随机过程实例分析

摘要：研究随机现象，主要是研究它的统计规律性，一种可行的方法就是采用

有限维分布函数族来刻画随机过程的统计规律性。利用随机过程的观点分析信号处理和检测方面的知识是可行的。利用周期图估计功率谱时，可以用随机过程的观点平滑噪声干扰；对于雷达信号的检测问题，可以利用假设干扰是随机高斯噪声，然后利用相关知识进行序贯检测，可以达到自适应检测的目的；随机过程在窄带条件下的应用之一，是可以根据干扰噪声的物理特性，导出混合高斯噪声模型的概率密度函数。

关键词：功率谱和周期图，序贯检测，窄带混合高斯噪声

随着科学技术的发展，我们必须对一些随机现象的变换过程进行研究，这就必须考虑无穷多个随机变量；而且解决问题的出发点不是随机变量的N个独立样本，而是无穷多个随机变量的一次具体观测。这时，我们必须用一族随机变量才能刻画这种随机现象的全部统计规律性，通常我们称随机变量族为随机过程。本文主要分析在信号处理及检测方面，当干扰为高斯白噪声时，如何利用随机过程的统计特性平滑噪声，或者说降低噪声对算法性能的干扰。本文分为四个部分：第一部分是利用周期图进行信号谱估计时，如何降低高斯白噪声对其性能的影响；第二部分讨论在雷达信号检测过程中，当干扰为高斯噪声时，通过序贯检测达到自适应检测的目的；第三部分分析窄带窄带混合高斯噪声模型的概率密度函数；第四部分进行总结。

一 功率谱和周期图

功率谱估计(PSD)是用有限长的数据来估计信号的功率谱，它对于认识一个随机信号或其他应用方面来讲都是重要的，是数字信号处理的重要研究内容之一。功率谱估计可以分为经典谱估计 (非参数估计) 和现代谱估计 (参数估计)。前者的主要方法有BT PSD估计法和周期图法；后者的主要方法有最大熵谱分析法 (AR 模型法)、Pisarenko 谐波分解法、Prony 提取极点法、Prony 谱线分解法以及Capon 最大似然法。其中周期图法和AR 模型法是用得较多且最具代表性的方法。

估计原理：

我们知道随机信号的功率谱和自相关函数是一对傅氏变换对：

Pxx(w)而自相关函数定义为：

m-Rxx(m)e-jwn （1.1）

* Rxx(m)Ex(n)x(nm) （1.2）

在实际应用中，通常观测到的是信号的有限个（例如N个）取样值，用yN(n)表示。可以认为它是分段平稳随机信号中的一段，也可以将它看成是从平稳随机信号中截取出来的一段数据。对于平稳随机信号，无论何时开始从其中任取一段长为N的数据，所计算出来的均值或自相关都是相同的。信号yN(n)可以看成是用一个宽为N的数据窗w(n)从平稳随机信号y(n)中截取出来的，即

yN(n)y(n)w(n) （1.3）

之所以假定yN(n)是分段平稳信号中的一段或从平稳随机信号中用数据窗选取出来的，主要原因在于这样便可根据遍历性假设用时间平均代替集合平均。

若已知N个数据为

yN(n)(y0,y1,,yN1)

则用时间平均来近似计算的自相关函数为

1ˆRyy(k)NN1|k|n0ynkyn, |k|N1 （1.4）

称之为取样自相关。它可以看成是有限长序列果除以N，即

yN(n)和yN(n)的卷积运算结

ˆ(k)1(y(n)y(n)) （1.5） RyyNNNˆ(z)表取样自相关函数的双边Z变换叫做周期图，它是功率谱的一种估计，用Syy示，

ˆ(z)Syy联系（1.5），由上式得到

k(N1)N1ˆ(k)zkRyy （1.6）

ˆ(z)1Y(z)Y(z1) （1.7） SyyN这里Y(z)是yN(n)的Z变换。式（1.6）和式（1.7）是计算周期图的两种基本方法，前者称为间接法，后者称为直接法。令zejw，由式（1.7）得到

2ˆ(w)1Y(w)21SyyNN该式很适合于用FFT来计算。

jwny(n)eNn0N1 （1.8）

长度为N的数据段计算出的周期图所能达到的频率分辨率为

2w0.89NMatlab仿真与分析： 设采样频率为2 Hz，信号模型为

（1.9）

x(n)cos(0.352m)cos(0.42m)0.25cos(0.82m)

受到均值为0，方差为1的高斯噪声干扰，观测信号为

y(n)x(n)w(n)cos(0.352m)cos(0.42m)0.25cos(0.82m)w(n) 分析观测信号可知，该信号包含三个频率，即：0.35 Hz，0.4 Hz，0.8 Hz，如果想得到原始信号的频率，存在以下四个问题：

1. 前两个频率分量相差0.05 Hz，要求FFT运算时，频率分辨率应高于0.05 Hz，也就是说采样点数存在下限。

由图1.1可以看出，当采样点为20时，频率0.35 Hz和0.4 Hz无法区分开来，也就是此时的频率分辨率小于0.05 Hz，为了解决这个问题，应增加采样点数。如图1.2所示，此时取的采样点数为80，可以看出，0.35 Hz和0.4 Hz已被区分开来，说明频率分辨率已经大于0.05 Hz了。

2. 当采样点一定时，那么FFT包络也就确定，包络的峰值就是信号频率。如何能更精确的刻画包络，使得包络峰值不会因为采样点不合理而漏踩，是第二个问题。

对于图1.1和图1.2，其FFT变换的点数为1024，为了降低计算的复杂度，如果样本采样点数不变，只是减少FFT采样点数，即进行80点的FFT变换和128点的FFT变换，如图1.3所示，NFFT表示采样点数。从图1.2和图1.3中可以看出不同的NFFT，其显示的图形不同，但实际上如果信号的采样点数确定，

包络也就确定了，不同NFFT只是刻画包络的情况不同，点数越多，刻画得越细致。也许图1.3给人一种NFFT=80时效果最好的感觉，实际这只是一种错觉，由于FFT点数少，图1.3上方的频率的最高点已经产生了飘移，虽然有三个尖峰，但都不是实际的频率，这就是对真正的包络峰值漏踩得到的结果。NFFT=1024时，频谱最接近实际包络。

3. 由信号可以看出，第三个频率分量在时域中的幅度为0.25，其能量相对较小，而w(n)的方差为1，也就是说第三个频率分量很容易淹没在噪声频率中，如何精确提取0.8 Hz的频率分量是第三个问题。

图1.4给出的是被噪声污染了的信号的频谱，可以看出噪声功率较大，根本无法有效的提取信号频谱，08 Hz已经完全淹没在噪声功率中。由于噪声是高斯白噪声，其频谱是平坦的，因此可以通过多次求频谱然后平均的方法平滑噪声，降低其方差。图1.5是经过50次平滑后的频谱，也就是说其方差想对于图1.4已经下降了50倍，已经很接近没有噪声时的情况，即为图1.2所示的频谱。

4. 旁瓣功率过大可能会产生干扰。

对于图1.2和图1.5还存在一个非常严重的问题，就是旁瓣功率过大，我们可以通过加各种渐变窗来进行抑制旁瓣功率。图1.6是在得到图1.5的仿真参数上加汉明窗所得的结果，可以看出此时的波形是比较理想的，可以提取三个频率分量。但需要说明的是，加窗虽然可以抑制旁瓣功率，但却是以牺牲频率分辨率为代价的，也就是说抑制旁瓣功率和提高频率分辨率是一对相互制约参量，为了得到最佳效果，应在两者中寻找平衡点。

图1.1 采样点为20时的无噪声干扰的信号x(n)的频谱

图1.2 采样点为80时的无噪声干扰的信号x(n)的频谱

图1.3 采样点为80时，无噪声干扰的信号x(n)在不同FFT点数时的频谱

图1.4 被噪声干扰的信号x(n)的频谱

图1.5 平滑50次的被噪声干扰的信号x(n)的频谱

图1.6 平滑50次的被噪声干扰的信号x(n)加汉明窗的频谱

二 序贯检测问题

对于假设检验问题，如果每次检测所依据的数据样本是一样长的，那么往往不能充分发挥系统的潜力。例如雷达系统，随着观测数据时间的加长，信息量便不断地增多；在完成一定的战术指标

,P0前提下，对于近距离的大目标回波，

用较少时间的观测数据便可作为判决；而对于远距离的小目标回波，则需要较多的观测数据方能给出合乎性能指标的结果。因此，按照固定观测数据时间工作的雷达体制，在不同的情况下，有时显得“大材小用”，作判决用了过多时间，有时又会显得“力不从心”，尚嫌数据不足。总之雷达的潜力未能合理应用，没有自适应性。

这时，我们需要一种可以自适应判决的检验准则，使其每次处理所用的时间是变动的，或者说每次判决所用的数据取样数目是变动的在指定的检测性能

,前提下，从获得第一个数据取样就开始进行处理，如果在满足性能要求

的前提下能作出判决，则检测过程结束；否则再取第二个取样，对第一、第二两个数据取样进行处理和判决；如此进行，逐渐增多信息量，直至能作出满足指定性能指标的判决为止。序贯检测就是这样一种自适应检测准则。

下面我们讨论修正的奈曼——皮尔逊检验，或称为序贯概率比检验，它在序贯检测中应用最广。这种检验方法在给定虚警概率和漏报概率的条件下所需要的平均检测时间最短。在序贯概率比检验中，依据给定的及确定两个似然比门限l1及l0，在每一部判决过程中，若似然比处于l1与l0之间，则获得的信息量尚不足于作出判决，继续接受下一个数据再作处理。

问题的关键是确定两个门限值l1、l0与、之间的关系。令观测数据x为

xN=x1,x2,,xNT

其中数N代表观测数据的取样数，此时的似然比为

l(xN)pxN|H1pxN|H0 （2.1）

假设取样值是统计独立的，则上式可写成

l(xN)k1Npxk|H1pxk|H0 l(xk) （2.2）

k1N其中l(xk)是第k次观测的似然比。判决规则为

H1 l(xN)l1 （2.3）H0 l(xN)l0 （2.4）

l0l(xN)l1 继续取样 （2.5）

对于给定的及有

pxN|H0dxN

X1pD1pxN|H1dxNpxN|H0l(xN)dxN

X1X1式中

，即pD代表H1存在的条件下判决H1成立的概率，故此时必满足式（2.3）

l(xN)l1，将此带入上式可得

1l1pxN|H0dxNl1

X1故得

l1用类似的方法可以求出

1 （2.6）

 （2.7） l01为了分析和计算的方便，常采用对数似然比，式（2.2）可写成

lnl(xN)lnl(xk)lnl(xk)lnl(xN) （2.8）

k1k1NN1并与门限lnl1及lnl0进行比较和作出判决。如果似然比每一步增量lnl(xN)很小，使得在取样终止时lnl(xN)超过门限lnl1不过（或者小于门限lnl0不多），那么门限值可以近似地写成

lnl1及

1 （2.9 ）

 （2.10） lnl01这就是所需要的门限值与给定的及的关系。

现在我们来求序贯概率比检验所需要的平均取样数

EN|H1及

EN|H0，其中N是终止阶段的取样数，是个随机变量。

当H1为真时，有

Plnl(xN)lnl0|H1

Plnl(xN)lnl1|H11

当H0为真时，有

Plnl(xN)lnl0|H01 Plnl(xN)lnl1|H0

又由于随着观测取样数的增加，lnl(xN)的每一步增量都很小，故可以认为最终取样xN的lnl(xN)只取两个数，或者是lnl0，或者是lnl1。因此lnl(xN)的条件数学期望等于

Elnl(xN)|H1(1)lnl1lnl0 （2.11） Elnl(xN)|H0lnl1(1)lnl0 （2.12）

另一方面，在每次取样值xk具有同样概率分布且独立的条件下，有

NElnl(xN)|HiElnl(xk)|HiElnl(x)|HiEN|Hik1代入式（2.11）及（2.12）得

i0,1

EN|H1EN|H0(1)lnl1lnl0Elnl(x)|H1 （2.13）

lnl1(1)lnl0Elnl(x)|H0 （2.14）

最后，值得说明的是，序贯概率比检验是有终止的，l(x)的值不会总是徘徊在l1与l0之间而不能作出判决。

三 窄带混合高斯噪声模型

根据干扰噪声的物理特性，在窄带条件下，可导出混合高斯噪声模型的概率密度函数。该概率密度函数是不同加权值的多个高斯分布的叠加，其表达式如下：

mAp(x)eAm0m!2(Ak)x2(Ak)/(2(mk)) （3.1） e(mk)通常取表达式的前四项就可以满足要求。 参数A表示“脉冲指数”，它反

映非高斯冲激项的比例。当A逐渐趋于0且A不为0时， 由于单位时间内的强干扰源逐渐减少或它们的持续时间变短，这时强干扰源对整个混合噪声的贡献将减弱，所以混合噪声的总概率密度将由强非高斯性向高斯性过渡。当A趋于无穷大时，意味单位时间内有大量独立干扰源，根据中心极限定理，这时冲激项的统计特性趋于高斯性。 参数kA, 它的物理意义是样本中小样本值和大样

本值的平均功率比。是“高斯因素”，它反映的是高斯项和非高斯项在总时间内的平均能量比。k越小，则样本的非高斯性越强；k越大，则样本的高斯性越强。

二元假设为H0:xm其中sm为确知信号，nm为nm；H1:xmsmnm。

噪声，用窄带混合高斯表示其概率特性。假设接收端的噪声统计独立，信噪比远远小于 1，且信号相关时间远小于信号持续时间。 则最佳检测器的似然比为：

p(x|H1)p(xs) （3.2）

p(x|H0)p(x)其中

p()表示纯噪声下观测样本的多维概率密度，x[x1x2BT]，T表示观

察时间，B表示噪声带宽。

在小信噪比条件下，得到似然比

1Ymm12BT2BT2mZm1expjm （3.3）

2dlnp(xm)dlnp(xm)2其中Zm，Ym，为噪声的平均功率，2dxmdxm为归一化窄带中心频率。

由式(3)规定的似然比检验可由噪声预白滤波器、非线性滤波器和传统的正交接收机组合来完成（见图3.1）。该模型在传统的正交接收机的基础上，外加了预白滤波器和非线性滤波器。其中所加的预白滤波器是为了保证模型实现的条件，即色噪声的白化。非线性滤波器则用来对输入非高斯噪声高斯化，而对输入小信号仍满足线性输出。

非线性滤波器 积分

2BT预白滤波器 2dlnp(x) dx22m1xm 1N(t) 2BT门限 判决 输出 非线性滤波器 dlnp(x)dx (*)2 cosm m1

2BT(*)2 cosm m1图3.1 随机信号的非高斯最佳检测器

四． 总结

一般来说，把一组随机变量定义为随机过程。在研究随机过程时人们透过表面的偶然性描述出必然的内在规律并以概率的形式来描述这些规律，从偶然中悟出必然正是这一学科的魅力所在。随机过程分析渗透到很多与信息和通信相关的学科，以随机过程分析的角度处理相关概念和定义更具有其现实意义，尤其对于工程技术人员来说，将理论应用与实际相结合更是离不开随机过程分析。

参考文献：

[1] 朱华，随机信号分析，北京理工大学出版社，2004年7月。 [2] 王永德，随机信号分析基础，电子工业出版社，2003年6月。

[3] 姚天任，孙洪，现代数字信号处理，华中科技大学出版社，1999年11月。 [4] 许树生，信号检测与估计，国防工业出版社，1985年。

[5] 陈功，蔡志明，混合高斯噪声中随机信号的最佳检测，声学与电子工程，2005年第2期。

附录：

导师：茹国宝 电话：13476264726

研究方向：1. 遥感影像处理；2. 通信信号处理

实验室简介：武汉大学信号处理研究室，隶属武汉大学电子信息学院通信工程系。研究室的研究领域主要包括：合成孔径雷达图像解译，语音信号增强，音视频信号压缩与传输，Turbo码理论与应用，数字水印技术，第三代移动通信中多载波、多用户检测与盲均衡技术，扩频通信与跳频通信等。

在信号处理方面，实验室完成和承担了“基于SAR图像的目标特征提取与融合”国家863重大专项，“Turbo迭代信号处理”，“基于幅-频多分辨率分析的SAR影像中海冰信息提取与分类方法研究”，“统计多分辨率分析”等多项国家自然科学基金项目，“多极化SAR应用技术研究”，“多极化SAR目标分类”，“合成孔径雷达图像理解与识别”等多项国防科研项目，以及多项省、部级和应用科研项目，其中“高速视频数据传送的多媒体电子显示屏”，“有线电视可寻址加解扰”、“数字视频广播及数字有线电视机顶盒”、“数字视频监控系统”等技术具有国内领先水平，大部分已工业化应用，产生了巨大的社会效益和经济效益。

在现代通信方面，先后承担和完成了“基于软件无线电的短波高速高抗干扰的短波跳频通信的研究”，“基于短波跳频通信抗干扰网络结构的研究”，“选择式频率分集与编码FH/MFSK技术的研究”，“基于非伪随机序列短波FH/MFSK系统技术的研究”等国家自然科学基金项目，“短波自适应跳频通信技术的研究”的国防预研基金项目以及中船总委托的海军通信子项目“C3I通信链路平台与接口技术的研究”和多项省部委自然科学基金与省重点科技攻关项目。

而今，实验室的研究目标是瞄准国际科技前沿，研究将现代信号处理的理论与方法应用于合成孔径雷达图像的信号恢复、区域分割、目标检测与特征提取、地物分类与识别、目标建模仿真等应用领域，开发具有自主知识产权的合成孔径雷达图像处理与分析系统，为国防和民用领域的应用提供理论和技术的支持；结合Turbo迭代信号处理理论和粒子滤波器等非线性信号处理技术，研究语音信号增强方法；在MPEG4和H.264的框架下，研究并实现音视频信号的压缩和有效传输。