2021年新高考数学总复习：幂函数与二次函数(附答案解析)

1．(多选题)已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋1在区间(2，3)上是单调函数，则实数a的取值范围可以是( )

A．(－∞，2] C．[3，＋∞)

B．[2，3] D．[－3，－2]

解析：f(x)图象的对称轴为x＝a，

若f(x)在(2，3)上单调递增，则a≤2，若f(x)在(2，3)上单调递减，则a≥3，

因此选项A、C、D满足． 答案：ACD

2．已知p：|m＋1|<1，q：幂函数y＝(m2－m－1)xm在(0，＋∞)上单调递减，则p是q的( )

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析：p：由|m＋1|<1得－2q：因为幂函数y＝(m2－m－1)xm在(0，＋∞)上单调递减． 所以m2－m－1＝1，且m<0，解得m＝－1. 所以p是q的必要不充分条件． 答案：B

3．(2017·浙江卷)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( )

A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 解析：设x1，x2分别是函数f(x)在[0，1]上的最小值点与最大值点，

2则m＝x21＋ax1＋b，M＝x2＋ax2＋b.

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2

所以M－m＝x22－x1＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关．

答案：B

4．(2020·广东揭阳一中检测)定义在R上的函数f(x)＝－x3＋m与函数g(x)＝f(x)＋x3＋x2－kx在[－1，1]是具有相同的单调性，则k的取值范围是( )

A．(－∞，－2) C．[－2，2]

B．[2，＋∞)

D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

解析：易知f(x)＝－x3＋m在R上是减函数．

依题设，函数g(x)＝x2－kx＋m在[－1，1]上单调递减， k所以抛物线的对称轴≥1，所以k≥2.

2答案：B

5．(多选题)已知定义在[1－a，2a－5]上的偶函数f(x)在[0，2a－5]上单调递增，则函数f(x)的解析式可能是( )

A．f(x)＝x2＋a C．f(x)＝xa

B．f(x)＝－a|x| D．f(x)＝|x－a|

解析：因为函数f(x)是定义在[1－a，2a－5]上的偶函数，所以1－a＋2a－5＝0，解得a＝4，所以函数f(x)的定义域是[－3，3]．研究的区间是[0，3]，从而能够得到A，C项对应的函数都满足在[0，3]上是增函数，B项f(x)＝－a|x|在[0，3]上是减函数，D项不是偶函数，故选AC.

答案：AC

6．(2020·荆州质检)若对任意x∈[a，a＋2]均有(3x＋a)3≤8x3，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，－2] C．(－∞，0]

B．(－∞，－1] D．[0，＋∞)

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解析：因为y＝x3在R上是增函数， 由(3x＋a)3≤8x3，得3x＋a≤2x，即x≤－a， 所以∀x∈[a，a＋2]时，x≤－a恒成立． 所以a＋2≤－a，因此a≤－1. 答案：B

1

7．已知幂函数f(x)＝x的图象过点2，2，则函数g(x)＝(x－1)f(x)



a

1

在区间2，2上的最小值是________，最大值为________． 

1

解析：由f(x)＝x的图象过点2，2， 

α

1

得2＝，知a＝－1，

2

a

x－111

所以g(x)＝＝1－在2，2上单调递增，

xx1

所以g(x)min＝1－2＝－1，g(x)max＝g(2)＝.

21

答案：－1

2

1

8．已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝，则当f(a)＝4f(a＋3)时，实

2数a等于________．

11

解析：设f(x)＝x，则4＝，所以a＝－.

22

a

a

1111

因此f(x)＝x－，从而a－＝4(a＋3)－，解得a＝.

22251

答案： 5

9．设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围为________．

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22

解析：由题意得a>－2对1xx

11211122

又－2＝－2x－2＋，<<1， xx24x2211所以x－x2max＝，所以a>.

221

答案：2，＋∞ 

10．已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.

(1)求m的值；

(2)当x∈[1，2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．

解：(1)依题意得：(m－1)2＝1⇒m＝0或m＝2，

当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，所以m＝0.

(2)由(1)得，f(x)＝x2，

当x∈[1，2)时，f(x)∈[1，4)，即A＝[1，4)， 当x∈[1，2)时，g(x)∈[2－k，4－k)， 即B＝[2－k，4－k)，

因p是q成立的必要条件，则B⊆A，

2－k≥1，k≤1，

则即得0≤k≤1. 4－k≤4，k≥0，

故实数k的取值范围是[0，1]．

[B级 能力提升]

11.幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图所示)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，

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线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有1

BM＝MN＝NA，那么a－＝( )

b

A．0 1C. 2

B．1 D．2

解析：因为BM＝MN＝NA，点A(1，0)，B(0，1)，

1221所以M3，3，N3，3， 

21

将两点坐标分别代入y＝x，y＝x，得a＝log1，b＝log2.

33

a

b

3

3

121

所以a－＝log1－＝0.

b31

log23

3

3

答案：A

12.右图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：

①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a解析：因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①

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b

正确．对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误．结合图象，

2a当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误．

由对称轴为x＝－1知，b＝2a.

根据抛物线开口向下，知a<0，所以5a<2a. 所以5a13．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式；

(2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围．

解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x. 所以2a＝2，且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1. 又f(0)＝1，所以c＝1.

因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.

(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，

所以在[－1，1]上，x2－x＋1＞2x＋m恒成立． 即x2－3x＋1＞m在区间[－1，1]上恒成立．

325

所以令g(x)＝x－3x＋1＝x－2－，

4

2

因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1， 所以m＜－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1)．

[C级 素养升华]

14．(多选题)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已

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知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．”根据已知消息，题中二次函数的图象具有的性质是( )

A．在x轴上截得的线段长是2 B．与y轴交于点(0，3) C．顶点为(2，－2) D．过点(3，0)

解析：因为函数图象过点(1，0)，且对称轴是直线x＝2，所以可求得函数的解析式为y＝x2－4x＋3.令y＝0，得x＝1或x＝3，所以在x轴上截得的线段长是2，故A正确；令x＝0，可得该函数图象与y轴的交点为(0，3)，故B正确；由函数的解析式可得其图象的顶点坐标为(2，－1)，故C错误；易知该函数图象与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，故D正确．

答案：ABD

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