黄昆固体物理习题解答

1，使用德拜模型求晶体的零点振动能。 2证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K时振动能E0就是各振动模零点能之和。E0m0E0gd将E03V1和g232代入积分有

2vs2E03V994，由于Nk得ENkBD mmmBD0162vs3882一股晶体德拜温度为~10K，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟． 4.1，根据ka状态简并微扰结果，求出与E及E相应的波函数及?，并说明它们

2的特性．说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布说明能隙的来源(假设Vn=Vn)。

＜解＞令k*a，kak(x)Bk(x) ，简并微扰波函数为A000*E(k)EAVnB0

VnAE0kEB0 取EE

带入上式，其中EE0(k)Vn

V(x)<0,Vn0,从上式得到B= -A,于是

nxixAina2AnaA(x)(x)ee=sinx aLL0k0k取EE，EE0(k)Vn VnAVnB,得到AB

nxixAina2AnaA(x)(x)ee=cosx aLL0k0k 由教材可知，及均为驻波． 在驻波状态下，电子的平均速度(k)为零．产生驻波因为电子波矢kn22a时，电子波的波长，恰好满足布拉格发射条件，这akn时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入

能量。

1

2.1，马德隆常数的计算

＜解＞ 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r表示相邻离子间的距离，于是有

rj(1)11112[... ]rijr2r3r4r前边的因子2是因为存在着两个相等距离ri的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为 111

2[1...]2342xx3x4n(1x)x...

x34当X=1时，有1111...n2 2n2234 4.3， 电子在周期场中的势能．

1 b m2b2(xn)a2 , 当nabxna2 V(x) 0 ， 当(n-1)a+bxnab其中d＝4b，是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度．

＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示．

(2)势能的平均值：由图可见，V(x)是个以a为周期的周期函数，所以

2

11a1abV(x)V(x)V(x)dxV(x)dx

LLabab题设a4b，故积分上限应为ab3b，但由于在b,3b区间内V(x)0，故只需在

b,b区间内积分．这时，n0，于是

1bm2b2m222VV(x)dx(bx)dxbxbba2a2abb1x33bb12mb。 6（3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数

V(x)V0mm22bm1bmVmcosx,VmV(x)cosxdxV(x)cosxdx2b2b02bb02bm2第一个禁带宽度Eg12V1,以m1代入上式,Eg1b利用积分公式ucosmudub0(b2x2)cosx2bdx

2u2musinmu2cosmu3sinmu得 2mmEg116m23b2第二个禁带宽度Eg22V2,以m2代入上式,代入上式

b22m2Eg2b0(bx)cosxbdx再次利用积分公式有Eg22m22b2

3.3，考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交替为c和10 c．令两种原子质量相同，且最近邻间距为

a．求在vs1和k处的(k)．大略地画出色散关系．此问题模2a拟如H2这样的双原子分子晶体。

＜解＞ a/2 C 10c

    



us1 vs1 us vs us1 vs1

d2usMCVs1us10CVsus， 2dtd2VsM10CusVsCus1Vs,

dt2将

usue2isKaeikait,VsVeisKaeit.代入上式有

M2uC10eikaV11Cu,MVCe

10u11CV, 3

是U，v的线性齐次方程组，存在非零解的条件为

M211C,C(10eiKa)C(eiKa10),M211C =0，解出

M2422MC220C2(1conKa)0C11121201conKa.M2

当K=0时， 当K=/a时

222C/M,20,220C/M,

2C/M,2

2与K的关系如下图所示．这是一个双原子(例如H2)晶体

2.6，bcc和fcc Ne的结合能，用林纳德—琼斯(Lennard—Jones)势计算Ne在bcc和fcc结构中的结合能之比值．

＜解＞u(r)4()(),u(r)N(4)An()Al()

r2rrr1261126A62A1261du(r)6u0N0r02A62A12rrbccu(r0)bccA62A612.252/9.11()/()0.957

fccu(r0)fccA12A1214.452/12.13

2.7．对于H2，从气体的测量得到Lennard—Jones参数为5010J,2.96A.计算fcc结构的H2的结合能[以KJ/mol单位)，每个氢分子可当做球形来处理．结合能的实验值为0.751kJ／mo1，试与计算值比较．

＜解＞ 以H2为基团，组成fcc结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard—Jones势相互作用，则晶体的总相互作用能为：

612126U2NPijPij.

RRji6jP614.45392;Pij1212.13188,iji501016erg,2.96A,N6.0221023/mol. 4

将R0代入U得到平衡时的晶体总能量为1262.962.96U26。0221028/mol501016erg12.1314.452.55KJ/mol.3.163.16因此，计算得到的H2晶体的结合能为2．55KJ／mol，远大于实验观察值0.75lKJ／mo1．对于H2的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因．

4.8，证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大2倍．(b)对于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区面心上大多少？(c)(b)的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响7 ＜解＞（a）二维简单正方晶格的晶格常数为a，倒格子晶格基矢A第一布里渊区如图所示

2ˆ2ˆi,Bj aa a a 0 a 

a

区边中点的波矢为KAˆˆˆi,角顶B点的波矢为KBij.aaa22自由电子能量Kx2KyKz2,2m22222A点能量AKx2, 2m2ma2ma

22222222B点能量BKxKy2,所以B/A2

2m2maa2mab)简单立方晶格的晶格常数为a，倒格子基矢为A第一布里渊区如图7—2所示．

2aˆ2ˆ2i,Bj,Caaˆk,  5

2A点能量A;2ma2222222222B点能量BKxKyKz3,

2m2maaa2ma2所以B/A3

(c)如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图7—2所示．根据自由电子理

222论，自由电子的能量为KxKyKz2，FerM面应为球面．由(b)可知，内切于2m44点的内切球的体积

33，于是在K空间中，内切球内能容纳的电子数为a34V2N1.047N 其中VNa3 33a23二价金属每个原子可以提供2个自由电子，内切球内只能装下每原子1.047个电子，余下的0.953个电子可填入其它状态中．如果布里渊区边界上存在大的能量间隙，则余下的电子只能填满第一区内余下的所有状态(包括B点)．这样，晶体将只有绝缘体性质．然而由(b)可知，B点的能员比A点高很多，从能量上看，这种电子排列是不利的．事实上，对于二价金属，布里渊区边界上的能隙很小，对于三维晶体，可出现一区、二区能带重迭．这样，处于第一区角顶附近的高能态的电子可以“流向”第二区中的能量较低的状态，并形成横跨一、二区的球形Ferm面．因此，一区中有空态存在，而二区中有电子存在，从而具有导电功能．实际上，多数的二价金届具有六角密堆和面心立方结构，能带出现重达，所以可以导电．

4.12，正方晶格．设有二维正方晶格，晶体势为Ux,y4Ucos2x2ycos. aa用基本方程，近似求出布里渊区角,处的能隙． aaˆ,bˆˆ,ˆj表示位置矢量的单位矢量，以b ＜解＞以i12表示倒易矢量的单位矢量，则有，

6

ˆGbˆ2gbˆˆˆyiˆ,GG1b rxi12211g2b2,g1,g2为整数。a晶体势能Ux,y4Ucos2x2ycos.

aai2xi2xi2yi2yiG11UrUeeeeUeG11G11其中UG11U，而其他势能傅氏系数UG10UG20...0。这样基本方程

kCKUGG(KG)0变为

GKCKUG11CKG11UG11CKG11UG11CKG11UG11CKG110求布里渊区角顶111,，即kG(,)G11处的能隙，可利用双项平面波近似

222aa来处理。

C(K)eiKrC(KG)ei(KG)r当K11G11,KG11时依次有 2211KG11G11,KG11G11而其他的KG11，

22KG11G11，所以在双项平面波近似下上式中只有

11CG11,CKG11CG11;22 11CG11,CKG11CG11;22111G11CG11UCG110222111G11CG11UCG110222 12G11 u

u 1G112 =0，因为

212G111G1122122G112m2ma22222由行列式有()U0解得=UU,

ma2 7

所以在（,-）处的能隙为=+2u.

aa3.1，已知一维单原子链，其中第j个格波，在第n个格点引起的位移为，

njajsin(jt_naqjj)，j为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均

能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。

＜解＞任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即

nnjajsin(jtnaqjj) （1）

jj*2*njnjnjnjnj

jjjjj2n由于njnj数目非常大为数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2项与第一项相比是一小量，可以忽略不计。所以n2j2nj

由于nj是时间t的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为

2j1T0T00a2jsin(jtnaqjj)dt12aj （2） 2已知较高温度下的每个格波的能量为KT，nj的动能时间平均值为

1TnjT0L0dxT001dnj2wja2T01j222dtLasin(tnaq)dtwLajjjjjj 02dt2T04其中L是原子链的长度，使质量密度，T0为周期。 所以Tnj112w2LaKT （3） jj422因此将此式代入（2）式有njKT 2PLj2njjj所以每个原子的平均位移为 n2KTKT1 2PL2PLjjjqnqkBT 3.9,写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为FU0kBTq1q证明:量子谐振子的自由能为FUkBTn1ekBTq2kBT 经典极限意味着（温度较高）kBTg

8

应用ex1xx2... 所以eqkBTq1...

kBTkBTq2q1因此FUqkBTn11kBTq2q其中U0UqU0kBTnkBT 1q 2q3.11，一维复式格子m51.671024g,M4,1.5101N/m(即1.51104dyn/cm),m00A求（1），光学波max，声学波max。 ,min（2），相应声子能量是多少电子伏。 （3），在300k时的平均声子数。

0（4），与max相对应的电磁波波长在什么波段。

＜解＞（1），Axam221.5104dyn/cm3113.0010s, 24M451.671021.51044551.671024dyn/cm451.671051.67102424omax2MmMm6.701013s1

Amax221.5104dyn/cm1315.9910s 24m51.6710Amax6.5810165.991013s11.97102eVo（2）max6.5810166.701013s14.41102eV

omin6.5810163.001013s13.95102eV（3）nAmax1eAmax/kBT10.873,nOmax1eOmax/kBT10.221

Onmin1eOmin/kBT10.276

（4）2c28.1m

3.8，有N个相同原子组成的面积为S的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比与T。

证明：在k到kdk间的独立振动模式对应于平面中半径n到ndn间圆环的面积2ndn，

9

2L253skdkkdk即d则 且2ndn2222v33d23skT3skTkTkT3sdmDBBBBEE0/kBT/kBT2022D2ve12ve12v22T0时，ET3,Cv(E)sT2 T2xDDx2dx， ex17.1，InSb电子有效质量me0.015m，介电常数18，晶格常数a6.49A。试计算；(1)施主的电离能；(2)基态轨道的半径；(3)施主均匀分布，相邻杂质原于的轨道之间将产生交叠时掺有的施主浓度应该高于多少？

＜解＞（1）由于施主电离能ED是氢原子电离能Ei的

m* 倍，2m0EDm*Ei0.01413.6(eV)6.59104(eV) 2m0(17)420m0170.5228（2），a0a(A)6.3110(A)6.3110(m) 02m*em*0.014（3），如果施主的电子与类氢基态轨道发生重叠，则均匀分布于InSb中施主杂质浓度ND就一定满足(2a)ND1,ND(3131)4.981020(m2) 832a(26.3110)4.7,有一一维单原子链。间距为a。总长度为Na。求（1），用紧束缚近似求出原子s态能级对

应的能带E(k)函数。（2）求出其能态密度函数的表达式。（3），如果每个原子s态只有一个电

00子，求等于T=0K的费米能级EF及EF处的能态密度。

ikaika＜解＞(1),E(k)sJ0J1(ee)sJ02J1coskaE02J1coska

ikRsE(k)EJ0J(ps)e (2) ,N(E)2Ldk2Na1N2 2dE2J1asinkaJ1sinka(3), N0kF002NakFNa002(k)2dk22kFkF

22a 10

00EFE(kF)E2J1cos2a0aEs,N(EF)NJ1sin2aaN J14.2,写出一维近自由电子近似，第n个能带(n=1，2，3)中，简约波数k*k2a的0级波函数。

i2mx)x1ikx1ikx1i2axi2amx1i2a(m1a4eeeeee＜解＞(x) LLLL1i2ax0,m0,(x)e 第一能带：m2aL*k23ixixi221*,即m1,（ea=e2a）k(x)e2a 第二能带：bb则bb,maaLx221i2axi2ax1i5*2acc,m,即m1,(x)eee第三能带： kaaLL3.7，设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有(q)0Aq2 求证：f()V11/2,0;f()0,0. 042A3/22212＜解＞0时，0Aq0f()0,00AqqA依据q(q)2Aq,f()32012

Vds，并带入上边结果有

q(q)dsV1A1/2V11/2 f400331/2223/22q(q)22A02AV

11