(解析版)
一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．已知抛物线y=ax2（a＞0）的焦点到准线距离为1，则a=（ ） A．4
B．2
C． D．
的焦点到渐近线的距离为（ ） C．
D．1
（t为参数）表示的曲线是（ ）
2．双曲线A．
B．2
3．方程
A．双曲线 B．双曲线的上支 C．双曲线的下支 D．圆 4．已知0＜θ＜
，则双曲线
与C2：
﹣
=1的（ ）
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等
D．离心率相等
5．若正数x，y满足xy2=4，则x+2y的最小值是（ ） A．3
B．
C．4
D．
6．下列命题：其中正确命题的个数是（ ） （1）“若a≤b，则am2≤bm2”的逆命题； （2）“全等三角形面积相等”的否命题；
（3）“若a＞1，则关于x的不等式ax2≥0的解集为R”的逆否命题； （4）“命题“p∨q为假”是命题“p∧q为假”的充分不必要条件” A．1
B．2
C．3
D．4
7．设F1、F2是椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=﹣
上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则C的离心率为（ ） A． B． C． D．
8．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若A． B．3
=4
，则|QF|=（ ）
C． D．2
的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭
9．已知椭圆E：
圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（ ） A．
B．
C． D．
10．已知M（x0，y0）是双曲线C：点，若A．C．
=1上的一点，F1，F2是C的两个焦
＜0，则y0的取值范围是（ ） B． D．
11．B两点，E两点．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、交C的准线于D、已知|AB|=4A．2
，|DE|=2
C．6
，则C的焦点到准线的距离为（ ） D．8 +
=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不
B．4
12．已知椭圆C1：
存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（ ） A．（0，
） B．（0，
） C．[
，1） D．[
，1）
二、填空题：本大题有6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷的相应位置.
13．设x∈Z，集合A是奇数集，集B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B；则命题p的否定是 ．
14．过抛物线x2=8y焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点M的纵坐标为4，则|AB|= ．
15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为 ． 16．已知F是双曲线
的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动
点，则|PF|+|PA|的最小值为 ．
17．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为 米．
18．△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是 ．
三、解答题：本大题有5题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（12分）已知命题p：方程
=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：
双曲线=1的离心率e∈（）．若p或q为真命题，p且q为假
命题，求实数m的取值范围．
20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点Q（1，2），P是动点，且△POQ的三边所在直线的斜率满足
+
=
．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）过点F（1，0）作倾斜角为60°的直线L，交曲线C于A，B两点，求△AOB的面积．
21．（14分）已知椭圆C：为2，离心率e=
．
=1（a＞b＞0）的顶点B到左焦点F1的距离
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点A为椭圆C的右頂点，过点A作互相垂直的两条射线，与椭圆C分別交于不同的两点M，N（M，N不与左、右顶点重合），试判断直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标； 若不过定点，请说明理由．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为数），M为C1上的动点，P点满足（Ⅰ）求C2的普通方程；
（Ⅱ） 设点（x，y）在曲线C2上，求x+2y的取值范围．
=2
，点P的轨迹为曲线C2．
（α为参
[选修4-5：不等式选讲]
23．（12分）已知函数f（x）=|x+1|． （I）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；
（Ⅱ）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．
2016-2017学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．已知抛物线y=ax2（a＞0）的焦点到准线距离为1，则a=（ ） A．4
B．2
C． D．
【考点】抛物线的简单性质． 【分析】抛物线y=ax2（a＞0）化为
，可得
．再利用抛物线y=ax2
（a＞0）的焦点到准线的距离为1，即可得出结论． 【解答】解：抛物线方程化为∴
，
，
，
∴焦点到准线距离为∴
，
故选D．
【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2．双曲线A．
B．2
C．
的焦点到渐近线的距离为（ ） D．1
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．
【解答】解：由题得：其焦点坐标为（﹣4，0），（4，0），渐近线方程为y=
±x
=2
．
所以焦点到其渐近线的距离d=故选：A
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题． 3．方程
（t为参数）表示的曲线是（ ）
A．双曲线 B．双曲线的上支 C．双曲线的下支 D．圆 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】方程
（t为参数），消去参数，即可得出表示的曲线．
【解答】解：
（t为参数），可得x+y=2•2t，y﹣x=2•2﹣t，
∴（x+y）（y﹣x）=4（y＞x＞0），即y2﹣x2=4（y＞x＞0）， ∴方程故选B．
【点评】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查学生的计算能力，比较基础．
（t为参数）表示的曲线是双曲线的上支，
4．已知0＜θ＜
，则双曲线
与C2：
﹣
=1的（ ）
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同，即可得出正确答案．
D．离心率相等
【解答】解：双曲线的实轴长为2cosθ，虚轴长2sinθ，
焦距2，离心率双曲线
焦距2tanθ，离心率
，
的实轴长为2sinθ，虚轴长2sinθtanθ，
，
故它们的离心率相同． 故选D．
【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等，属于基础题．
5．若正数x，y满足xy2=4，则x+2y的最小值是（ ） A．3
B．
C．4
D．
【考点】基本不等式．
【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵正数x，y满足xy2=4，∴x=
．
则x+2y=+2y=+y+y
，
=，当且仅当y=，x=2时取等号．
∴x+2y的最小值是故选：A．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．下列命题：其中正确命题的个数是（ ） （1）“若a≤b，则am2≤bm2”的逆命题； （2）“全等三角形面积相等”的否命题；
（3）“若a＞1，则关于x的不等式ax2≥0的解集为R”的逆否命题； （4）“命题“p∨q为假”是命题“p∧q为假”的充分不必要条件” A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】（1）原命题的逆命题为：“若am2≤bm2，则a≤b”，当m=0时不正确；
（2）原命题的否命题为：“不全等三角形面积不相等”，即可判断出正误； （3）由于原命题正确，因此其逆否命题也正确；
（4）“命题“p∨q为假”⇒命题“p∧q为假”，反之可能不成立，例如p与q中有一个为真，则p∨q为真，即可判断出正误．
【解答】解：（1）“若a≤b，则am2≤bm2”的逆命题为：“若am2≤bm2，则a≤b”，当m=0时不正确；
（2）“全等三角形面积相等”的否命题为：“不全等三角形面积不相等”，不正确；
（3）“若a＞1，则关于x的不等式ax2≥0的解集为R”正确，因此其逆否命题也正确；
（4）“命题“p∨q为假”⇒命题“p∧q为假”，反之可能不成立，例如p与q中有一个为真，则p∨q为真．∴“命题“p∨q为假”是命题“p∧q为假”的充分不必要条件”，正确．
综上可知：正确的命题只有（3）（4）． 故选：B．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．设F1、F2是椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=﹣
上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，得|PF1|=|F1F2|且∠PF1F2=120°，设
交x轴于点M，可得|PF1|=2|F1M|，由此建立关于a、c的等式，解之
即可求得椭圆E的离心率． 【解答】解：设
交x轴于点M，
∵△F1PF2是底角为30°的等腰三角形
∴∠PF1F2=120°，|PF1|=|F2F1|，且|PF1|=2|F1M|．
∵P为直线∴2（﹣c+
上一点， ）=2c，解之得3a=4c
∴椭圆E的离心率为e== 故选：C
【点评】本题给出与椭圆有关的等腰三角形，在已知三角形形状的情况下求椭圆的离心率．着重考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．
8．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若A． B．3
=4
，则|QF|=（ ）
C． D．2
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求． 【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d， ∵
=4
，
∴|PQ|=3d，
∴不妨设直线PF的斜率为﹣∵F（2，0），
∴直线PF的方程为y=﹣2与y2=8x联立可得x=1， ∴|QF|=d=1+2=3， 故选：B．
（x﹣2），
=﹣2
，
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．
9．已知椭圆E：
的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭
圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（ ） A．
B．
C． D．
【考点】椭圆的标准方程．
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得
，利用“点差
法”可得
y1+y2=﹣2，．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，
利用斜率计算公式可得为a2=2b2，再利用c=3=
==．于是得到，化
，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
代入椭圆方程得，
相减得，
∴．
∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2， ==．
∴，
，解得a2=18，b2=9． ．
化为a2=2b2，又c=3=∴椭圆E的方程为故选D．
【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．
10．已知M（x0，y0）是双曲线C：点，若A．
D．
=1上的一点，F1，F2是C的两个焦
＜0，则y0的取值范围是（ ） B．
C．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0的取值范围． 【解答】解：由题意，﹣3+y02=3y02﹣1＜0， 所以﹣
＜y0＜
．
=（
﹣x0，﹣y0）•（﹣
﹣x0，﹣y0）=x02
故选：A．
【点评】本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．
11．B两点，E两点．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、交C的准线于D、已知|AB|=4A．2
，|DE|=2
C．6
，则C的焦点到准线的距离为（ ） D．8
B．4
【考点】圆与圆锥曲线的综合；抛物线的简单性质．
【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．
【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4|DE|=2xA=
，|DN|==，
，|ON|=，
，|AM|=2
，
|OD|=|OA|，
=
+5，
解得：p=4．
C的焦点到准线的距离为：4． 故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．
12．已知椭圆C1：
+
=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不
存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（ ） A．（0，
） B．（0，
） C．[
，1） D．[
，1）
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】作出简图，则＞【解答】解：由题意，如图
，则e=．
若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直， 由∠APO＞45°， 即sin∠APO＞sin45°， 即＞则e=故选A．
，
，
【点评】本题考查了椭圆的基本性质应用，属于基础题．
二、填空题：本大题有6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷的相应位置.
13．设x∈Z，集合A是奇数集，集B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B；则命题p的否定是 ¬p：∃x∈A，2x∉B ． 【考点】命题的否定．
【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题． 【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”， ∴命题p：∀x∈A，2x∈B 的否定是：¬p：∃x∈A，2x∉B； 故答案为：¬p：∃x∈A，2x∉B；
【点评】本小题主要考查命题的否定、命题的否定的应用等基础知识．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，
“存在性命题”的否定一定是“全称命所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，题”．
14．过抛物线x2=8y焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点M的纵坐标为4，则|AB|= 12 ． 【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用线段AB中点M的纵坐标为4，通过y1+y2+p求解即可．
【解答】解：抛物线x2=8y焦点F（0，2），过抛物线x2=8y焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点M的纵坐标为4，可得y1+y2=8． 则|AB|=y1+y2+p=8+4=12， 故答案为：12；
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．
15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为 【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线方程为x2﹣y2=1，可得焦距F1F2=2
，因为PF1⊥PF2，所以
．
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．再结合双曲线的定义，得到|PF1|﹣|PF2|=±2，最后联解、配方，可得（|PF1|+|PF2|）2=12，从而得到|PF1|+|PF2|的值为【解答】解：∵PF1⊥PF2， ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2． ∵双曲线方程为x2﹣y2=1， ∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8
又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，
∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4
因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12 ∴|PF1|+|PF2|的值为
．
故答案为：
【点评】本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和，着重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于基础题．
16．已知F是双曲线
的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动
点，则|PF|+|PA|的最小值为 9 ．
【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；双曲线的应用．
【分析】根据A点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得a，进而根据PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加求得答案．
【解答】解：∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（4，0）， ∴由双曲线性质|PF|﹣|PF′|=2a=4 而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5
两式相加得|PF|+|PA|≥9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立． 故答案为9．
【点评】本题主要考查了双曲线的定义，考查了学生对双曲线定义的灵活运用．
17．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为 2
米．
【考点】抛物线的应用．
【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．
【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my， 将A（2，﹣2）代入x2=my， 得m=﹣2
∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=故水面宽为2故答案为：2
m． ．
，
【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题 的能力．
18．△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是
﹣
=1（x＞3） ．
【考点】轨迹方程．
【分析】根据图可得：|CA|﹣|CB|为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得． 【解答】解：如图，△ABC与圆的切点分别为E、F、G， 则有|AE|=|AG|=8，|BF|=|BG|=2，|CE|=|CF|， 所以|CA|﹣|CB|=8﹣2=6．
根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为
﹣
=1（x＞3）．
故答案为：﹣=1（x＞3）．
【点评】本题考查轨迹方程，利用的是定义法，定义法：若动点轨迹的条件符合
某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．
三、解答题：本大题有5题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（12分）（2008秋•泰州期末）已知命题p：方程
=1表示焦点在
y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离心率e∈（）．若p或q
为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质；复合命题的真假；双曲线的简单性质．
【分析】由p真与q真分别求得m的范围，利用复合命题的真假判断即可求得符合题意的实数m的取值范围．
【解答】解：p真，则有9﹣m＞2m＞0，即0＜m＜3…2分 q真，则有m＞0，且e2=1+即＜m＜5…4分
若p或q为真命题，p且q为假命题，则p、q一真一假．
①若p真、q假，则0＜m＜3，且m≥5或m≤，即0＜m≤；…6分 ②若p假、q真，则m≥3或m≤0，且＜m＜5，即3≤m＜5…8分 故实数m的取值范围为0＜m≤或3≤m＜5…10分
【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查复合命题的真假判断，考查集
=1+∈（，2），
合的交补运算，属于中档题．
20．（10分）（2016秋•马尾区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点Q（1，2），P是动点，且△POQ的三边所在直线的斜率满足（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）过点F（1，0）作倾斜角为60°的直线L，交曲线C于A，B两点，求△AOB的面积．
【考点】轨迹方程． 【分析】（1）由
+
=
，得
，即可求点P的轨迹C的方程；
+=．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），过F倾斜角为60°的直线L：y=与抛物线方程联立得：y2﹣
（x﹣1），
y﹣4=0，利用韦达定理，即可求△AOB的面积．
【解答】解：（1）设点P的坐标为P（x，y），则kOP=，kOQ=2，kPQ=由
+
=
，得
．
，
整理得点P的轨迹的方程为：y2=4x（y≠0，y≠2）；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），过F倾斜角为60°的直线L：y=与抛物线方程联立得：y2﹣∴S=
=
．
y﹣4=0，则y1+y2=
，y1y2=﹣4，
（x﹣1），
【点评】本题考查斜率的计算，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．
21．（14分）（2016秋•马尾区校级期末）已知椭圆C：的顶点B到左焦点F1的距离为2，离心率e=（1）求椭圆C的方程；
（2）若点A为椭圆C的右頂点，过点A作互相垂直的两条射线，与椭圆C分別交于不同的两点M，N（M，N不与左、右顶点重合），试判断直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标； 若不过定点，请说明理由．
．
=1（a＞b＞0）
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由已知列出关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线MN的斜率不存在时，△MNA为等腰直角三角形，求出M的坐标，可得直线MN过点
；
当直线的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+m，联立直线方程和椭圆方程，得（1+k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由判别式大于0可得4k2﹣m2+1＞0，再由AM⊥AN，且椭圆的右顶点A为（2，0），由向量数量积为0解得m=﹣2k或然后分类求得直线MN的方程得答案．
，
【解答】解：（1）由题意可知：，
解得：
故椭圆的标准方程为
，
；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）， 当直线MN的斜率不存在时，MN⊥x轴， △MNA为等腰直角三角形， ∴|y1|=|2﹣x1|， 又
M，N不与左、，右顶点重合，解得
，此时，直线MN过点
；
当直线的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+m，
由方程组
，得（1+k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
△=（8km）2﹣4（1+k2）（4m2﹣4）＞0，整理得4k2﹣m2+1＞0，
．
由已知AM⊥AN，且椭圆的右顶点A为（2，0）， ∴
，
，
即
整理得5m2+16km+12k2=0，解得m=﹣2k或立．
当m=﹣2k时，直线l的方程y=kx﹣2k过顶点（2，0），与题意矛盾舍去． 当
时，直线l的方程
．
，过定点
，
，
，均满足△=4k2﹣m2+1＞0成
故直线过定点，且定点是
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查计算能力，是中档题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（12分）（2016秋•马尾区校级期末）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参
数方程为
的轨迹为曲线C2．
（α为参数），M为C1上的动点，P点满足
=2，点P
（Ⅰ）求C2的普通方程；
（Ⅱ） 设点（x，y）在曲线C2上，求x+2y的取值范围． 【考点】参数方程化成普通方程；轨迹方程．
【分析】（Ⅰ）设点的坐标为p（x，y），根据题意，用x、y表示出点M的坐标，然后根据M是C1上的动点，代入求出C2的参数方程即可； （Ⅱ）令x=3cosθ，y=2sinθ，则x+2y=3cosθ+4sinθ=5（（θ+φ）即可，
【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），则由条件知M（
）．由于M点在C1
）=5sin
上，所以，即，消去参数α得
即C2的普通方程为
（Ⅱ） 由椭圆的参数方程可得x=3cosθ，y=2sinθ， 则x+2y=3cosθ+4sinθ=5（
）=5sin（θ+φ），
其中tanφ=．∴x+2y的取值范围是[﹣5，5]．
【点评】本题考查轨迹方程的求解，及参数方程的应用，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．（12分）（2016•福建模拟）已知函数f（x）=|x+1|． （I）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；
（Ⅱ）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）． 【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（I）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由题意可得|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，化简f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]为|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，从而证得不等式成立．
【解答】解：（I）不等式f（x）＜|2x+1|﹣1，即|x+1|＜|2x+1|﹣1， ∴
①，或
②，或
③．
解①求得x＜﹣1；解②求得x∈∅；解③求得x＞1． 故要求的不等式的解集M={x|x＜﹣1或 x＞1}． （Ⅱ）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0， 则 f（ab）=|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）=|a+1|﹣|﹣b+1|．
∴f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]=f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）=|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1| =|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1| =|b|•|a+1|﹣|a+1|=|a+1|•（|b|﹣1|）＞0， 故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，属于中档题．
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