高中数学新课 立体几何 教案 (14)

课 题：9．5空间向量及其运算(二)

教学目的：

⒈了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法； ⒉理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件； ⒊会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．

教学重点：点在已知平面内的充要条件．共线、共面定理及其应用． 教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用． 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、复习引入：

1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）

bCbOaaBbA

OBOAABab;BAOAOBab;OPa(R)

运算律：⑴加法交换律：abba

⑵加法结合律：(ab)ca(bc)

⑶数乘分配律：(ab)ab

3．平行六面体：

AD'A'B'C'aDCB

平行四边形ABCD平移向量a到ABCD的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD－ABCD它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 4. 平面向量共线定理

方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．

a向量b与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.

这个定理称为平面向量共线定理，要注意其中对向量a的非零要求．

二、讲解新课： 1 共线向量

与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重

合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作a//b．

和上节我们学习的空间向量的定义、表示方法、空间向量的相等以及空间向量的加减与数乘运算和运算律都是平面向量的推广一样，空间向量共线（平行）的定义也是平面向量相关知识的推广．

当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的

直线可能是同一直线，也可能是平行直线． 2．共线向量定理及其推论：

共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是

存在实数λ，使a＝λb.

推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式

OPOAta．

其中向量a叫做直线l的方向向量.

由于空间中任意两个向量都是共面的，所以上述定理和推论仍然是平面向量有关定理的推广，因此它们的证明只是需要先确定一个平面，转化为平面向量问题即可． 推论证明如下：

∵ l//a

∴ 对于l上任意一点P，存在唯一的实数t，使得APta．(*) 又∵ 对于空间任意一点O，有APOPOA，



∴ OPOAta OPOAta． ① 若在l上取ABa，则有OPOAtAB．(**) 又∵ ABOBOA

∴ OPOAt(OBOA)(1t)OAtOB．②

11OP(OAOB)．③ 当t时，

22⑴表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公

式．事实上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式．

⑵表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式． ⑶推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定． 3．向量与平面平行：

已知平面和向量a，作OAa，如果直线OA平行

于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：a//．

通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的 4．共面向量定理：

aaa,b共面的充要条件是存在实数x,y使

pxayb 证明：（充分性）设向量a,b不共线，p与向量a,b共面，根据平面向量的基本定

理，一定存在实数x,y使pxayb 如果两个向量a,b不共线，p与向量

MbaBAA'pPOpxayb 取空间任意一点M，作MAa,MBb,MA'xa,'AP，则ybMPxaybp，于是点P在

平面MAB内，向量p//平面MAB. 即p与向量a,b共面.

（必要性）设存在实数x,y使

推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，

使MPxMAyMB ①

或对空间任一点O，有OPOMxMAyMB ②

或OPxOAyOBzOM,(xyz1) ③

上面①式叫做平面MAB的向量表达式 三、讲解范例：

例1 已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件：

122OPOAOBOC，

555试判断：点P与A,B,C是否一定共面？

解：由题意：5OPOA2OB2OC，

∴(OPOA)2(OBOP)2(OCOP)， ∴AP2PB2PC，即PA2PB2PC，

所以，点P与A,B,C共面 说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算 例2．已知ABCD，从平面AC外一点O引向量

OEkOA,OFkOB,OGkOC,OHkOD，

（1）求证：四点E,F,G,H共面； （2）平面AC//平面EG．

O D A C B 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴ACABAD， E ∵EGOGOE，

kOCkOAk(OCOA)kACk(ABAD)k(OBOAODOA)OFOEOHOE EFEH∴E,F,G,H共面；

H F G

（2）∵EFOFOEk(OBOA)kAB，又∵EGkAC，

∴EF//AB,EG//AC

所以，平面AC//平面EG． 四、课堂练习：

对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式：

OPxOAyOBzOC（其中xyz1）的四点P,A,B,C是否共面？ 解：∵OP(1zy)OAyOBzOC， ∴OPOAy(OBOA)z(OCOA)， ∴APyABzAC，∴点P与点A,B,C共面 五、小结 ：空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同，都是平面向量相关知识的推广．向量平行于平面和直线平行于平面是不同的，要注意其共同点与不同点；共面向量定理中，条件的必要性实际上就是平面向量基本定理，该定理说的是三个向量共面的性质，它在空间中也成立；共面向量定理的推论通常用于解决四点共面问题． 六、课后作业：

1．已知两个非零向量e1,e2不共线，如果ABe1e2，AC2e18e2，AD3e13e2，求证：A,B,C,D共面 证明：∵ABe1e2，AC2e18e2，AD3e13e2，

∴AD3e13e25(e1e2)(2e18e2)5ABAC ∴A,B,C,D共面 2．已知a3m2n4p,b(x1)m8n2yp，a0，若a//b，求实数

x,y的值 解：∵a//b ∴3m2n4p[(x1)m8n2yp]

A1D1FEHB1C1G∴(x1)3,82,2y4

DCB∴x13,y8.

A3．如图，E,F,G,H分别为正方体AC1的棱A1B1,A1D1,B1C1,DC11的中点， 求证：（1）E,F,D,B四点共面；（2）平面AEF//平面

A

BDHG．

B

E H D

G

F C

4．已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点， （1）用向量法证明：E,F,G,H四点共面； （2）用向量法证明：BD//平面EFGH． 七、板书设计（略） 八、课后记：