圆知识的运用——动点求最值

安庆第二中学 何荣荣

一．教学目标

1.知识与技能：了解动点问题关键：动静结合，确定图形。利用所学圆的知识转化问题，解决问题。

2.过程与方法：认识数形结合思想，转化思想在数学中的运用。

3.情感态度与价值观：通过学们积极参与数学学习的活动，初步形成乐于探究的态度，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。

二．教学重难点

1.重点：化动为静，确定出最值时的静态图形。

2.难点：如何利用已知条件与现有圆的知识，转化问题，解决动点最值问题。

三．教学过程

（一）例题讲解：

0AOB90,OAOB32,O的半径为1，点Q是O上例1：如图，在Rt∆AOB中，

的动点，过点Q作O的一条切线交AB于P，求切线长PQ的最小值。

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问1：PQ是切线，回顾切线有何性质？（垂直）

问2：具体的垂直关系是什么？（OQ与PQ垂直）

问3：有了垂直，能联想到什么？如何利用垂直关系？（直角三角形）

问4：直角三角形OPQ中，PQ与哪些线段有关系？（OP,OQ）

22PQOPOQ问5：能否用关系式表示它们之间的关系？（）

问6：对关系式进行分析，要使得PQ最短，可以转化为什么？（OP最短）

问7：PQ何时最短，此是P在何处？依据是什么？

【设计意图】通过层层递进的问题串让学生利用圆的知识将动态问题转化为静态问题，找出与线段相关的另外两条线段，再利用勾股定理、垂线段最短等知识分析问题、转化问题、解决问题。并辅助几何画板加以验证，让学生更有直观上的体会。

板书解答。

例2 ：（2016年安徽中考题）

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如图，RtABC中，ABBC,AB6,BC4,P是ABC内部的一个动点,且满足

PABPBC.求线段CP长的最小值。

问1：题中的条件PABPBC，能否从中得出什么更有用的信息？（直角）

问2：有了直角，能否像例1中那样，利用勾股定理解决问题？为什么？（不能）

问3：例1的 P点的运动路径已知，而本题中的P点运动路径未知，那可能是什么呢？

问4：请说明理由。

问5：P位于何处时，CP长最小？（AB的中点O与C与P共线时）

问6：为什么不共线时，CP长不是最小？说明与CP相关的线段有哪些？它们之间有何数量关系？

板书解答。

【设计意图】例1的动点轨迹已给出，但例2的动点线路未知。对于此类问题，要让学生从变中找不变，发现P点的轨迹，利用所学圆的知识，发现P点其实在圆上运动，得

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出与所求线段相关的另两条线段，转化成三条线段的之间的关系，利用三边之和大于第三边，两点之间线段最短等知识解决问题。

（二）练习：

练1：（安徽省2015年中考题）

在O中，直径AB=6，BC是弦，ABC30，点P在BC上，点Q在O上，且OP

0┴PQ

（2）当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值。

【设计意图】例1的类似练习。

练2 ：（2016年安庆市一模）

如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=2，点D是边AC的中点，点E是斜边AB上的动点，将△ADE沿DE所在的直线折叠得到△Ａ'DE。连接Ａ'B，当点E在边AB上移动时，求Ａ'B长的最小值

4

BECDA

【设计意图】例2的类似练习，利用问题串步步深入，解决问题。

（三）总结

1、在动态问题中，根据题意找到量与量之间的关系（等量关系或不等关系）。

2、动点的路径未知时，要先探究动点的轨迹，并确定最值时图象所对应的特殊位置。

3、相关知识点：圆的定义；切线的性质；直角所对的弦是直径；勾股定理；垂线段最短；两点之间线段最短（或三边关系）等。

四．作业

思考 （2011年安徽中考题）

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°<θ<180°），得到△A'B'C.

若AC的中点为E，A'B'的中点为P，AC=a，连接EP，当θ为多少度时，EP的长度最大，最大值为多少

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AEθA'PB五．板书

例1 小结：1

2

3

C 动点求最值

练1 B'

例2 6

练2