2020届北京海淀区一零一中学上学期高三开学考数学试题(解析版)

一、单选题

x2 1．已知全集UR，集合Ax|21，By|yx1，则AIðUB（ ）

A．{x|x≤0} 【答案】D

B．{x|x≥0} C．{x|x<1} D．{x|0≤x<1}

【解析】先计算出集合A,B,ðUB的结果，然后根据交集的概念即可计算出AðUB的结果. 【详解】

因为2x1，所以x0，所以Ax|x0，

2又因为yx11，所以By|y1，所以ðUBy|y1，

所以AIðUBx|0x1. 故选：D. 【点睛】

本题考查集合的交集、补集混合运算，中间涉及到解指数不等式以及函数值域问题，难度较易.

2．设i是虚数单位，则复数i2A．5 【答案】A

【解析】根据i的性质以及复数的除法运算将i可计算出复数的模. 【详解】

22的模为（ ） 1iC．23 D．25 B．22

2的表示为abi的形式，然后即1i21i2111i2i， 因为i1i1i1i22所以i25. 1i故选：A. 【点睛】

本题考查复数的除法运算以及复数的模，难度较易.复数进行除法计算时，可依据分母

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实数化的方法完成求解；已知zabi，则z3．下列函数中为偶函数的是（ ） A．fxlna2b2.

x1 x1xB．fx1cosx D．fxlnx

C．fx2 【答案】B

【解析】先判断函数的定义域，然后再根据fx,fx之间的关系确定出函数的奇偶性. 【详解】

x1x1 0，所以定义域为,1U1,关于原点对称，中

x1x1x1x1x1lnlnfx，所以是奇函数； 又因为fxlnx1x1x1A．因为fxlnB．因为ycosx是偶函数，所以fx1cosx也是偶函数；

C．因为fx2的定义域为R，fx2fxfx，所以fx是

xx非奇非偶函数；

D．因为fxlnx定义域为0,，不关于原点对称，所以fx是非奇非偶函数. 故选：B. 【点睛】

本题考查函数奇偶性的判断，难度较易.判断一个函数的奇偶性，首先观察定义域是否关于原点对称，其次才是讨论fx,fx的关系.

4．已知a、b都是单位向量，则“1”是“(ab)⊥ (ab)”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】A

【解析】根据“1”与“(ab)⊥ (ab)”的互相推出情况判断出对应的是何种条件即可. 【详解】

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr2当1时，abab1ab0，所以abab，所

以充分性满足，

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rrrrrrrrrr2当abab时，abab1ab0，所以210或

rrab，所以必要性不满足，

所以是充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】

本题考查充分、必要条件的判断，难度较易.考虑p是q的何种条件时，要从两方面分析：充分性、必要性，同时注意是由小范围推出大范围.

5．如图，表n是(2n﹣1)×(2n﹣1)的方阵，最外层数字是n﹣1，由外而内每层数字递减1，最中心数字为0.表1的各数之和为0，表2的各数之和为8，表3的各数之和为40，则表6的各数之和为（ ）

A．420 【答案】B

B．440 C．460 D．480

【解析】分析表的结构：由表1开始，每增加一层，表中数据增加的个数为8，16，32，

......，由此即可计算出表6中的各数之和.

【详解】

因为每增加一层，表中数据增加的个数为：8，16，32，......，

所以表6中数据之和为：018228338448558

81222324252855440.

故选：B. 【点睛】

本题考查数与式中的归纳推理，难度一般.处理数与式中的归纳推理，关键是要能找到数或式子的特点，这对分析和归纳问题的能力要求很高. 6．狄利克雷函数为F(x)1，x为有理数时，xR.有下列四个命题：①此函数为

0，x为无理数时，偶函数，且有无数条对称轴；②此函数的值域是0,1；③此函数为周期函数，但没有

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最小正周期；④存在三点Aa,Fa,Bb,Fb,Cc,Fc，使得△ABC是等腰直角三角形，以上命题正确的是（ ） A．①② 【答案】B

【解析】①根据奇偶性定义和对称轴对应的表达式进行判断；②根据Fx的取值得到值域；③根据周期性的定义进行分析；④先假设存在，然后推理证明是否存在. 【详解】

①Fx的定义域为R关于原点对称，当x为有理数时，FxFx1，当x为无理数时，FxFx0，

所以FxFx恒成立，所以Fx是偶函数，

取非零有理数a，当x为有理数时，FaxFax，当x为无理数时，

B．①③

C．③④

D．②④

FaxFax，

所以FaxFax恒成立，a有无数种可能，所以Fx有无数条对称轴； ②因为Fx的取值只有0,1，所以Fx的值域为0,1；

③取有理数aa0，当x为有理数时，FxFxa1，当x为无理数时，

FxFxa0，

所以FxFxa恒成立，a有无数种可能，所以Fx是周期函数且无最小正周期；

④设存在Aa,Fa,Bb,Fb,Cc,Fc满足条件，

根据函数值域可知，a,b,c的可能组合为：两个有理数一个无理数、两个无理数一个有理数，

(1)不妨设a,b为有理数，c为无理数，因为VABC为等腰直角三角形，所以AB只能为VABC的斜边， 所以cab，所以c为有理数，与假设矛盾，故不成立； 2(2)不妨设a,b为无理数，c为有理数，因为VABC为等腰直角三角形，所以AB只能为VABC的斜边，

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所以cab，所以c为无理数，与假设矛盾，故不成立， 2综上可知：不存在三点使得VABC为等腰直角三角形. 故选：B. 【点睛】

本题考查函数的性质的综合应用，难度较难.处理新函数的性质问题，可从函数各个性质的定义入手解决问题；常见的函数对称轴对应的形式faxfax，周期函数对应的形式fxTfxT0. 7．已知y=f(x+2)是奇函数，若函数g(x)=f(x)xk，则x1+x2+…+xk=（ ） A．0 【答案】C

【解析】根据fx与y应的零点之和. 【详解】

因为yfx2是奇函数，所以fx关于点2,0成中心对称，

B．k

C．2k

D．4k

sin1x2，…，有k个不同的零点，记为x1，

x2sin1的对称性，判断出gx的对称性，由此即可计算出对x2sin1也是关于点2,0成中心对称， x2sin1sin1所以gxfx的零点即为函数fx与y交点的横坐标，且交点关

x2x2又因为函数y于点2,0成中心对称， 所以x1x2...xk故选：C. 【点睛】

本题考查函数对称性的应用，难度一般.(1)已知函数yfxa是奇函数

k42k. 2yfx关于点a,0成中心对称；(2)已知函数yfxa是偶函数yfx关于直线xa 对称.

8．所谓声强，是指声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度，用I表示，人类能听到的声强范围很广，其中能听见的1000Hz声音的声强（约10﹣12W/m2）为标准声强，记作I0，声强I与标准声强I0之比的常用对数称作声强的声强级，记作L，即

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IL=lg，声强级L的单位名称为贝（尔），符号为B，取贝（尔）的十分之一作为响度

I0的常用单位，称为分贝（尔）.简称分贝（dB）.《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事，设张飞大喝一声的响度为140dB.一个士兵大喝一声的响度为90dB，如果一群士兵同时大喝一声相当一张飞大喝一声的响度，那么这群土兵的人数为（ ） A．1万 【答案】D

【解析】根据题意以及条件列出关于张飞、士兵的声强的方程，求解出张飞、士兵的声强，根据声强之比确定出这群士兵的人数. 【详解】

设张飞的声强为I1，一个士兵的声强为I2，根据题意可知：

B．2万

C．5万

D．10万

14010lgI1I2,9010lg， 1012101223I1105， 所以I110，I210，所以I2所以这群士兵的人数为10万. 故选：D. 【点睛】

本题考查对数函数模型以及对数的计算，难度一般.能根据函数模型求解出声强的比是解答本题的关键.

二、填空题

F分别是边AB，BC的中点，9．∠B=60°已知菱形ABCD的边长为1，，点E，则AFDE的值为_____.

uuuruuur3 8uuuruuuruuuruuur【解析】将AF,DE表示为xADyAB，然后利用向量的数量积计算公式即可求解出

【答案】

uuuruuurAFDE的值.

【详解】

uuuruuuruuuruuur1uuuruuuruuuruuuruuur1uuur因为DEDAAEADAB，AFABBFABAD，且

22BAD18060120，

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uuuruuuruuur1uuuruuur1uuurr23uuuruuur1uuur21uuu所以AFDEADABABADADABADAB

222423311cos120.

483故答案为：.

8【点睛】

本题考查向量的线性运算在几何中的运用以及向量的数量积运算，对于分析与转化计算的能力要求较高，难度较易.

10．知函数y=Asin (ωx+φ)+B(A>0，ω>0，|φ|_____.

)的部分图象如图所示，则φ的值为2

【答案】 6【解析】根据图象直接分析出A,B,的值，再根据图象的最高点以及的取值范围即可计算出的值. 【详解】 因为AT4224243,B1，2， 233222211，所以y3sinx1， T422所以代入点422,2，则3sin12，所以sin1， 33322k,kZ所以，,，

3222所以6.

故答案为：【点睛】

. 6第 7 页 共 16 页

本题考查根据三角函数的图象求解析式中的量，难度一般.对于

f(x)=Asin(ωx+φ)+B的图象，若函数最大值为M，最小值为N，则有

MNMN. ,B22 11．关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则a的取值范围是__________．A【答案】(—4，0).

【解析】试题分析：，因为关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，所以

有三个不同的实数解，，则

；令

，则

，

；，所以

【考点】三次函数的零点问题.

.

，令

ex，x012．已知函数fx1，则直线y=x+1与曲线yfx的交点个数为

ln，x0x_____；若关于x的方程fx_____.

【答案】一个 1,0

【解析】（1）作出fx,yx1的图象，根据图象的交点个数即可得到答案； （2）考虑fx的图象与y【详解】

（1）函数图象如图所示：（注意：x=0取不到）

1xa0有三个不等实根，则实数a的取值范围是e1xa的图象有三个交点时对应的a的取值范围. e

x又因为ye在x0处的切线为yexe，即为yx1，

00所以交点个数为1个；

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（2）关于x的方程fx11xa0有三个不等实根⇔fx的图象与yxaee的图象有三个交点. 如图所示：

当y所以11xa与yln相切时，设切点为x0,lnx0， ex11，所以x0e，所以1ealne，所以a0，此时共两个交点， x0ee1将y图象下移时只有有一个交点；

e1将y图象上移时，有三个交点；

e1直到当a1时，y的图象与fx的图象刚好两个交点，

e1当y图象上移时只有2个交点，

e故当1a0时，fx的图象与y故答案为：一个；1,0. 【点睛】

1xa的图象有三个交点. e本题考查函数与方程的综合应用，着重考查了数形结合思想的运用，难度较难.注意

hxfxgx的零点个数方程fxgx的根的数目fx,gx图

象的交点个数.

三、解答题

13．已知数列{an}是单调递减的等比数列，前n项和为Sn，S2=3，a3比q=_____. 【答案】

1，则{an}的公41 3【解析】先根据已知条件计算出等比数列的公比的可取值，再根据数列的单调性确定出公比的值. 【详解】

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因为S2a1a2a3a313，， a23qq4所以

11113q，所以或， 4q24q43又因为an是递减数列，所以q故答案为：【点睛】

1. 31. 3本题考查等比数列的基本量的计算，着重考查了等比数列的单调性的分析，难度较易.分析等比数列的单调性，可从首项和公比的角度入手.

x222x5，x014．已知函数f(x)=|lgx|，若f(a)=f(b)(a≠b)，则函数gxax22b的最

，x0x小值为_____. 【答案】22

【解析】根据条件先得到a,b之间的关系，再分别判断gx在两段区间上的最小值，最后取其中的较小值作为gx的最小值. 【详解】

因为lgalgb，所以不妨令ab，则有lgalgb， 所以ab1，b10a1， ax223，x0gx所以，

2ax，x0ax当x0时，gxx2当x0时，gxax233，取等号时x2，

222， 2ax22，取等号时xaxaxa综上可知：gxmin22. 故答案为：22. 【点睛】

本题考查函数与方程以及分段函数的最值，对于转化与计算的能力要求较高，难度一般.

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注意将含绝对值的对数值转化为自变量之间的关系.

15．以数列an的任意相邻两项为坐标的点Pnan,an1，均在一次函数y=2x+k的图象上，数列bn满足bnan1an，且b10.

（1）求证数列bn为等比数列，并求出数列bn的公比；

（2）设数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若S6=T4，S5=﹣9，求k的值. 【答案】（1）证明见解析，2；（2）8.

【解析】(1)将点代入直线方程即可得到an的递推公式，再根据bnan1an即可得到bn1,bn的关系，即可证明bn为等比数列并求解通项公式；

(2)先根据条件求解出Sn,Tn的表达式，再根据已知条件即可计算出k的值. 【详解】

（1）证明：根据题目条件，可知an+1=2an+k， 整理可得an+1+k=2（an+k）； ∵bn=an+1﹣an=an+k；

∴有bn+1=2bn，即数列{bn}是首项为a1+k，公比为2的等比数列. （2）解：数列{bn}的前n项和Tna1k12n122n1a1k；

∴数列{an}的前n项和SnTnnk21a1knk；

n∵S6=T4，S5=﹣9；

261a1k6k241a1ka17∴可列方程组，解得；

5k821a1k5k9∴k=8. 【点睛】

本题考查等比数列的证明以及数列求和的应用，难度一般.等差、等比数列的证明可根据定义完成；形如an1panqp0,p1,q0的递推公式，可变形为形如

an1qp1qpan的递推公式.

p1216．已知函数fx3sinx2sinx. 2（1）求函数fx的最小正周期和单调递增区间；

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（2）求函数fx在0,2内的所有零点.

22,2k,kZ；【答案】（1）2，2k（2）0，，2.

333【解析】(1)利用降幂公式以及辅助角公式将fx变形为Asinx，再根据最小正周期和单调增区间的求解公式完成求解；

(2)令fx0，求解出0,2内满足条件的x即可. 【详解】

（1）fx3sinx2sin2x3sinx1cosx2sinx1. 26T22， 1由2k2x62k2,kZ.

解得：2k2x2k,kZ. 332,2k,kZ. 33∴函数fx单调递增区间为：2k（2）令2sinx∴x110sinx，即. 662,kZ或x62k662k可得：函数fx在0,2内的所有零点为：0，【点睛】

5,kZ. 623，2.

本题考查三角函数的性质与三角恒等变换的综合应用，难度较易.求解函数

fxAsinx的单调区间，可根据ysinx的单调区间，采用整体替换的方

法求解出x中的x范围即为fxAsinx的单调区间.

17．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，1cosAB2cosC.

2（1）若2a3c，求sinA的值；

（2）求sin2Asin2B的取值范围. 【答案】（1）

333；（2）,. 442第 12 页 共 16 页

【解析】(1)先根据条件计算出C的值，然后利用正弦定理即可求解出sinA的值； (2)利用降幂公式以及辅助角公式化简sin2Asin2B，将其化简为Acosxb的形式，然后根据角度计算出取值范围即可. 【详解】

（1）∵1cosAB2cosC，

2∴1cosC2cos2C，解得cosC1或∵C0,， ∴cosC∵2a1， 21，可得C， 233c，

∴由正弦定理可得2sinA3sinC3（2）∵C233，解得sinA；

4232，ABC，

∴sinAsinB1cos2A1cos2B11cos2Acos2B 2221113121cos2Acos2A1cos2Asin2A1cos2A2222233， ∵A0,2352A,，可得33321cos2A，1,，

32∴sinAsinB1【点睛】

2133cos2A,. 2342本题考查解三角形与三角恒等变换的综合运用，着重考查转化与计算能力，难度一般.(1)(2)解三角形时注意对于隐含条正弦定理的运用，一定要注意是在满足齐次的条件之下；件的使用：ABC.

18．已知函数fxaxlnx其中a为常数，设e为自然对数的底数. （1）当a1时，求fx过切点为1,fx的切线方程； （2）若fx在区间1,e上的最大值为3，求a的值； （3）若不等式fxx恒成立，求a的取值范围.

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【答案】（1）y1；（2）e2；（3）a1.

【解析】(1)利用导数的几何意义求解出切线斜率即可求解出对应切线方程； (2)根据a的范围分析函数的单调性，确定出最值即可求解出a的值；

(3)采用分离参数的方法，构造新函数，根据新函数的最值即可求解出a的取值范围. 【详解】

（1）当a1时，fxxlnx， 则fx11e1， x所以k切f10， 切点1,f1，即1,1，

所以切线方程为y10x1，即y1. （2）f'xa1ax1， xx当a0时，fx0，fx在1,e上单调递增，fxfeae1，无最大值.

当a0时，在0,1上fx0，fx单调递增， a1在,上fx0，fx单调递增， a若函数在1,e上取得最大值3，则1则ae2.

（3）不等式fxx恒成立，则axlnxx恒成立，

1e，且a1f3， alnx， xlnx令gx1，（x0）

x1lnxg'x， 2xa1在0,e上，gx0，gx单调递减， 在e,上，gx0，gx单调递增，

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所以gxminge1所以a1. 【点睛】

1， e1e本题考查导数与函数的综合应用，难度一般.(1)含参函数在区间上的最值分析，注意根据参数的范围进行分类讨论；(2)已知不等式恒成立，求解参数范围的两种方法：分类讨论法、参变分离法.

4x2719．已知函数f(x),x[0,1]

2x（1）求f(x)的单调区间和值域；

(2) 设a1，函数g(x)x3ax2a，x[0,1]，若对于任意x1[0,1]，总存在

22x0[0,1]，使得g(x0)f(x1)成立，求a的取值．

【答案】(1) 增区间为(,1)，减区间为(0,)，值域为[4,3]；(2) [1,] 【解析】【详解】

1212324x216x7(2x1)(2x7) （1）对函数f(x)求导，得f'(x)22(2x)(2x)71(x)、f(x)的变化情况如下表： 或x2，当x变化时，f¢（表略）

2211所以，当x(0,)时，f(x)是减函数；当x(,1)时，f(x)是增函数；

22(x)=0解得x1令f¢

当x[0,1]时，f(x)的值域为【-4,-3】

22（2）对函数g(x)求导，得g'(x)3(xa)

22因此a1，当x[0,1]时，g'(x)3(1a)0

因此当x[0,1]时，g(x)为减函数，从而当x[0,1]时有g(x)[g(1),g(0)] 又g(1)12a3a,g(0)2a，即当x[0,1]时有g(x)[12a3a,2a] 任给x[0,1]，f(x1)[4,3]，存在x[0,1]使得f(x1)g(x0)，则

2212a3a24[4,3][12a3a,2a]，即{

2a32解(1)式得a1或a 解(2)式得a533 2第 15 页 共 16 页

又a1，故：a的取值范围为

3a1 220．设S为有限集合，A1，A2，…，A2019为S的子集，X表示集合X中元素的个数，已知对于每个正整数i1i2019，都有Ai1S. 5（1）记Sm为元素个数为m的集合，当m3时，求集合Sm的所有子集的个数； （2）若一定有集合S中的某个元素在至少k个集合Ai中出现，则k最大值是多少？并加以证明.

【答案】（1）8；（2）404，证明见解析.

【解析】(1)根据集合中的元素个数即可计算出集合的子集个数； (2)先假设元素在集合中的出现的次数之间的不等关系，然后根据Ai素出现次数满足的不等式，即可求解出k的最大值. 【详解】

（1）S33 有3个元素，所以有238个子集；

（2）不妨设S1,2,3,...,n，而i在集合A1，A2，…，A2019中出现了ai次，并且

1S即可得到元5a1a2...an.

因为nana1a2...anA1A2...A20192019n，所以整数an的最小值为5404，所以kmax404.

1，A405A406...A8082， 令n5，A1A2...A404A809A810...A12123，A1213A1214...A16164， A1617A1618...A20195，则k404.

综上，k的最大值为404. 【点睛】

本题考查集合的子集个数以及集合中的元素个数的判断，主要考查分析与推理的能力，难度较难.一个含n个元素的集合，其子集个数为2n.

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