相似三角形”A“字模型(含详细问题详解)-经典

教师辅导教案

授课日期： 年 月 日 授课课时： 课时 学员姓名 学科教师 教学课题 教学目标 教学重难点 课前检查 年 级 班 主 任 辅导科目 数学 授课时间 作业完成情况： 优□ 良□ 中□ 差□ 建 议: 教学内容 一、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 BB，CC． △ABC与△ABC相似，则有AA， 2．相似三角形的对应边成比例 △ABC与△ABC相似，则有ABBCAC． k（k为相似比）ABBCAC 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． △ABC与△ABC相似，AM是△ABC中BC边上的中线，AM是△ABC中BC边上的中线，则有ABBCACAM（k为相似比）． kABBCACAM △ABC与△ABC相似，AH是△ABC中BC边上的高线，AH是△ABC中BC边上的高线，则有ABBCACAH（k为相似比）． kABBCACAH △ABC与△ABC相似，AD是△ABC中BAC的角平分线，AD是△ABC中BAC的角平分线，ABBCACAD则有（k为相似比）． kABBCACAD4．相似三角形周长的比等于相似比． △ABC与△ABC相似，则有ABBCAC．应用比例的等比性质有k（k为相似比）ABBCACABBCACABBCACk． ABBCACABBCAC5．相似三角形面积的比等于相似比的平方． 1

△ABC与△ABC相似，AH是△ABC中BC边上的高线，AH是△ABC中BC边上的高线，则有1BCAHS△ABCBCAHABBCACAH2k2． （k为相似比）．进而可得kS△ABC1BCAHBCAHABBCACAH2 二、相似三角形的判定 1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似． 3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似． 5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明） 7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似． 三、相似证明中的基本模型 A字形 图①A字型，DE//BC ;结论：ADAEDE， ABACBC【例1】李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（ ） 已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC， 求证：△ADE∽△DBF． 证明：①又∵DF∥AC， ②∵DE∥BC， ③∴∠A=∠BDF， ④∴∠ADE=∠B， ∴△ADE∽△DBF． A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④① 【解答】证明：②∵DE∥BC， ④∴∠ADE=∠B， ①又∵DF∥AC， ③∴∠A=∠BDF， ∴△ADE∽△DBF．故选：B． 2

【练1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t= 4.8或CPQ与△ABC相似． 【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA， 所以，即解得t=4.8； CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB， 所以，即解得t=． 时，△CPQ与△CBA相似． ， ， ， ， 秒时，△综上所述，当t=4.8或故答案为4.8或． 图②反A字型，∠ADE=∠ B或∠1=∠B结论： AEADDE ACABBC【例2】如同，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ） A．= B．= C．∠ADE=∠C D．∠AED=∠B 【解答】解：∵∠DAE=∠CAB， ∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED； 当=即=时，△ABC∽△AED． 故选：A． 3

【例3】如图，P是△ABC的边AB上的一点．（不与A、B重合）当∠ACP=∠ B 时，△APC与△ABC是否相似；当AC、AP、AB满足 时，△ACP与△ABC相似． 【解答】解：∵∠A=∠A，∠ACP=∠B， ∴△ACP∽△ABC； ∵，∠A=∠A， ∴△ACP与△ABC； 故答案为：B；． 【练习1】如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当 ∠ADE=∠B 时，△ADE∽△ABC．其中D、E分别对应B、C．（填一个条件）． 【解答】解：当∠ADE=∠B， ∵∠EAD=∠CAB， ∴△ADE∽△ABC． 故答案为∠ADE=∠B． 【练习2】如图，在△ABC中，D、E分别在AB与AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4． 求证：△ADE∽△ACB． 【解答】证明：∵AD=5，DB=7，AE=6，EC=4， ∴AB=5+7=12，AC=6+4=10， ∴∴===， ==， 又∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB． 【练习3】如图，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线，求证：△ABC∽△BCD． 【解答】证明：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD是角平分线， ∴∠ABD=∠DBC=36°， ∴∠A=∠CBD， 又∵∠C=∠C， ∴△ABC∽△BCD．

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【练习4】已知：如图，△ABC中，∠ACD=∠B，求证：△ABC∽△ACD． 【解答】证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD． 【练习5】如图，已知AD•AC=AB•AE． 求证：△ADE∽△ABC． 【解答】证明：∵AD•AC=AE•AB， ∴= 在△ABC与△ADE 中 ∵=，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADE． 【练习6】已知：如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的点，且AD=AE，连接DE．若AC=4，AB=5．求证：△ADE∽△ACB． 【解答】证明：∵AC=3，AB=5，AD=∴， ， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB． 图③双A字型 【例4】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED=∠ABC，∠BAC的平分线AF交DE于点G，交BC于点F． （1）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由 （2）若=，求的值． 【解答】解：（1）∵∠AED=∠ABC，∠EAD=∠BAC， ∴△ABC∽△AED． ∵∠AED=∠ABC，∠EAG=∠BAF， ∴△AEG∽△ABF．

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∵∠EDG=∠ACF，∠DAG=∠CAF， ∴△ADG∽△ACF． （2）∵∴=， =， ∵△ADG∽△ACF， ∴ 【练习1】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AE=4，AB=6，AD：AC=2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F． （1）请你直接写出图中所有的相似三角形； （2）求AG与GF的比． 【解答】解：（1）△ADG∽△ACF，△AGE∽△AFB，△ADE∽△ACB； （2）∵∴===，， =， ==． 又∵∠DAE=∠CAB， ∴△ADE∽△ACB， ∴∠ADG=∠C， ∵AF为角平分线， ∴∠DAG=∠FAE ∴△ADG∽△ACF， ∴∴

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==， =2．

图④内含正方形A字形，结论AHaa（a为正方形边长） AHBC 【例5】如图，△ABC，是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M． （1）求证：=； （2）求这个矩形EFGH的周长； （3）是否存在一个实数a，当HE=a时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大？若存在，试求出a；若不存在，请说明理由． 【解答】（1）证明：∵四边形HEFG为矩形， ∴HG∥EF， 而AD⊥BC， ∴AM⊥BC， ∴△AHG∽△ABC， ∴=； （2）解：设HE=x，HG=2x， 则=，解得x=12， ∴这个矩形EFGH的周长=2x+4x=6x=72（cm）； （3）存在． 当HE=a，则=， ∴HG=﹣a+30， ∴S矩形HEFG=a（﹣a+30）=﹣a+30a， 当a=﹣=时，S矩形HEFG最大， 2即当HE= cm时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大．

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【练习1】如图，△ABC，是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=80cm，AD=60cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M． （1）试说明：=的理由； （2）求这个矩形EFGH的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形EFGH为矩形， ∴EF∥GH， ∴∠AHG=∠ABC， 又∵∠HAG=∠BAC， ∴△AHG∽△ABC， ∴ （2）解：设HE=xcm，MD=HE=xcm， ∵AD=60cm， ∴AM=（60﹣x）cm， ∵HG=2HE， ∴HG=2xcm， 由（1）得可得 =， ， =； 解得，x=24， 故HE=24，HG=2x=48， 则矩形EFGH的面积=24×12=1152cm． 【例6】如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，且求证：AD=EB． 【解答】证明：过D点作DH∥BC交AB于H，如图， ∵DH∥BC， ∴△AHD∽△ABC， ∴=，即=， ， 2∵DH∥BE，

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∴△BEF∽△HDF， ∴而∴==， ， ， ∴AD=EB． 【例7】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC的垂直平分线交BC于点E，交CA的延长线于D，交AB于点F，求证：AE=EF•ED． 【解答】解：∵∠BAC=90°， ∴∠B+∠C=90°，∠D+∠C=90°， ∴∠B=∠D， ∵BC的垂直平分线交BC于点E，∠BAC=90°． ∴BE=EA， ∴∠B=∠BAE， ∴∠D=∠BAE， ∵∠FEA=∠AED， ∴△FEA∽△AED， ∴22= ∴AE=EF•ED． “旋转型”相似三角形，如图．若图中∠1=∠2，∠B=∠D(或∠C=∠E)，则△ADE∽△ABC，该图可看成把第一个图中的△ADE绕点A旋转某一角度而形成的． 【例8】如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ） A．= B．= C．= D．， = 【解答】解：∵∠BAC=∠D，∴△ABC∽△ADE． 故选：C． 9

【练习1】如图所示，在△ABC与△ADE中，AB•ED=AE•BC，要使△ABC与△ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是 ∠B=∠E（答案不唯一） （只加一个即可）并证明． 【解答】解：条件①，∠B=∠E． 证明：∵AB•ED=AE•BC， ∴=． ∵∠B=∠E， ∴△ABC∽△AED． 条件②，=． 证明：∵AB•ED=AE•BC， ∴∵∴===． ， =， ∴△ABC∽△AED． 故答案为：∠B=∠E（答案不唯一）． 【练习2】如图，已知：∠BAC=∠EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40． 求证：△ABC∽△AED． 【解答】证明：∵AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40． ∴∴===1.2，， ==1.2， ∵∠BAC=∠EAD， ∴△ABC∽△AED． 【练习3】如图，在△ABC和△ADE中，已知∠B=∠D，∠BAD=∠CAE，求证：△ABC∽△ADE． 【解答】解：如图，∵∠BAD=∠CAE， ∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE， 即∠DAE=∠BAC． 又∵∠B=∠D， ∴△ABC∽△ADE．

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【练习4】如图，△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠PDE=90°． （1）若将△DEP的顶点P放在BC上（如图1），PD、PE分别与AC、AB相交于点F、G．求证：△PBG∽△FCP； （2）若使△DEP的顶点P与顶点A重合（如图2），PD、PE与BC相交于点F、G．试问△PBG与△FCP还相似吗？为什么？ 【解答】（1）证明：如图1， ∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=∠DPE=45°， ∴∠BPG+∠CPF=135°， 在△BPG中，∵∠B=45°， ∴∠BPG+∠BGP=135°， ∴∠BGP=∠CPF， ∵∠B=∠C， ∴△PBG∽△FCP； （2）解：△PBG与△FCP相似．理由如下： 如图2，∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=∠DPE=45°， ∵∠BGP=∠C+∠CPG=45°+∠CAG， ∠CPF=∠FPG+∠CAG=45°+∠CAG， ∴∠AGP=∠CPF， ∵∠B=∠C， ∴△PBG∽△FCP． 课堂小结：

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