雅可比行列式的应用

隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形, 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,

F(x,y,u,v)0  G(x,y,u,v)0uu(x,y) vv(x,y) 由 F、G 的偏导数组成的行列式 FuFv(F,G) JGvGu(u,v)

称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.

二：二重积分换元法

设f(x,y)在闭域D上连续,: 定理: 变换

xx(u,v)T:yy(u,v)

(u,v)DD(1)x(u,v),y(u,v)在D上满足： ，一阶导数连续

(x,y)J(u,v)0;（2）在D’上雅可比行列式

(u,v)

(3) 变换 T:DD是一一对应的 ,

J(u,v)dudv f(x,y)dxdyf(x(u,v),y(u,v))则： 面积元素 DD

三：三重积分的一般变量代换

xx(u,v,w)

yy(u,v,w)对于三重积分做出变量代换：

zz(u,v,w)

*

定义于 u v w 空间中的区域Ω 上，且满足:

**

(1) 函数 x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)在区域Ω上具有连续偏导数, 且任给 (u, v, w)∈Ω, 有

【这可以看作是由（r, s, t）空间到（x, y, z）空间的一种变换（或映射）关系。如果相关函数均具有连续的一阶偏导数，并且他们的雅可比行列式】

xxx

uvw D(x,y,z)yyyJ0 D(u,v,w)uvwzzz

uvw

*

(2) 函数组建立了区域Ω上的点与区域Ω上的点之间的一一对应关系, 则Ω在直角坐标系下的体积元dv变为：

D(x,y,z) dvdudvdwJdudvdwD(u,v,w)

因此有： f(x,y,z)dxdydz*f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))Jdudvdw

D(x,y,z)说明: 当Jacobi行列式 在区域的个别点或某条曲线、某块曲面上等于零, 而在其它点处均非零时, 换

D(u,v,w)元法仍然成立.

1