《通信工程》学习资料

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2012年2月

带通信号的数字传输

摘 要

远程数字传输通常需要用连续波调制来产生一个带通信号以适应不同的传输介质，例如无线电波、电缆、电话线（用于个人电脑的因特网连接）或者其它媒介。正如模拟信号有多种调制方式一样，数字信息也可以被多种方式添加到载波上。本课程将把基带数字传输和连续波调制的概念应用到带通数字信号传输的研究中去。

课程首先研究二元和多元信号的连续波数字调制波形和频谱分析。然后重点研究含噪条件下的二元信号解调，并从中得出相干（同步）检波和非相干（包络）检波的区别。最后，课程进一步研究多元正交载波系统和多元恒定包络FSK系统。在综合考虑频谱效率、硬件复杂度和系统性能等因素，对比了有噪声条件下各种调制方式。

本课程具有内容详实，讲述由浅入深，简明透彻，概念清楚，重点较为突出等特点。为了更好地掌握本课程，读者需要高等数学，信号与系统及随机信号分析等相关课程的基础，讲解过程中涉及到的相关内容请查阅相关课程的参考书。通过本课程的学习，能够使读者理解二元及多元数字调制信号的基带脉冲波形及功率谱的数学表达式，熟悉相关发射机/接收机的原理框图，计算二元和多元调制系统的错误概率，最终达到掌握数字调制技术的目的。

- I -

目 录

摘 要 ..................................................................................................................... I 第1章 连续波数字调制 ....................................................................................... 1 1.1 带通数字信号的频谱分析 .......................................................................... 2 1.2 幅度调制 ...................................................................................................... 3 1.3 相位调制 ...................................................................................................... 7 1.4 频率调制 ...................................................................................................... 9 1.5 最小键控（MSK）和高斯滤波最小键控................................................ 14 第2章 相干二元系统 ......................................................................................... 19 2.1 最佳二元检测 ............................................................................................ 19 2.2 相干OOK、BPSK和FSK ....................................................................... 25 2.3 时间和同步 ................................................................................................ 28 2.4 干扰 ............................................................................................................ 30 第3章 非相干二元系统 ..................................................................................... 32 3.1 含带通噪声的正弦曲线包络 .................................................................... 32 3.2 非相干OOK .............................................................................................. 35 3.3 非相干FSK ................................................................................................ 38 3.4 差分相干PSK ............................................................................................ 40 第4章 正交载波与M元信号 ............................................................................ 45 4.1 正交载波信号 ............................................................................................ 45 4.2 M元PSK信号 .......................................................................................... 48 4.3 M元QAM信号 ........................................................................................ 53 4.4 M元FSK信号 .......................................................................................... 57 4.5 数字调制系统的比较 ................................................................................ 59 结论 ....................................................................................................................... 64 参考文献 ............................................................................................................... 65

- II -

第1章 连续波数字调制

数字信号能够调制正弦载波的幅度、频率或相位。如果调制波形包含不归零矩形脉冲信号，那么调制参数将被改变，或从一个离散值被键控到另一个。图1-1描述了二元幅移键控（ASK）、频移键控（FSK）和相移键控（PSK）。同时作为对比，图中画出了经过基带奈奎斯特（Nyquist）脉冲成形的双边带（DSB）调制信号波形。而其它调制技术则结合了幅度调制和相位调制，它们有的使用了基带脉冲成形，有的则没有使用。

本章将以数学模型和/或发射机简图的形式来定义数字调制的具体类型。同时，本节将考察几种调制方式的功率谱，并对特定的数字信号速率所需的传输带宽进行估计。为此，首先介绍一种带通数字信号的频谱分析方法。

图1-1 二元调制波形：(a)ASK；(b)FSK；(c)PSK；(d)基带脉冲成形后的DSB

- 1 -

1.1 带通数字信号的频谱分析

任何已调制的带通信号可以表示成如下正交载波的形式

xctAcxit cos ctxqt sin ct

(1-1)

其中，载波频率fc、振幅Ac和相位都是常量，调制信息包含在随时间变化的i（同向）分量和q（正交）分量中。当i分量和q分量均为统计独立信号且至少其中的一个具有零均值时，xct的频谱分析就变得相对简单。那么由叠加关系和调制关系可知，xct的功率谱为

Ac2GiffcGiffcGqffcGqffcGcf 4其中，Gif和Gqf分别为i分量和q分量的功率谱。为了得到一个更加简洁的表达式，定义等效低通频谱 从而有

Ac2GcfGpffcGpffc 4GpfGifGqf

(1-2)

(1-3)

因此，带通信号频谱可以由等效低通频谱通过简单的频谱转换得到。 假设i分量是一个多元数字信号，即

xitak ptkD

k(1-4a)

其中，ak表示码率为r1D的信源数字序列。假设信源码字都是等概、统计独立和非相关的。因此，即可得到

- 2 -

GifrPfma r2a22nPnrfnr

2(1-4b)

当q分量为另一个数字波形时，也可以得到相似的表达式。

如果有基带滤波的话，公式(1-4a)中的冲击函数的波形pt由基带滤波决定，并且还要看具体的调制方式。键控调制包含非归零矩形脉冲，使用在

tkD时刻开始的脉冲比使用中间时刻在tkD的脉冲更加方便。因此令

pDt上式经傅里叶变换得到

10tD ututD0其它(1-5a)

PDfD2 sinc2 fD212f sinc2rr(1-5b)

如果在公式(1-4a)中有ptpDt成立，那么公式(1-4b)中的连续谱项就正比于PDf。既然sinc2fr是非带限的，由公式(1-2)和公式(1-3)可知键控调制需要满足fcr，这样才能产生一个带通信号。

21.2 幅度调制

如图1-1a所示的二元ASK波形可以简单地由控制载波的开与关而产生，这个过程被描述为开关键控（OOK）。一般地，一个M元ASK波形有M1个离散“开”状态或者M1个“关”状态。由于没有相位翻转或者其它变化，可以令xct的q分量为零且令i分量为单极性非归零信号，即

xitakpDtkD ak0,1,k, M1 (1-6a)

数字序列的均值和方差为

- 3 -

M1M21222maak aakma

212(1-6b)

因此，等效低通频谱为

M21fM1GpfGifsinc2 f 12 rr42(1-7)

上式可由公式(1-2)、公式(1-4b)和公式(1-5b)得到。

图1-2表示当f0时带通谱Gcf的情况。大部分信号功率包含在

fcr/2的范围内，且频谱有一个正比于 ffc2的二阶滚降偏离载频。这就

意味着传输带宽BTr。如果一个M元ASK信号表示为比特速率是

rbr log2M的二元数据，那么就有BT rblog2M或下式成立

rb/BTlog2 M bps/Hz

(1-8)

比特速率和传输带宽的比值可以被认为是调制“速度”或者频谱效率的度量。当M2时，由于rb/BT1bps/Hz，二元OOK具有最差的频谱效率。

借鉴正交载波复用的原理，正交载波幅度调制（QAM）的调制速度是二元ASK的两倍。图1-3a描述了输入码率为rb的二元极性码的二元QAM发射机的功能模块。串并转换器将输入轮流分配给两路码率为rrb/2的码流。因此，

i分量和q分量调制信号可以表示为

xita2k pDtkD xqta2k1 pDtkD

kk- 4 -

图1-2 ASK的功率谱

图1-3 二元QAM：(a)发射机；(b)信号星座图

其中D1/r2Tb且ak1。在任意区间kDtk1D内，调制波形的峰值为xixq1。在图1-3b中将这些信息表示为二维信号星座图。四个信号点被标记为信源比特的对应对，称为双比特。

将已调载波相加最终得到具有公式(1-1)形式的QAM信号。i分量和q分

21。因此 量相互独立，且具有相同的脉冲波形和统计值，即ma0且a

Gpf2rPDf242 f sinc2 rbrb(1-9)

这里利用了公式(1-4b)和公式(1-5b)并代入了rrb/2。由于双比特的码率等

- 5 -

于输入比特速率的一半，传输带宽减少为BTrb/2，因此二元QAM能够达到

rb/BT2bps/Hz。

然而， ASK和QAM的实际频谱超出了估计的传输带宽。当频谱溢出对其它信号通道造成干扰时，溢出带宽BT的频谱在广播传输和频分复用系统中变成了一个重要的关注点。调制器带通滤波能够控制溢出，但是，由于过度滤波会在已调信号中引入码间干扰（ISI），因此应该尽量避免过度滤波。

无溢出的频谱效率可以通过如图1-4a所示的余迹边带（VSB）调制器实现。VSB方式对极性输入信号应用奈奎斯特（Nyquist）脉冲成形，产生了一个带宽为Br/2N的带限调制信号。然后，VSB滤波器在一个边带滤掉了除一个带宽为V的余迹边带以外的所有频带，所以Gcf看起来就类似于如图1-4b所示的一个带宽为BTr/2NV的带限频谱。因此，如果有

rrb/log2M成立，那么就有

当Nr且Vrb/BT2 log2 M

(1-10)

r时，上边带保持不变。

图1-4 数字VSB：(a)发射机；(b)功率谱

- 6 -

1.3 相位调制

在图1-1c中，二元PSK的波形包含弧度的相移，二元PSK通常被描述为二元相移键控（BPSK）或倒相键控（PRK）。一个M元PSK信号在时间区间kDtk1D内有k的相位偏移，一般表示为

xctAccosctkpDtkD

k(1-11)

通过余弦函数的三角函数展开公式得到期望的正交子载波形式 其中

Ikcosk Qksink

xitIkpDtkD xqtQkpDtkDkk

(1-12a)

(1-12b)

对于一个给定的M，为了保证最大可能的相位调制，令k和ak的关系为

k2akN/M ak0, 1,, M1

(1-13)

此处N是一个整数，通常为0或1。

图1-5所示为PSK信号星座图的一个例子，其中包含了采用格雷码的二元码字。相邻信号点的二元码字仅差一个比特。在图1-5a中，M4且N0的PSK信号被定义为四元或四相PSK（QPSK）。如果令QPSK中的N1，那么信号点将等同于QAM（如图1-3b所示）。事实上，可以将二元QAM看作由两个采用正交载波的BPSK信号组成。当然，由于一个理想的PSK波形总是有恒定的包络，因此M元PSK不同于M元ASK。

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图1-5 PSK信号星座图：(a) M4；(b) M8

其实，PSK的频谱分析可以变得非常容易，只需从公式(1-12b)和公式(1-13)中注意到下面的结果

IkQk0 Ik2Qk21/2 IkQj0

因此，i分量和q分量统计独立且

Gpf22r1fPDf sinc2 2rr(1-14)

对比公式(1-7)可以看出，在没有载频脉冲的情况下，Gcf具有和ASK相同的频谱形状（如图1-2所示）。不含离散载波分量意味着PSK有更好的功率利用率，但频谱效率与ASK相同。

有些PSK发射机包括带通滤波器来控制频谱溢出。然而，带通滤波会产生包络变化，该变化是由FM-AM转换效应所引起（记住分步相移等价于调频脉冲）。在微波载波频段上使用的典型非线性放大器将会使包络变化平坦，并恢复频谱溢出，这将极大地削弱带通滤波器的作用。被称作交错或补偿键控QPSK（OQPSK）的一种QPSK的特殊形式已经被设计出用来解决这一问题。图1-6所示的OQPSK发射机延迟了正交信号，使得调制后的相位偏移每隔

- 8 -

D/2Tb秒发生，而又绝不超过/2弧度。最大相移减半将导致带通滤波输

出的信号包络变化更小。

图1-6 偏移四相相位键控发射机

当包络变化在允许范围之内时，联合幅相键控（APK）是一种有吸引力的调制方式组合。实际上，APK有着和PSK相同的频谱效率，但考虑到噪声和差错的影响，APK的性能会更好一些。进一步的讨论将在第4章中给出。

1.4 频率调制

数字调频有两种基本方法。图1-7a从概念上表示了频移键控（FSK），其中，数字信号xt控制着一个开关，用来从M个振荡器中选择调制频率。在每个转换时刻tkD，调制信号是不连续的。除非每个振荡器的幅度、频率和相位都被仔细调整，不然由此产生的输出频谱将包含相对较大的旁瓣，这些旁瓣不携带任何附加信息，因此浪费了带宽。图1-7b所示的连续相位FSK（CPFSK）调制能够避免不连续性，其中用xt调制单一振荡器产生的频率。由于对这两种数字调频形式的频谱分析有很大困难，因此，本节只考虑某些特定情况。

- 9 -

首先考虑M元FSK。令图1-7a中所有振荡器具有相同的振幅Ac和相位

，并令它们的频率与ak的关系为

fkfcfd ak ak1,3,这里假设M是偶数，那么有

,M1

(1-15a)

xctAccos ctd ak tpDtkD

k(1-15b)

其中，d2 fd。当ak1时，参数fd等于离开载频fc的频偏，且相邻频率间隔为2fd。如果2dD2N，N为整数，那么就可以保证xct在tkD处的连续性。

图1-7 数字调频：(a) FSK；(b) 连续相位FSK

下面分析一个被称为桑德（Sunde，1959）FSK[3]的二元FSK，其定义如前所述且M2、DTb1/rb、N1。进而pDtututTb，则有

fdrb/2

(1-16)

在对xct进行三角函数展开后，利用ak1得到

cos daktcos dt sin daktak sin dt

- 10 -

因此i分量化简为

xitcos rbt

(1-17a)

上式独立于ak。q分量的形式包含ak

xqtak sinrbtutkTbutkTbTb

k

k(1-17b)

QkptkTb Qk1akk其中

ptsinrbtututTb

(1-17c)

代入过程作为启发练习留给读者。

这样，又一次得到了i分量和q分量。作为一个正弦函数，i分量在等效

2低通频谱中仅在rb/2处存在频率脉冲。因为Qk0而Qk2ak1，q分量的

功率谱不包含脉冲。因此 其中

Pf22rr1GpffbfbrbPf

422(1-18a)

14 rb2422rbfrb/2frb/2sinc sinc rrbbcos f/rb 22 f/rb122

(1-18b)

得到的带通频谱如图1-8所示。

注意，脉冲对应在键控频率fcfdfcrb/2处，并且频谱有四阶滚降。快速滚降意味着桑德FSK[3]在当 ffcrb时有非常小的频谱溢出，因此取

- 11 -

BTrb，尽管Gcf的主瓣比二元ASK或PSK频谱主瓣宽50%。

图1-8 当fdrb2时的二元FSK功率谱

另一个特殊情况是M元正交FSK，其中M个键控频率有相等的频率间隔

2fd12Dr2。如若不经频谱分析，可以猜测有

BTM2 fdMr/2Mrb/2 log2 M。因此

rbBT2 log2MM

(1-19)

并且，当M4时调制速度小于M元ASK或PSK。换句话说，正交FSK是一种宽带调制方式。

CPFSK是宽带还是窄带取决于频偏。令图1-7b中的xt从t0开始，因此

xtakpDtkD ak1,2,k0,M1

调频产生的CPFSK信号

txctAc cos ctdx d t0

0- 12 -

为了得出CPFSK和FSK的差异，考虑积分

t0x dakPDkD d

k00t其中，除了当kDk1D时pDkD1外，其余情况pDkD0。经分段积分得到

x dat00t0tDDt2D

a0Da1tDk1ajDaktkDkDtk1Dj0现在可以用求和的形式表示xct

其中t0且

上式当k0时，k0。

公式(1-20)表明，正如FSK一样，CPFSK在kDtk1D区间内有fdak的频偏。但CPFSK也有一个由前面数据而决定的相移k。这个相移由调频过程产生，并对所有t均连续。遗憾的是，已经产生的k会极大地增加CPFSK频谱分析的复杂度。文献[4]给出了更多细节，并画出了当M2,4,8、fd取不同值时的Gcf图形。下面考察二元CPFSK的一个重要特殊情况作为本节的结尾，即最小键控（MSK）。

- 13 -

xctAccosctkdaktkDpDtkD

k0(1-20a)

kdDaj

j0k1(1-20b)

1.5 最小键控（MSK）和高斯滤波最小键控

最小键控也被称为快速FSK，它是满足下述条件的二元CPFSK

rfdb4ak1k2aj0k1j (1-21)

注意到2 fdrb/2的频率间隔是桑德FSK[3]的一半。这一事实以及连续相位的特性，就得到了一个不含脉冲且更紧凑的频谱。随后的分析将会证明

GifGqf和

frb/4frb/41Gpfsinc sinc rbrb/2rb/22

162 rbcos 2f/rb24 f/r1b2

(1-22)

图1-9所示带通频谱Gcf有很小超出主瓣宽度3rb/2的溢出。快速滚降取BTrb/2，因此有

rb/BT2 bps/Hz

上式的调制速度是桑德FSK[3]的两倍，这就解释了为什么它被称为快速“FSK”。

图1-9 MSK的功率谱

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下面，根据三角函数展开，将xct写成正交载波的形式

xitcos kakckpTbtkTb

k0xqtsin kakckpTbtkTbk0

其中

ckrb2tkTb pTtututkTb

b本节也将利用图1-10中描述的k和k的网格关系。它清晰地揭示了，当

k为偶数时，k0, , 2,，以及当k为奇数时，k/2, 3/2,。

图1-10 MSK的相位网格

作为一个特殊的例子，令输入信息序列为100010111。得到的相位路径k如图1-11a所示。令ak1代表输入比特1，ak1代表代表输入比特0。对应的i分量和q分量波形可以由上面表达式计算得到，如图1-11b所示。通过观察可以发现，两个波形每隔2Tb都有零点，且交错分布。此时，xit的

- 15 -

零点对应于xqt的峰值，反之亦然。这些观察结果将有助于进一步分析。

考虑一个i分量相邻零点间的任意时间区间，例如

k1Tbtk1Tb

其中k为偶数，在区间内

xitcos k1ak1ck1pTbtk1Tbcos kakckpTbtkTb 将上式两项合并成一项。因为k为偶数，sink0，经三角函数运算得到

cos kakckcos kcos akckcos kcos ck

同样，利用

cos k10 k1kak1/2 ck1ck/2

得到

cos k1ak1ck1sink1 sin ak1ck1a2k1 cos k cos ckcos k cos ck

因此，对于问题区间，

xitcos k cos ck{pTbtk1TbpTbtkTb}

cos k cos rb/2tkTbutkTbTbutkTbTb对所有t0区间求和，最终得到

其中

xitk为偶数IkptkTb Ikcosk

(1-23)

ptcosrb t/2utTbutTb

- 16 -

(1-24)

因为当k为偶数时Ikcosk1，这一结果也验证了图1-11b中的波形。 现在，对于q分量，考虑区间k1Tbtk1Tb，其中k为奇数。经和上文相似的推导得到

xqtsink cos ck{pTbtk1TbpTbtkTb}

因此，对于所有t0有

xqtk为奇数QkptkTb Qksink

(1-25)

上式同样与图1-11b吻合。公式(1-22)可以由公式(1-23)–公式(1-25)得出，由于i分量和q分量相互独立，有IkQk0以及Ik2Qk21。

图1-11 MSK示意图：(a)相位路径；(b) i分量和q分量的波形

MSK的进一步变化就得到了高斯滤波MSK（GMSK），它可以实现旁瓣更陡

- 17 -

峭的滚降。回忆一下本章前面部分，数据脉冲pTbt有着矩形形状，其频谱旁瓣也相当大。为了减小这些旁瓣进而减小BT，需要对基带二元脉冲使用下面的高斯低通滤波器（LPF）函数进行预滤波。

H(f)e[ln(2)(f/B)2] (1-26)

正如LPF一样，B对应LPF的半功率（例如，–3dB）带宽。在公式(1-24)和公式(1-25)的推导中使用的函数pTbt，变为下面形式

111111PBTb2Q2BTb (1-27) Tb(t)2Q2T2ln2bTb2ln2GMSK的一个重要设计参数是BTb。文献[5]已经对于不同BTb值给出了功率谱密度的特征。

表 1–1 包含给定百分比功率的GMSK占有的带宽

%功率 90 BTb 99 99.9 99.99 0.20 0.25 0.5

0.52 0.79 0.99 1.22 0.57 0.86 1.09 1.37 0.69 1.04 1.33 2.08

（MSK） 0.78 1.20 2.76 6.00

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第2章 相干二元系统

相干带通数字系统在接收机端使用关于载波频率和相位的信息来检测消息，例如同步模拟检测。非相干系统不需要和载波相位同步，但它们无法达到相干检测所能达到的最优性能。

本章考察相干二元传输，在加性高斯白噪声（AWGN）存在的条件下，首先从最佳二元检测的一般处理入手。然后从所得结果来评估具体二元调制系统的性能。本节始终关注键控调制（OOK、PRK和FSK），这些键控调制不包含基带滤波或可能在调制信号中产生ISI的传输失真。

2.1 最佳二元检测

任何键控调制后的带通二元信号可以被表示成一般正交载波形式

xctAcIkPitkTbcosctQkpqtkTbsinct

kk对于实际的相干系统，载波应和数字调制同步。因此，令0并添加如

下条件

fcNcTbNcrb

xctAc[IkPi(tkTb)cosc(tkTb)Qkpq(tkTb)sinc(tkTb)]

k(2-1)

其中，Nc是整数，而且通常是较大的整数。因此

考虑一个单比特区间

xctsmtkTbkTbtk1Tb

(2-2)

其中

smtAcIkpitcosctQkpktsinct

- 19 -

上式中，sm(t)代表两信号波形s0t和s1(t)中的任意一个，s0t和s1(t)分别表示m0和m1的消息比特。

现在考虑接收信号xct被高斯白噪声污染。一个最佳基带接收机能够在与基带脉冲波形相匹配的滤波器的帮助下实现错误概率最小化。然而，二元连续波调制包含如公式(2-2)所示的两种不同信号波形，而不是两个不同幅度的同一种脉冲波形。因此，必须对s0t和s1t重新做先前的分析。

图2-1给出了本章所提到的接收机结构图，图中标出了考虑区间内对应的信号和噪声。带通接收机与基带接收机十分相似，其不同之处是带通接收机使用带通滤波器而不是低通滤波器。经过滤波的信号和噪声yt一起，在位于比特间隔末尾的tkk1Tb时刻被采样，并与门限值进行对比，重新生

ˆ。这里采用带通滤波器的冲击响应ht以及门限值V成最可能的消息比特m进行最佳二元检测，从而获得最小平均重建错误概率。

图2-1 带通二元接收机

令H1和H0分别代表m1和m0。接收机根据观察随机变量的值来决定

H1还是H0。

Yytkzmn

- 20 -

其中

zm

zmtksmtkTb*htttk1TbTbkTbksmkTbhtkd

(2-3)

smhTb d0噪声采样值nntk是零均值且方差为2的随机变量，因此当给定H1或

H0时，Y的条件概率密度是一条对称中心位于z1或z0的高斯型曲线，如图

2-2所示。对于通常情况下0和1概率均等的假设，最佳门限取在交叉点处，例如

Vopt1z1z0 2那么由概率密度函数的对称性得到，Pe1Pe0且

PeQz1z0/2

其中，绝对值符号z1z0包括了z1z0的情况。

图2-2 条件概率密度函数

然而，什么样带的通滤波器的冲击响应ht能够使z1z0/2最大化，或者，等效于使z1z0/42最大化？为解决这个问题，由公式(2-3)得到

2- 21 -

z1z02s1s0hTb d

2(2-4a)

其中，由于在0tTb区间外smt0，因此无穷极限可以取到。同时也注意到

N022ht2N dt02hTbd

2(2-4b)

应用施瓦茨不等式。得到

z1z0422

12 N0s1ts0tdt 2(2-5)

且当hTbtKs1ts0t时比值最大，因此有

hopttKs1Tbts0Tbt

(2-6)

其中，K为任意常数。

公式(2-6)表明，最佳二元检测的滤波器应该与两种信号波形的差值相匹配。或者，可以用图2-3a中平行排列的两个冲击响应分别为h1tKs1Tbt和h0tKs0Tbt的匹配滤波器；上面分支的输出减去下面分支的输出也会得到同样的最佳冲击响应。不论哪种情况，为防止在后续的比特间隔上发生ISI，任何滤波器中存储的能量必须在每个采样时刻后被释放。

另一种选择，带有内置能量释放装置，是基于观察图2-3a上半支采样信号值为

zm1tksmh1Tb d0Tbk1TbkTbsmtkTbKs1tkTbdt

- 22 -

对于zm0tk也是同样的。因此，最佳滤波器可以通过如图2-3b所示的系统图来实现，其中，需要两个乘法器、两个积分器以及s0t和s1t的存储副本。

这种系统被称为相关检测器，因为它将接收到的含噪声信号与无噪信号波形副本进行关联处理。注意，相关检测是匹配滤波器的积分-清除技术的推广。同样也需要注意的是，只有在采样时刻tk时，匹配滤波器和相关检测器才等效。

图2-3 最佳二元检测：(a)平行匹配滤波器；(b)相关检测器

不考虑特殊的实现方式，最佳二元检测的差错概率依靠公式(2-5)中最大化的比值。这一比值反过来要靠每比特的信号能量以及信号波形的相似程度。为此，考虑下面的展开

其中

Tb0s1ts0t dtE1E02E10

2- 23 -

E1Tb0st dt E021Tb02s0t dt

(2-7)

E10Tb0s1ts0t dt

这里定义E1和E0分别为s1t和s0t的能量，E10正比于两个信号的相关系数。定义该相关系数为

1E1E0Tb0s1ts0t dt

(2-8)

因为0和1的出现概率相等，所以每比特的平均信号能量为

Eb进而得到

1E1E0 2E1E02E10EbE10z1z0 22NNmax00且

2(2-9a)

PeQ EbE10/N0(2-9b)

或者，如果信号能量相等

PeQEb1/N0

(2-9c)

当Eb和N0确定时，公式(2-9)说明了E10对于系统性能的重要性，以及系统性能如何依靠两信号的相关系数。

最后，将公式(2-6)代入公式(2-3)得到z1KE1E1和0z0KE10E0，因此有

- 24 -

Vopt1Kz1z0E1E0 22(2-10)

注意的是，最佳门限的表达式中不包含E10。

2.2 相干OOK、BPSK和FSK

尽管ASK自身特点几乎不能保证复杂系统设计，但是简要的分析相干开关键控将有助于阐明最佳检测的概念。OOK信号波形是

s1tAcpTbtcoscts0(t)0

(2-11)

载波频率条件fcNc/Tb意味着，对于任意比特间隔

s1(tkTb)Accosct，同时肯定有s0tkTb0。因此，相干检测接收机可

简化为图2-4的形式，其中一个与载波同步的本地振荡器提供s1t的存储副本。位同步信号启动采样-保持单元并复位积分器。由于（假设的）fc和rb的谐波关系，两个同步信号可以来源于同一信号源。

图2-4 OOK或BPSK的相干接收机

现在利用公式(2-7)和公式(2-11)得到E0E100且

Tb2c0 E1AAc2Tbcosctdt224fcAc2Tb 1sincr2b- 25 -

2Tb/4。令门限VKE1E0/2KEb，并由公式(2-9)得到因此EbE1/2Ac最小平均差错概率，即

PeQEb/N0Q

b(2-12)

显然，相干OOK的性能等同于单极性基带传输。

更好的性能可以通过相干BPSK实现。令两键控相位分别为0弧度和

弧度。因此

s1tAcpTbt cos ct s0ts1t

(2-13)

关系s0ts1t定义了双极性信号，类似于极性码基带传输。这样很快就能得到

EbE1E0Ac2Tb/2 E10Eb

因此EbE102Eb且

PeQ2Eb/N0Q2b

(2-14)

这样，在其它因素相同的情况下，BPSK比OOK就会节约3dB信号能量。 因为s0ts1t，一个相干BPSK接收机仅需一个匹配滤波器或相关器，这和OOK是一样的。但是，现在V0并且由于E1E0，因此若接收信号经过衰减后，BPSK的门限无需重新调整。此外，BPSK近似恒定的包络，使得BPSK相对较难受到非线性失真影响。因此，BPSK的性能在几个方面是优于OOK的，而它们的频谱效率却是相同的。下面将要看到BPSK的性

- 26 -

能同样优于二元FSK。

考虑频移为fd的二元FSK及其信号波形

s1tAcpTbt cos 2 fcfdts0tAcpTbt cos 2 fcfdtrb， EbAc2Tb/2，且

(2-15)

其中，fcfd

E10Eb sinc 4 fd/rb

(2-16)

而上式与频移有关。如果fdrb/2，则相当于桑德FSK[3]，此时E100，且错误概率与OOK的相同。当xct存在相位不连续时可以进行一些改进，但无论fd如何选择，始终有EbE101.22Eb。因此，二元FSK不能显著地实现宽带降低噪声，并且BPSK至少有2/1.222dB的能量优势。另外，最佳FSK接收机远比图2–4所示的复杂。对于fdrb4的MSK情况，其差错概率与BSPK相同，也就是说PbeQ差错概率为

PbeQ2b。文献[5]依据经验判定GMSK的

2Eb/N0

其中

0.68 对于BTTb0.25

0.85 对于一般MSK (BTTb)(2-17)

注意，它们的一般MSK的经验结果不同于理论值。

- 27 -

2.3 时间和同步

最后，考虑与最佳相干检测有关的定时和同步问题。为此，考虑带通信号波形及匹配滤波器

s(t)AcpTb(t)cosctfcTbNc1

htKsTbtKAcpTbt cos ct

将st应用到其匹配滤波器上，得到的响应为

tTbz(t)s(t)*h(t)KEcosct

Tb(2-18)

其中，EAc2Tb/2。图2–5所示的zt标出了预期的最大值z(Tb)KE，且通过在采样时刻后滤波器放电，tTb时的响应将会被清除。注意到图中画出在下一组练习2–3和2–4中，zt包络的虚线就是相干接收机积分器的输出。

将明确看到这一结果。图2–5也证实了这一结论，即匹配滤波器输出和相干器输出仅在tkTb时刻相同。

图2–5 带通匹配滤波器的响应

但是，假设存在一个小的定时误差以至于采样实际发生在tkTb(1)时

- 28 -

刻，那么

z(tk)KEcoscTb2Nc

2因此，定时误差通过因子cos 降低了有效信号幅度。因为z1z0将以

cos2 衰减，而2保持不变，差错概率变为

EbE102PeQ cosN0 (2-19)

上式由公式(2-9)得到。举个例子，BPSK的参数选取为b8，rb2kbps，

fc100kHz；正确定时得出的差错概率为PeQ163105，而比特间隔

以

及

误差仅为

20.3%将导致

2100/20.00354PeQ162 cos。这些数字说明了带通匹配滤波器不能作为相干检5410测实现方法的原因。

由于积分器输出并不在载波频率振荡，图2–4所示的相干检测器对定时误差有更小的敏感度。相干检测因此被应用在大多数的相干二元系统中。然而，本地振荡器必须与载波精确同步，否则相位同步误差将会通过因子

cos 再次衰减有效信号幅度。对于BPSK，可以利用Costas锁相环系统，

载波同步信号可由xct得到。下一节将会讨论被称为相位比较检测的另一种方法，以及OOK和FSK的非相干检测。

- 29 -

2.4 干扰

本节将讨论扩展到多址干扰（MAI）对带有相干检测的数字调制系统信号的影响。MAI可能由多径、邻信道干扰、不理想的多路复用等因素引起，并导致检测器输入端在同一时间间隔内接收到两个或更多的“冲突信号”。这种信号间的冲突将污染期望获得的信号，并引发错误。对于信号共享相同频率和相同时隙的无线系统来说，信号间冲突尤其突出。如同SNR定义，MAI可以用信干比（SIR）衡量。

在图2–3b中，假设相干检测器的输入端有干扰和噪声，在区间

kTbk1Tb有一个二元信号1，因此，相关器的上半分支输入为

v1tkTbsi1tkTbsj0,1tkTbntkTb

jiNN(2-20)

其中，si1tTb是第i个所需的二元信号1，sj0,1tTb为N1个干扰信

ji号的和，ntkTb为噪声。由于要传输的是0或是1，因此可以说si1tkTb和si0tkTb互斥；因此，si0tkTb在这一分支不被接收。

积分器输出为

(k1)Tbzm1(tkTb)(k1)TbkTbNsi1(tkTb)sj0,1(tkTb)n(tkTb)si1(tkTb)dt ji(k1)TbN (2-21a)

=kT二元1的消息能量si21(tkTb)dtkTbsj0,1(tkTb)si1(tkTb)dtjiMAI(k1)Tbn(tkTb)si1(tkTb)dt噪声kTb

(2-21b)

如果

sj0,1tkTb和si1tkTb对于所有ji互为正交，MAI

- 30 -

将被最小化。然而，

由于包括多径以及设计正交信号十分困难，即其它用户可能使用相似的波形，将导致MAI

的最小化通常是不可能的。事实上，MAI的影响经常超过随机噪声。同样，如果噪声和信号互为正交，那么公式(2-21b)中的第三项将被最小化。最后，类似于Aloha和CSMA系统，干扰是客观存在的，而且也必须在系统设计时加以考虑。

- 31 -

第3章 非相干二元系统

如果信号足够强，以至于复杂度较低的接收机就能保证系统足够可靠，那么最佳相干检测可能并非是必不可少的。这种情况最好的例子就是话音信道的数字传输，它具有相对较大的用模拟性能标准来衡量的信噪比。实现相干检测对于有些应用来说也许是非常困难的，或是非常昂贵的。例如，一些广播信道的传播延迟变化太快而无法允许接收机对载波相位进行精确跟踪，因此，非同步或非相关检测成为唯一可行方案。

这里考察利用包络检测来避开相干检测中的同步问题，从而得到次优性能的非相干OOK和FSK系统。这里还要考察含有相位比较检测的差分相干PSK系统。对于以上的三种情况，必须首先分析含有带通噪声的正弦曲线包络。

3.1 含带通噪声的正弦曲线包络

考虑正弦波Ac cos ct加上均值为零、方差为2的高斯带通噪声

nt，使用正交载波形式

ntnit cosctnqt sin ct

求和可以写为

Accos ctntAt cos ctt

其中，在任一时刻t有

- 32 -

AAcninq2 arctan 2nqAcni

(3-1)

i和q噪声分量是相对独立且与nt同分布的随机变量。现在求包络A的概率密度函数。

在开始分析前，先在极端条件下推测A的性质。如果Ac0，那么A减小为瑞利分布的噪声包络An

pAnAn在另一极端，如果AcAn2e2An/22 An0

(3-2)

，那么在大部分时间内，Ac将大于噪声分量，

因此有

2AAc12 ni/Acni2nq/Ac2Acni

上式意味着A为近似高斯分布。

对于Ac取任意值的情况，必须进行矩形-极化变换。A和的联合概率密度函数变为

A22AcA cos Ac2pAA, exp 2222A(3-3)

公式(3-3)对于A0和成立。指数中的A cos，使公式(3-3)无法被因式分解为pAAp的乘积形式，这意味着A和并非统计独立。因此通过在

的区间对联合概率密度函数进行积分，就能得出概率密度函数的包络，因此

- 33 -

A2Ac2AcAcospAA expexpd 22222A现在引入修正的第一类零阶贝塞尔函数，定义为

I0v12exp v cos d

(3-4a)

I0v具有如下性质

ev/4I0vev2v2vv11

(3-4b)

然后得到

pAAA2 e2A2Ac/22 AAI0c 2 A0 (3-5)

上式被称为莱斯分布。

尽管公式(3-5)看上去非常复杂，但在大信号条件下可以很容易化简为

2AAAc/22pAA e Ac2 Ac2 (3-6)

上式由公式(3-4b)中v取较大值时近似值得到。由于公式(3-6)主要由指数项决定，因此可以确定包络概率密度函数本质上是一条中心在AAc、方差为2的高斯曲线。图3–1说明对比，当Ac变大时包络概率密度函数由瑞利曲线变为高斯曲线。

- 34 -

图3–1 含带通噪声的正弦波包络的概率密度函数

3.2 非相干OOK

非相干OOK一直被认为是一个简单系统。通常，载波和数据是不同步的，因此对于任意比特间隔kTbtk1Tb，可以写为

xctAcakpTbtkTb cos ct ak0, 1

信号能量为E00，且

(3-7)

Ac2TbE12这里假设fcsin2cTb2sin 2Ac2Tb 12cTb2rb。由于此处继续假设1和0等概出现，每比特的平均信号能

2Tb/4。 量为EbE1/2Ac图3–2所示的OOK接收机，由一个低通滤波器串联一个包络检波器和再生器构成。带通滤波器是一个冲激响应为如下形式的匹配滤波器

htKAcpTbt cos ct

(3-8)

上式不考虑载波相位。通过跟踪上文图2–5中的虚线，包络检波器可以消

- 35 -

除对相位的依赖。因此，当ak1时，yt包络信号成分的峰值为A1KE1。为方便起见，令KAc/E1，因此A1Ac。那么有

Ac2/24Eb/N04b

(3-9)

其中，它根据第2章中的公式(2-4b)2为包络检波器输入端的带通噪声方差，由ht计算得到。

图3–2 非相干OOK接收机

现在考虑随机变量Yytk的条件概率密度函数。当ak0时，仅得到噪声包络的采样值；因此，pYyH0是瑞利函数pAny。当ak1时，得到正弦波加噪声信号的包络采样值；因此，pYyH1是莱斯函数pAy。图3–3给出了在b1条件下的上述两条曲线，因此，莱斯分布的概率密度函数具

有近似高斯波形。两条曲线的交点定义了最佳门限，被证明为

VoptAc2Ac1 b2b21

- 36 -

图3–3 非相干OOK的条件概率密度函数

遗憾的是，考虑到门限值，以及随之得到的当Pe最小时Pe1Pe0的情况，就无法得到前面的对称性。

为实现合理性能，非相干OOK系统需要满足b为Ac/2。得到的差错概率为

1，且门限通常被设定

Pe0Pe10Ac/2pAny dyeAc/8eb/2

22(3-10a)

Ac/2

ApAy dyQc21Qb1 eb/2 b2bb

(3-10b)

上式引入了Q的渐进逼近值，并说明当b1时Pe1Pe0。最终

1b/2Pe1PPQe0e122eb/21 b12eb

(3-11)

上式以b为横轴，和其它二元系统的曲线一起画在图3–4中。

- 37 -

图3–4 二元差错概率曲线：(a) 相干BPSK；(b) DPSK；(c) 相干OOK或FSK；(d) 非

相干FSK；(e) 非相干OOK

3.3 非相干FSK

尽管包络检测对于FSK似乎是一个不大可能的方法，然而回顾图1–1b中所示的波形可以看出，二元FSK可以等价地认为是由两个交叉的幅度均为

Ac但载波频率分别为f1fcfd和f0fcfd的OOK信号构成。因此，非相

干检测可以利用如图3–5所示排列的那样一对带通滤波器和一对包络检波器来实现。其中

- 38 -

h1tKAcpTbt cos 1t h0tKAcpTbt cos 0t

令KAc/Eb，注意到EbE1E0Ac2Tb/2。那么

(3-12)

Ac2/22Eb/N02b

(3-13)

其中，2为任一滤波器输出端的噪声方差。

图3–5 二元FSK的非相干检测

和桑德FSK[3]一样，这里也令频率间隔f1f02fd是rb的整数倍。这种状态保证了带通滤波器组能有效地分离两个频率，并且在采样时刻，两个带通噪声波形不相关。因此，当ak1时，上半分支采样输出y1tk的信号成分为A1KE1Ac，并且满足莱斯分布，而下半分支的y0tk为瑞利分布，而反之，当ak0时，也是如此。

再生是基于两个包络之差，即Y1Y0y1tky0tk。如果不采用条件概率密度函数，在不考虑Ac的情况下，由接收机的对称性可以得出，门限应设定为V0。进而得出Pe1PY1Y00H1，且Pe0Pe1Pe。因此有

PePY0Y1H1 =0pY1(y1H1)pY0(y0H1)dy0dy1y1

- 39 -

其中，方括号内的积分表示为，对于一个给定的y1值事件Y0Y1的概率。代入概率密度函数pY0y0H1pAny0和pY1y1H1pAy1，得出内部积分为

Pey10 e2222y1Ac/22AyI0c21 dy1 相当令人惊奇的是，令2y1且Ac/2，这个积分能够得到如下的闭合形式

pe1Ac2/42(2)/22eeI0d 02现在，被积函数与公式(3-5)中的莱斯分布概率密度函数完全相同。其中，莱斯分布概率密度函数在积分域下的总面积等于1。因此，最终结果简化为

1221PeeAc/4eb/2

22(3-14)

上式应用了公式(3-13)。公式(3-14)也适用于非相干MSK。

由图3–4中画出的非相干FSK和OOK的性能曲线对比情况可以看出，两条曲线除b值很小外几乎没有差异。然而，FSK对比OOK确有三个优势：恒定调制信号包络、相等的数字差错概率以及固定门限V0。通常，这些优势解释了FSK接收机需要额外硬件的原因。

3.4 差分相干PSK

由于二元PSK信号的消息信息存在于相位中，因此无法使用非相干检测。而相位比较检测技术却十分高明，它绕开了相干BPSK的相位同步问题，并得到了比非相干OOK或FSK更优越的性能。除了在一个大小为Tb的延迟后

- 40 -

本地振荡器信号被替换为BPSK信号本身之外，图3–6所示相位比较检测器看起来就像是一个相关检测器。置于前端的带通滤波器能够防止过多的噪声淹没检测器。

图3–6 二元PSK的差分相干接收机

正如相干BPSK一样，合理的操作需要满足fc是rb的整数倍。因此有

xctAcpTbtkTb cos ctak

ak0, 1 kTbtk1Tb

在不含噪声的条件下，第k个比特间隔的相位比较乘积为

(3-15)

xct2 xctTb2Ac2 cos ctak cos ctTbak1Acos akak1cos 2ct2akak1}2c

这里利用了cTb2Nc。低通滤波后，得到

Ac2ztk2Acakak1

akak1(3-16)

因此得到了极化对称性且门限应被设定为V0。

由于ztk仅表明ak是否与ak1相等，因此采用相位比较检测的二元BPSK系统被称为差分相干PSK（DPSK）。这类系统的发射机一般包含差分编码，这使得直接由ztk再生消息比特成为可能。差分编码从一个随机初始

- 41 -

比特开始，比如a01。随后的比特由消息序列mk根据如下规则决定：如果

mk1，则akak1；如果mk0，则akak1。因此，ztkAc2意味着mk1，

ztkAc2意味着mk0。图3–7给出了差分编码的逻辑电路；这个电路实现了逻辑等式

akak1 mkak1mk

(3-17)

其中，上划线代表逻辑取反。一个差分编码和相位比较检测（不含噪声）的例子在表3–1中给出。

图3–7 差分编码的逻辑电路 表3–1 差分编码和相位比较的示例

输入消息 编码后的消息 1 传输相位 相位比较符号 再生消息

+ 1 1 1 – 0 0 0 + 1 1 0 0 1 + 1 0 0 – 0 0 1 + 1 1 1 – 0 0 0 – 0 0 1 

  0   0

为了分析含噪DPSK的性能，这里假设带通滤波器滤掉了大部分的噪声，类似于FSK接收机中的带通滤波器。因此，带通滤波器输出端的载波幅度和噪声方差的关系为

Ac2/22Eb/N02b

这里仍然利用对称性，并关注akak10的情况，因此当ytk0时，有错

- 42 -

误发生。

tnqtTb表示延迟的i和q噪声分量。在现在令nitnitTb和nq第

k个比

c特间

i隔输入乘法器的是

xctnt cAonsc tqt sncitn和 t(t)sin c t。低通滤波2[xctTbntTb)]2{Acni(t)]cos(ct)2nq器除去乘积中的高频项，留下

 YytkAcniAcninqnq(3-18)

其中，所有四个噪声分量都是均值为零、方差为2的独立高斯随机变量。

公式(3-18)的二次形式可以通过对角化过程化简得到 其中 且

22Aciq 2i2q2

2Y22

(3-19a)

(3-19b)

iq1nini i21 qnqnq21nini 21 nqnq2(3-19c)

注意，i为零均值高斯随机变量，它的方差为

i2(ni2ni2)/422/42/2；其它和的i和q分量有相同的结论。因

此，满足莱斯分布，将公式(3-5)中的2替换为2/2得到其概率密度函数，而满足瑞利分布，将公式(3-2)中的2替换为2/2得到其概率密度函数。

- 43 -

最后，由于和非负，因此平均差错概率可以写为

PePY0|akak1Pα22P

这样，就得到了等价于前面处理过的非相干FSK的一个表达式。将公式(3-14)中的2替换为2/2，得到DPSK的结果

1221PeeAc/2eb

22(3-20)

图3–4所示的性能曲线表明，DPSK比非相干二元系统有3dB能量增益，与误码性能为Pe104的相干BPSK相比，有小于1dB的损失。

DPSK不需要相干BPSK必需的载波相位同步，但它的确比OOK或FSK略需更多的硬件，包括差分编码和载频与发射机的rb同步。一个需要考虑的问题是，DPSK差错一般发生在两组中（试分析一下原因）。

- 44 -

第4章 正交载波与M元信号

本章考察采用相干或相位比较检测的M元调制系统性能，通常以正交载波的形式。此处主要是为了提高调制速度，例如QAM和相关的正交载波方法，以及M元PSK和M元QAM调制方式。这些是最适合于在电话线和带限信道上进行数字传输的调制类型。

正如前面几章所述，本章继续假设独立等概符号和AWGN信道。同时假设M为2的正整数幂，这与二元到M元数据转换一致。这个假设允许将二元系统和M元系统进行实际比较。

4.1 正交载波信号

正如第1章指出的，四相PSK和键控极性QAM（也被称为4QAM）均等价于两个调制在相互正交的载波上的BPSK信号。此处采用这个观点来分析使用相干检测的QPSK/QAM性能。因此，将信源信息按双比特分组，表示为IkQk。每一个双比特对应于四元（M4）信源的一个符号或一个二元信源的两个连续比特。而后一种情况，在实际中发生的更多，双比特码速率为rrb/2，且D1/r2Tb。

正如第2章所讨论的那样，相干正交载波检测需要同步调制。因此，对于第k个双比特间隔kDtk1D，可以写为

其中

- 45 -

xctsitkDsqtkD

(4-1a)

sitAcIkpDt cos ct Ik1 sqtAc QkpDt sin ct Qk1

由于fc被假设为与r1/D谐波相关联，信号能量为

(4-1b)

并且得到

k1DkDxc2t dt122 AcIkQk2DAc2D 2E2Eb EbAc2D/2

(4-2)

其中，E为每个双比特或四元符号的能量。

由公式(4-1)和前面关于相干BPSK的研究可知，最佳正交载波接收机可以由两个如图4–1所示排列的相关检测器实现。每个相关器独立于另一个，执行相关二元检测。因此，每比特平均差错概率为

其中，函数Q正交调制。

PbeQ2Eb/N0Q2b

(4-3)

2b表示高斯拖尾下的面积，这里不要和Q相混淆，Q表示

 图4–1采用相关检测器的正交载波接收机

由公式(4-3)可以得出，相干QPSK/QAM可以得到与相干BPSK相同的

- 46 -

误比特速率。现在回忆QPSK/QAM的传输带宽为

BTrb/2

然而，BPSK需要BTrb。这就意味着，额外的正交载波硬件，对于一个给定的比特速率，可以将传输带宽减半，或者，对于给定的传输带宽，可以将比特速率加倍。而在任一情况下，差错概率都将保持不变。

公式(4-3)以及带宽/硬件的权衡，同样适用于最小键控，其i分量和q分量使用的是正交载波检测，如前面图1–11b所示。MSK接收机可以看成，是将图4–1根据i分量和q分量的脉冲成形和交错而修改的结构。MSK和QPSK间仅有的两个显著差异是：(1)在相同比特速率的情况下，MSK频谱比QPSK频谱主瓣更宽，但旁瓣更小；(2)MSK是固有的二元频率调制，而QPSK可被看作二元或者四元相位（或幅度）调制。

当QPSK/QAM被用来传输四元数据，图4–1中的输出转换器从再生的双比特中重建四元符号。由于比特错误相互独立，因此得到一个正确符号的概率为

Pc1Pbe

每个符号平均差错概率变为

2Pe1Pc2QE/N0Q2E/N012QE/N0 E/N0 (4-4)

其中，E2Eb表示平均符号能量。

目前，已经设计出各种方法用于在正交载波接收机中产生进行相干检测所必需的载波同步信号。图4–2所示为一个简单的锁相环系统，这个系统基

- 47 -

于这样的事实，即xct的四次幂包含一个载频为4fc的离散频率分量。然而，由于cos 4ctcos ct2N，四分频产生cos ctN/2，因此，将会4得到一个确定的相位误差N2，其中N为整数且其值由锁定的时刻决定。一个已知的前导信号可以在消息之前发送来调整相位，或使用差分编码来消除相位误差的影响。另一个载波同步系统将会结合M元PSK进行介绍；其它方法请参考文献[6]。

图4–2 正交载波接收机中进行载波同步所需的锁相环系统

在正交载波系统中，使用差分编码进行相位比较检测也是可行的。根据第3章中对DPSK的研究是能够正确地推断出，差分相干QPSK（DQPSK）在某种程度上比相干QPSK需要更多信号能量来得到一个具体的差错概率。其差异大约是2.3dB。

4.2 M元PSK信号

现在，将相干正交载波检测的研究扩展到M元PSK。载波与调制同步，且fc与符号速率r谐波相关。在一个给定符号区间内，调制信号可以写为

其中

xctsitkDsqtkD

(4-5a)

sitAccoskpDt cos ct

- 48 -

(4-5b)

sqtAc sinkpDt sin ct

且有

k2ak/M ak0, 1,, M1

上式可以由第1章公式(1-13)令N0得到。那么每个符号的信号能量变为

E121Accos2ksin2kD Ac2D 22(4-6)

如果每个符号代表log2M个二元码字，那么就等价于EbElog2M。由第1章的频谱分析可知，传输带宽的要求为BTrrb/log2M。

M元PSK的最佳接收机可以建模为图4–3所示形式。令KAcE，因此在不含噪声的情况下，积分相关器输出zitkAccos k和zqtkAc sin k，由此可得karctan zq/zi。

图4–3 M元相干PSK接收机

当xct被噪声污染时，消息符号的再生是基于以下含噪信号的样本

yiAccoskniyqAcsin knq

其中，i和q噪声分量为独立高斯随机变量，且均值为零，方差为

2K2EN0/2Ac2N0/2EN0r

(4-7)

- 49 -

如图4–4所示，发生器有间隔为2M的M角门限，并从信号星座中选择角度最接近arctanyqyi的点。如图4–4所示的圆对称以及噪声概率密度函数的对称性意味着，所有相位角有相同的差错概率。因此，下面将要关注

k0的情况，所以

arctanyqyiarctannqAcni

并且，认为是正弦波加带通噪声的相位。由于如果/M时没有错误产生，符号错误概率可以利用下式计算

PeP/M1/M/Mp d

(4-8)

上式需要相位的概率密度函数。

图4–4 M元PSK的判决门限

正弦波加带通噪声的包络和相位的联合概率密度函数已经在第3章中由公式(3-3)给出。相位的边缘概率密度函数可由对联合概率密度函数在区间

0A积分得到。这样一个简单变换却得到了一个非常复杂的表达式

1Ac2pe222Ac cos 22Ac2 sin2Accosexp1Q 22- 50 -

(4-9)

上式的区间为。在大信号条件Ac

pAc cos22下，公式(4-9)化简为

2 eAc sin/22 2 (4-10)

其中，对于值较小时，而当/2近似于高斯分布且0，22/Ac2。时，公式(4-10)无效，可是Ac的情况却发生概率很小。图4–5描述了p由当Ac0时的均匀分布过渡到当与相比Ac很大时的高斯曲线的过程。（对应的包络概率密度函数的变化请参考图3–1）

图4–5 正弦脉冲带通噪声的相位概率密度函数

下面假设Ac，因此可以利用公式(4-10)得到M4时的相干M元

PSK的差错概率（已经得到了M2和4时的结果）。将公式(4-10)和

Ac2/22E/N0代入公式(4-8)得出

- 51 -

Pe11222L0/M/M22E cose2E/N0sin/2 dN02

1e/2 d

(4-11)

上式已经注意到了偶对称并对变量进行代换2E/N0 sin，因此

L2E/N0 sin /M。然而公式(4-11)中的被积函数为高斯函数，所以有Pe112QL2QL。因此，

2E2 Pe2Q sinNM0(4-12)

上式为M4时符号错误概率的最终结果。本章末尾将在对比中讨论等效误码率。

观察图4–3中所示的接收机，利用图4–2的改进形式，载波同步信号可以由xct的第M次幂得到。如图4–6所示，更加复杂的判决-反馈锁相环系统利用估计相位k来产生一个可以修正任何压控振荡器相位误差的控制信号vt。这里的两个延迟模块简要地说明了k可以在第k个符号区间得到的事实。

- 52 -

图4–6采用判决-反馈系统实现载波同步的M元PSK接收机

如果精确的载波同步被证明是无法实现的，那么就可以使用差分相干检测。尽管噪声分析相当复杂，但文献[6]和文献[7]已经得到了简单的近似

4E2Pe2Q sinN2M0 (4-13)

上式适用于E/N01且M4。由公式(4-12)和公式(4-13)可知，当能量以如

下所示的因子增加时，M元DPSK得到与相干PSK相同的差错概率

sin2 /M 22 sin /2M如前所述，对于DQPSK（M4），此因子等于2.3dB，而对于M此因子接近3dB。

1，

4.3 M元QAM信号

信源符号可以通过结合幅度和相位调制构成M元QAM来表示。M元

- 53 -

QAM也被称作M元幅度-相位键控（APK）。它适用于有限带宽信道，并且在相同符号速率条件下，比其它键控调制M元系统有更低的差错率。在对抑制载波M元ASK进行预处理后，下面研究通过正方形信号星座定义的M元QAM系统的类型。

考虑同步调制且抑制载波的M元ASK。通过使用极性调制信号可以很容易地实现载波抑制。因此，对于第k个符号区间，写为 其中

xctAcIkpDtkD cos ct

(4-14a)

Ik1, 3,,M1

(4-14b)

传输带宽为BTr，与M元PSK相同。

由于没有积分分量，最佳相干接收机仅由一个相关检测器构成，且再生是基于含噪信号的采样

yiAcIkni

如公式(4-7)所示，噪声分量是均值为零、方差为2N0r的高斯随机变量。图4–7所示是一维信号星座，以及当M4时对应的M1个等间隔门限。

M取任意偶数时，符号差错概率为

1Pe21MAc QN0r(4-15)

上式可以由对极性M元基带传输相同的分析而得到。

- 54 -

图4–7 M4时ASK的判决门限

假设两个上述ASK信号利用正交载波复用技术在相同的信道上传输，而正交载波复用所要求的带宽不超过信号的带宽。令信息来自于M元信源，且

M2，那么消息可以转换成两路元码流，并且每路都有相同速率r。由

于M元QAM的性能从根本上是根据元差错率，因此在M的条件下，其性能将优于直接M元调制。

图4–8a画出了M元QAM发射机的结构。第k个符号区间的输出信号为 其中

xctsitkDsqtkD

(4-16a)

sitAcIkpDt cos ct Ik1,3,sqtAcQkpDt sin ct Qk1,3,,1 ,1

(4-16b)

每个M元符号的平均能量为

E1221 AcIkQk2DAc221D 23(4-17)

上式利用了Ik2Qk221/3。

相干QAM检测由图4–8b中的接收机完成，其积分相关器产生如下采样值

yiAc Ikni yqAcQknq

- 55 -

于是得到了一个正方形信号星座和门限样式，当M4216时的情况如图4–8c所示。现在令P表示Ik或Qk的差错概率，正如将公式(4-15)中的M替换为M所给出的那样。当P1时，每个M元符号的差错概率为

Pe11P且Pe2P。因此有

1Pe41QM3EM1N0 2(4-18)

上式已经代入了由公式(4-17)得到的平均符号能量。

利用上面的结果，经过计算证实了M元QAM较好的性能。作为一个例子，如果M16且E/N0100，则Pe43/4Q20效的M16的PSK系统的误码率为Pe2Q1.2105，而一个等

7.66103。

- 56 -

图4–8M元QAM系统：(a)发射机；(b)接收机；(c)M16时的正方形信号星座及门限

4.4 M元FSK信号

如前所述，同样可以通过M个间隔为2fd12r2的键控频率对载波进行频率调制。根据文献[8]，符号差错概率的上界为

- 57 -

(M1)Q(blog2M)相干检测 peM11logM22be非相干包络检测2(4-19)

M元FSK相干和非相干接收机分别如图4–9和图4–10所示。正如所期望的那样，为了从M个载波频率中检测M个符号，它们比图2–3和图3–5中的相应二元系统复杂M倍，而图4–3和图4–8中的M元PSK和M元QAM接收机对比它们的相应二元系统也有类似的复杂度。

M元正交FSK通常以正交频分复用（OFDM）实现。

图4–9 相干M元FSK接收机

- 58 -

图4–10 非相干M元FSK接收机

4.5 数字调制系统的比较

数字调制系统的性能对比应考虑几个因素，包括：错误概率、传输带宽、频谱溢出、硬件要求以及二元和M元信号的差异。为了建立一个公平的比较标准，假设信息来自一个比特速率为rb的二元信源。这将使得对系统从调制速度rb/BT和能量噪声比b这两方面进行比较成为可能，而前者是为得到一个具体的每比特错误概率所必需的。

下面，将前面的二元调制系统的研究结果直接应用到下面的比较中，尤其是考虑图3–4中的错误概率曲线。当b足够大到是合理的近似时，表4–1就可作为一个非常简略的总结。（因此，对于非相干OOK，几乎所有的错误都对应载波“关闭”状态）。这个列表强调了加倍的调制速度与相干正交载波检测相结合的事实。同时，也需要记住，最小频谱溢出需要交错的键控调制（MSK或OQPSK）以及额外的脉冲成形。

- 59 -

表 4–1 二元调制系统的总结

调制

检测

rbBT

Pbe

1b/2e21be2OOK或FSKfdrb2 包络 DPSK BPSK

相位比较 相干

1 1 1 2

QQ2b 2b

MSK, 4-QAM或QPSK 相干求积分

现在考虑符号速率为r且每个符号能量为E的M元传输。下面令

M2K，并引入数据转换因子

Klog2M

上式中的K等于每个M元符号包含的比特数。等效比特速率和能量分别为rbKr和EbE/K，因此

bE/KN0

M元PSK或M元QAM的调制速度为

因为BTrrb/K。

当数据转换器使用格雷码时，有PbePeK。而对于M元PSK和M元QAM，当信号星座进行格雷编码时，最有可能的错误概率是每个符号出现一个错误。这是因为，信号星座使得混淆临近信号点的概率远大于非临近点，而且如果错误概率相对较小，那么就可认为每符号最多比特错误为1。因此，对于采用格类编码的M元PSK和M元QAM，每比特错误概率为

rb/BTK

(4-20)

- 60 -

PbePe K(4-21)

另一方面，频率对符号逻辑的固有性质，使得采用M元FSK的格雷编码没有优势，这是由于所有符号错误都是同样可能的。因此，对于M元FSK可以得到[8]，

PbePeM

2M1(4-22)

在对前面表达式加上这些调整后，得到的比较结果列于表4–2。其中，通常rb/BT将称为带宽效率。

表 4–2 带宽效率为rbBTKlog2M的M元调制系统的总结

调制 DPSKM4 PSKM8

检测 相位比较求积分 相干求积分

Pbe

22 Q4K sinb K2M22 Q2K sinb KM413K1 bQKM1M QAM(K为偶数) 相干求积分

所有正交载波和M元系统以错误概率或信号能量为代价来增加调制速度。例如，假设要保持错误概率固定在Pbe104，这是一个对比的一般标准。不同调制系统在各种调制速度下所需b的值可以由表中的表达式计算得到。图4–11描绘了rb/BT和b以dB为单位的关系曲线，且每个点被相应的M值标记。当rb/BT4时，很明显，将选择采用相干检测的QAM，而不是PSK。

M元DPSK消除了相干检测的载波同步问题，但当rb/BT4时，它至少需要

- 61 -

比QAM多7dB的能量。

图4–11 比特错误概率为Pbe104的M元调制系统的性能比较

表 4–3 比特错误概率为Pbe10-4的数字调制系统对比

调制 OOK或FSKfdrb/2 包络 DPSKM2 DQPSK BPSK

MSK，QAM或QPSK DPSKM8 PSKM8 FSKM16 PSKM16 QAMM16

相位比较 相干 相干求积分 相干求积分 相干 相干求积分 相干求积分

检测 rbBT b,dB 1 1 1 2 3 0.5 4 4

12.3 9.3 10.7 8.4 8.4 14.6 11.8 6.6 16.2 12.2

相位比较求积分 2

相位比较求积分 3

作为比较，表4–3结合了图4–11中的M元数据以及有相同错误概率的二元系统的计算值。表中以复杂度递增为顺序列出了各种系统，这样就可以在调制速度、信号能量和硬件开销之间进行权衡。

- 62 -

考察这个表时应当记住两点。首先，数值对应的是理想系统。一个实际系统的调制速度通常约为理论值的80%，且所需的能量至少高出1~2dB。这1~2dB的差异常被称作执行损耗。其次，具体传输信道特点可能会增加额外考虑。特别地，快变传输延迟使相干检测无法实现，而传输的非线性妨碍OOK和M元QAM的包络直流调制解调。

需要注意的一点是硬件实现。GMSK以及其它FSK方式有恒定幅度输出，而放大器的线性不成问题，因此，更高效的C类放大器就能够作为发射机的最终放大器使用。对于GSM无线电话，这意味着电池寿命显著增加。

此处没有介绍的其它的因素，包括干扰的影响、衰落和时延失真。文献[9]中非常出色地讨论了这些因素，而这篇文章也包含了非常丰富的参考文献。

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结论

作为建立带通信号模型的数学基础，本课程首先研究了二元和多元信号的连续波数字调制波形和频谱分析，以数学模型和/或发射机简图的形式来定义数字调制的具体类型。同时，本节将考察几种调制方式的功率谱，并对特定的数字信号速率所需的传输带宽进行估计。为此，首先介绍一种带通数字信号的频谱分析方法。

第二章重点研究含噪条件下的二元信号解调，并从中得出相干（同步）检波和非相干（包络）检波的区别。最后，进一步研究多元正交载波系统和多元恒定包络FSK系统。在综合考虑频谱效率、硬件复杂度和系统性能等因素，对比了有噪声条件下各种调制方式。

实现相干检测对于有些应用来说也许是非常困难的，或是非常昂贵的，因此第三章考察了非相干解调，其最佳应用实例就是话音信道的数字传输，它具有相对较大的用模拟性能标准来衡量的信噪比。利用包络检测来避开相干检测中的同步问题，从而得到次优性能的非相干OOK和FSK系统。接着考察了含有相位比较检测的差分相干PSK系统。对于以上的三种情况，必须首先分析含有带通噪声的正弦曲线包络。

最后研究采用相干或相位比较检测的M元调制系统性能，通常以正交载波的形式。此处主要是为了提高调制速度，例如QAM和相关的正交载波方法，以及M元PSK和M元QAM调制方式。这些是最适合于在电话线和带限信道上进行数字传输的调制类型。

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参考文献

1 2 3 4 5 6 7 8 9

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