北师大八年级数学课外拓展

费马点到三角形的每个顶点距离之和的公式

（1）当有一个内角大于等于120度时候，△ABC的费马点在钝角的顶点A，费马点到各顶点的距离等于AB＋AC （2）当所有内角都小于120°时△ABC的费马点为使连接三顶点所成的三夹角皆为120°的点P，不妨设AB=a,AC=b,BC=c,所对的角分别为A、B、C，PA=x,PB=y,PC=z, 在△ABP,△APC,△BPC中用余弦定理,可得 x²+y²+xy=a²① y²+z²+yz=b²② x²+z²+xz=c²③ 再由△ABP,△APC,△BPC的面积和与△ABC的面积相等，可得 xy+xz+yz＝433×p(pa)(pb)(pc)④ p(pa)(pb)(pc) ①＋②＋③＋3×④得，2×(x+y+z)²=a²+b²+c²+43abc222 化简得， (x+y+z)＝

2＋23p(pa)(pb)(pc)

其中P为三角形周长的一半。

1. 1979年春天,李政道博士到中国科技大学访问,他给少年班的”神童”们出了一道非常有趣的智力题:

海滩上有一堆苹果,这是5个猴子的食物,他们必须分配,第一个猴子来了,它左等右等,别的猴子都不来,他便把苹果分成5堆,每堆一样多,还剩下一个。他把剩下的一个扔到大海里面，自己拿走5堆中的一堆。第二只猴子来了，他又把苹果分成5堆，又多了一个，它又扔了一个，拿一堆走了。以后每只猴子来了都如此办理。

请问：原来至少有多少个苹果？最后至少剩下多少个苹果？

2. 在我国古代有一道很著名的牛吃青草题:有一块绿茵茵的草地长的非常茂盛.70头牛可以吃24天,30头牛可以吃60天,问几头牛可以在96内把这块草地上的草吃光?

3.已知,如图,在△ABC中, ∠B=2∠C,AD⊥BC于D，M为BC的中点， 求证AB/DM=2

4.如图，三角形三个顶点坐标分别是A（2，2）、B（6，1）、C（5，4），求△ABC的面积。 （这道题方法很多，我将引入矩阵来求面积）

（写出不少于三种求△ABC面积）