

333小值为

2例

6 设

a,b,cR，且

abc1，试求

35届

111的最小值。 （第a3(bc)b3(ca)c3(ab)IMO试题改编） 解： 

b2c2abacbc abac41abac = 34a(bc)

1bcbac2abcbaca 34bcba4b(ca)1cacb4c3(ab) =

3a2b2cacbab cacb4 三式相加得：

1(abbcca) 2111 33a(bc)b(ca)c(ab)133abbcca2 = 3

2 当且仅当abc时取到等号， 所以 y 的最大值为3

2