中考最值问题讲义

中考最值问题讲义

“最值”问题：就是求一个变量在某范围内取最大或最小值的问题。与几何有关的最小值（或最大值）问题，是几何计算问题的重要题型.由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法． 1.求最值问题的基本方法：

（1）特殊位置与极端位置法； （2）利用函数模型求最值 （3）几何定理（公理）法；

① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ② 两点间线段最短；

③ 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④ 定圆中的所有弦中，直径最长。

1.已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（-1，1），则ab有 A．最大值 1 B．最大值2 C．最小值0 D．最小值1 42.如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=3，P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于（ ）.

33 B．6 C． D．23

223.在平面直角坐标系xOy中，点P在由直线yx3，直线y4和直线x1所围成的区域内或其边界上，点Q在x轴上，若点R的坐标为R(2,2)，则QPQR的最小值为（ ）.

A．

A．17 B．52 C．35 D．4 4.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线 l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值是 ．

5.如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是________；若将△ABP的PA边长改为22，另两边长度不变， 则点P到原点的最大距离变为________. A6.如图，在△AOB中，OA=OB=8，∠AOB=90°， 矩形CDEF的顶点C、D、F分别在边AO、OB、AB上.

C（1）若C、D恰好是边AO、OB的中点，矩形CDEF的面积为_______； （2）若tanCDO4，矩形CDEF面积的最大值为___________. 3DFEB7、在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上O一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为_______㎝（结果不取近似值）. 8、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PDPE的和最小，则这个最小值为（ ）

A D A．23 B．26 C．3 D．6

B

P E C

1

9、如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．

10、已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（ ） A、21717

B、

48C、 1717D、3

1717

11. 如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在

要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？

★、如图，在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝90º，AC＝5，BC＝4，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN，当点P在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动，若限定端点M、N分别在AB、AC边上（包括端点）移动，则线段AP长度的最大值与最小值的差为 ．

★、在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为(0°＜＜180°)，得到△A1B1C．设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连接EP．当＝ °时，EP的长度最大，最大值为 ．

★、以数轴上的原点O为圆心， 3为半径的扇形中，圆心角∠AOB=90°， 另一个扇形是以点P 为圆心， 5为半径，圆心角∠CPD=60°，点P 在数轴上表示实数a，如图，如果两个扇形的圆弧部分( 弧AB和弧CD )相交,那么实数 a的取值范围是 ．

★如图，⊙O的半径为1，点A是半圆上的一个三等分点，点B是AN

MABOPN 的中点，P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为__________.

2

★如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．

12.如图，在△ABC中，BC=3，AC=2，P为BC边上一个动点，过点P作PD∥AB，交AC于点D，连结BD．

（1）如图1，若∠C=45°，请直接写出：当

BP= 时，△BDP的面积最大； PC（2）如图2，若∠C=α为任意锐角，则当点P在BC上 时，△BDP的面积最大？

A

AD D CBBCP P图2图1

13.已知，如图，抛物线yax2bx4(a0)与y轴交于点C，与x轴交

0)，对称轴是x1． 于点A，B，点A的坐标为(4，（1）求该抛物线的解析式；

（2）点M是线段AB上的动点，过点M作MN∥AC，分别交y轴、BC于点P、N，连接CM．当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；

SCPN（3）在（2）的条件下，求的值.

SABC

14. 如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为y416，（0，4）. 动点P从A点出发，在AB边上匀速x，点A、D的坐标分别为（－4，0）

33运动. 动点Q从点B出发，在折线BCD上匀速运动，速度均为每秒1个单位长度. 当其中一个动点到达终

点时，另一动点也停止运动. 设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为S（不能构成△OPQ的动点除外）.

y （1）求出点C的坐标；

（2）求S随t变化的函数关系式； D C （3）当t为何值时，S有最大值？并求出这个最大值.

Q

A P B x O

15、定义一种变换：平移抛物线F1得到抛物线F2，使F2经过F1的顶点A．设F2的对称轴分别交F1，F2于点D，B，点C是点A关于直线BD的对称点．

3

（1）如图1，若F1：yx，经过变换后，得到F2：yxbx，点C的坐标为(2，0)， 则①b的值等于______________；②四边形ABCD为（ ） A．平行四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形

（2）如图2，若F1：yaxc，经过变换后，点B的坐标为(2，c1)，求△ABD的面积；

2221227xx，经过变换后，AC23，点P是直线AC上的动点，求点P333到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值．

（3）如图3，若F1：y

16、如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线yax2上．

(1) 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；

(2) 平移抛物线yax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．

① 当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；

② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

17．如图，把△OAB放置于平面直角坐标系xOy中，OAB90，OA2,AB负方向平移2OA的长度后得到△DCE.

4

3，把△OAB沿x轴的2

（1）若过原点的抛物线yax+bxc经过点B、E，求此抛物线的解析式；

（2）若点P在该抛物线上移动，当点P在第一象限内时，过点P作PQx轴于点Q，连结OP.若以O、

2P、Q为顶点的三角形与以B、C、E为顶点的三角形

相似，直接写出点P的坐标；

（3）若点M(-4，n) 在该抛物线上，平移抛物线，记平移后点M的对应点为M′，点B的对应点为B′．

当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形M′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

218．在平面直角坐标系xOy中，抛物线yxbxc经

y E B D C O A x 0）B0）过A（2，、（4，两点，直线y1 x2交y轴于点C，且过点D(8,m)．

2（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上找一点P，使CPDP的值最小，求出点P的坐标；

2（3）将抛物线yxbxc左右平移，记平移后点A的对应点为A'，点B

的对应点为B'，当四边形A'B'DC的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形A'B'DC周长的最小值．

19、如图，已知直线y11x1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线yx2bxc与直线交于A、22E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)。

⑴求该抛物线的解析式；

⑵动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。 ⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使|AMMC|的值最大，求出点M的坐标。

20、如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；

（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，

要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标． 121.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=. 点D在边AC上（不与A，C

2重合），连结BD，F为BD中点.

y E A D O F

C x B 5

（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1． 设CFkEF，则k = ；

（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE-DE=2CF；

（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值． AAA D

EE

D

F

F

CCCBBB

备图图1图2

22.已知抛物线C：yxm1x1的顶点在坐标轴上． ．．．

2（1）求m的值；

（2）m0时，抛物线C向下平移nn0个单位后与抛物线C1：yax2bxc关于y轴对称，且C1过点n,3，求C1的函数关系式；

（3）3m0时，抛物线C的顶点为M，且过点P1,y0．问在直线x1 上是否存在一点Q使得△QPM的周长最小，如果存在，求出点Q的坐标， 如果不存在，请说明理由．

23. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线yaxbx4经过A（－3,0）、B（4,0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD＝BC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速

度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动. （1）求该抛物线的解析式；

（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；

（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MA的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

24. （1）如图，要在燃气管道l上修建一个泵站分别向A、B两镇供气. 泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？请你在所给图中画出泵站P的位置，并保留作图痕迹； （2）已知a>0，b>0，且a+b=2，写出ma1b4的最小值； （3）已知a>0，b>0，写出以ab、a4b、4ab为边长的三角形的面积.

25．已知：在平面直角坐标系xoy中，抛物线yax4x5过点A（－1，0），对称轴与x轴交于点C，顶点为B． （1）求a的值及对称轴方程；

6

2222222222BAl

（2）设点P为射线BC上任意一点（B、C两点除外），过P作BC的垂线交直线AB于点D，连结PA．设△APD的面积为S，点P的纵坐标为m，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； （3）设直线AB与y轴的交点为E，如果某一动点Q从E点出发，到抛物线对称轴上某点F，再到x轴上某点M，从M再回到点E．如何运动路径最短？请在直角坐标系中画出最短路径，并写出点M的坐标和运动的最短距离．

26．如图，二次函数y=ax2+2ax+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，∠CBO的正切值是2．

(1)求此二次函数的解析式．

(2)动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终止运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点． ①直接写出点P所经过的路线长．

②点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E、作DF⊥AB于点F，连接PE、PF，在旋转过程中，∠EPF的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF 的度数；若变化，请说明理由． ③在②的条件下，连接EF，求EF的最小值． y C xAOB

27. 如图，在平面直角坐标系xOy中,二次函数y点, 顶点为C.

(1) 求此二次函数解析式；

(2) 点D为点C关于x轴的对称点，过点A作直线l：y3x3交BD于点E，过点B作直线BK∥AD33交直线l于K点.问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等，若

存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3) 在（2）的条件下，若M、N分别为直线AD和直线l上的两个动点，连结DN、NM、MK，求DNNMMK和的最小值.

28.如图，抛物线yaxax6a与x轴交于A、B两点(B在A右侧)，与y轴交于点C. （1）求A、B两点坐标；

（2）若AD平分∠CAB, 交CB于D, 且ADCB，求抛物线及直线AD的解析式； （3）若点G、C关于x轴对称，直线GB交（2）中直线AD于点K, M、N

分别为直线 AC 和直线AK上的两个动点，连接 CN、NM、MK，求CN+NM+MK 的最小值.

29．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，以点P（2，3）为圆心的圆与y轴相切于点A，与x轴相交于B、C两点（点B在点C的左边）．

7

232xbxc的图象与x轴交于A（-1,0）、B（3,0）两2

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）在（1）中的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的

1．如果 2存在，请直接写出所有满足条件的M点的坐标；如果若不存在，请说明理由；

（3）如果一个动点D自点P出发，先到达y轴上的某点，再到达x轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q处，求使点D运动的总路径最短的路径的长．.

30.在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数yax+2axc的图像与y轴交于点C(0,3)，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(-3,0)

（1） 求二次函数的解析式及顶点D的坐标；

（2） 点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:2的两部分，求出此时点M的坐标；

（3） 点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△CPB的面积最大？最大面积是多少？并求出 此时点P的坐标.

y 231.已知：抛物线yaxbxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． 其

中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA22A F O D B x E 直线x1．

（1）求A、B、C三点的坐标；

C （2）求此抛物线的解析式；

（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE

∥BC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．

32．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A．C．D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=

4． 5（1）求过A．C．D三点的抛物线的解析式； （2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；

（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．

33．如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△ECD分别置于平面直

y 角坐标系xOy中，使点E与点B重合，直角边OB、BC在y轴上．已

B(E) 知点D (4，2)，过A、D两点的直线交y轴于点F．若△ECD沿DA方向以每秒2个单位长度的速度匀速平移，设平移的时间为，记△ECD在平移过程中某时刻为△E'C'D'， E'D'与t（秒）

C J D A x 8

O F

AB交于点M，与y轴交于点N， C'D'与AB交于点Q，与y轴交于点P(注：平移过程中，点D'始终在线段DA上，且不与点A重合). （1）求直线AD的函数解析式； （2）试探究在△ECD平移过程中，四边形MNPQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及t的取值；若不存在，请说明理由；

（3）以MN为边，在E'D'的下方作正方形MNRH，求正方形MNRH与坐标轴有两个公共点时t的取值范围． y3218xx3和y轴的交点为A,M为OA的55中点，若有一动点P，自M点处出发，沿直线运动到x轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F的坐标，并求

34. 如图（1），抛物线y出这个最短路程的长。

A F M

34.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为

OE x1A6,0，B6,0，C0,43，延长AC到点D,使CD=AC,过点D作DE∥AB交BC的延长线于

2点E.

（1）求D点的坐标；

（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线ykxb将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；

（3）设G为y轴上一点，点P从直线ykxb与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）

36、如图（1），直线y3x2与x轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，⊙A经过点B和点O，直线BC交⊙A于点D。 （1）求点D的坐标； （2）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PO与PD之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标。若不存在，请说明理由。

y

9

B

37．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y12xbxc与x轴交于A、B 两点（点A在原点的左侧，2点B在原点的右侧），与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点E在第一象限内的此抛物线上，且OE⊥BC于D，求点E的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PA与PE之差的值最大？若存在，请求出这个最大

值和点P的坐标；若不存在，请说明理由．

38．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5，以点B为圆心，以2为半径作圆.

⑴设点P为☉B上的一个动点，线段CP绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CD，联结DA，DB，PB，如图2．求证：AD=BP；

⑵在⑴的条件下，若∠CPB=135°，则BD=___________； ⑶在⑴的条件下，当∠PBC=_______° 时，BD有最大值，且最大值为__________； 当∠PBC=_________° 时，BD有最小值，且最小值为__________．

P

C BCB

DA

A

图1 图2

10