２０１２年第４期 福建中学数学 ｌ９ 有心圆锥曲线与弦中点有关的一个性质再探 林志森 福建省南安市侨光中学（３６２３１４） 文［１】介绍了有心圆锥曲线与弦中点有关的一个 所以（ 一＿）（一 ）＋（ ：一Ｙ１）０一ｙｏ）＝０． ② 性质．笔者通过探究，又发现有心圆锥曲线与弦中 点有关的另一个性质，现介绍如下． ｖ②得： ：一 一等 －ｆ１－ 所以点 的所有“伴随弦”的中点均在直线 ２ １，２ 性质１设Ａ，Ｂ是椭圆Ｃ：－－ ７－＋ ＝ｌ（ａ＞ｂ＞０） ａ Ｄ。 上的不同两点．弦ＡＢ（不平行于Ｘ轴）的垂直平分 线与Ｙ轴相交于点 ，则称弦ＡＢ是点 的一条“伴随 Ｙ＝Ｉ １一÷Ｉ，上． ｅ／ 笔者通过研究，双曲线也有类似性质如下： 性质２设 ， 是双曲线ｃ： ＋ ：ｌ 弦”．如果点Ｔ的坐标为Ｔ（ｏ，ｆ），当 ｅ＜ｆ＜一｛ —ｌ Ｐ—ｌ （其中ｅ是椭圆的离心率）时，点 的所有“伴随弦” （ａ＞０，ｂ＞０）上的不同两点．弦ＡＢ（不平行于ｘ轴） 的垂直平分线与Ｙ轴相交于点 ，则称弦ＡＢ是点７１ 的一条“伴随弦”．如果点 的坐标为ｒ（Ｏ，ｔ）时，点 的中点均在直线Ｙ＝Ｉ １一÷Ｊｆ上． ｅ一／Ｉ ，， １、 证明设Ａ（ｘｌ，Ｙ１），Ｂ（ｘ２，Ｙ２）， 贝Ｕ ｂＺｘｔ ＋ Ｙｔ ＝ａ２ｂ ，ｂＺｘ２ ＋ａ２ｙ２ ＝ａ２ｂ ． 的所有“伴随弦”的中点均在直线Ｙ＝Ｉ １一 １ Ｉｔ上，其 ＼、 已／， 两式相减得：ｂ２ｘｌ 一ｂ２Ｘ２ ＋口 Ｙ１。一ａ２ｙ２。＝０， ｂ （ｘｔ＋Ｘ２）（ＸＩ—Ｘ２）＋ （ ＋Ｙ２）（Ｙｌ—Ｙ２）＝０． 中ｅ为双曲线的离心率． 参考文献 ［１］林志森．有心圆锥曲线与弦中点有关的一个性质．福建中学数学，２０１１ （１０）：１７ 设ＡＢ中点为Ｐ（ｘｏ，Ｙｏ）， 又ＡＢ＝（ ２一ｘ１，Ｙ２一 ），Ｐ ＝（一ｘｏ，ｆ—ｙｏ）． 因为ＡＢ上Ｐ ， 漫谈 条两两异面直线的交线性质 庄银泉 福建省惠安高级中学（３６２１００） 在２０１０年高考全国Ⅱ理科卷中，有如下试题： 题１：与正方体ＡＢＣＤ一４ 的三条棱ＡＢ， 线，则与ａ，ｂ，ｃ都相交的直线有 Ａ．０条 Ｃ．多于ｌ的有限条 Ｂ．１条 Ｄ．无穷多条 ｃＣ－Ｉ，４ｑ所在直线的距离相等的点 Ａ．有且只有１个 Ｂ．有且只有２个 Ｃ．有且只有３个 Ｄ．有无数个 关于本题的求解，可以考虑建立空间直角坐标 系，求出 ，Ｙ，ｚ之间的关系，即为点的轨迹方程．可 本题得到许多专家的肯定，认为“颇为有趣”，源 于这道试题表明了如下的性质： 命题１：与两两异面的３条直线都相交的直线有 无穷多条，且除个别点外，过这三条直线上任一点 的交线存在且唯一（参阅命题３）． 前年，笔者曾联系直纹曲面，探讨了 （” ３） 条两两异面的直线的交线性质，如交线是否存在？ 得其轨迹方程为 ＝Ｙ＝ｚ，即空问中的一条直线，因 此这样的点有无数多个． 实际上，到两条异面直线距离相等的点的集合 是“双曲抛物面”，这不禁让我想起１９９７年全国高中 若存在，是否唯一，？等等，特别是用中学几何方法， 讨论了一些在一般几何书尚未涉及的问题，得到一 些有趣的结果．下面先给出与上述问题有关的直纹 数学联赛的一个关于“双曲抛物面”的试题： 题２：若空间三条直线ａ，ｂ，Ｃ两两成异面直 ２０ 福建中学数学 ２０１２年第４期 曲面性质： —ｘ－—Ｏ： ：命题２：单叶双曲面（下称曲面 ）和双曲抛物 面（下称曲面Ｊｒ，）有如下性质： （１）曲面７／＂１和 都有两族无穷多条母线，每一 族母线都可组成相应曲面． １ ｔ ｔ一１ 三 （ｆ≠０，１）①，消去ｆ得二次曲面 －ｔ ’。’。 。’ ’’。’。 的方程：ｘｙ一汜＋ｙｚ—Ｙ＝０②，不难验证：直线ａ， ｂ，Ｃ都在曲面②上，且直线①和直线 Ｄｌ，Ｄｌ ， （２）过曲面上每一点，每一族母线有且只有一 Ｂ （相当于ｔ＝０或ｔ＝１的情况）组成了曲面②，也 条通过． （３）每两条同族母线不共面． （４）每两条异族母线必共面． （５）经过曲面上每一点有且只有两条母线． （６）曲面 的同族３条母线不平行于同一个平 面，而曲面 ，的同族３条母线平行等于同一个平面． 命题２说的是曲面上两组异面直线性质（可用 解析法证明），这些性质为命题１提供了实际例子， 同时，它们在建筑学上也是有用的．那么，反过来， 任给两两异面的力（ ３）条直线是否存在一个曲面 ７／＂１或曲面Ｔ／＂，，使这３条直线都在曲面上？ 这一问题，一般书似乎未正面论及． 命题３：任给两两异面的３条直线，都有曲面７／＂． （３条不平行于同一个平面）或曲面 （３条平行于 同一个平面）通过这３条直线，而且和这３条直线 都相交的直线组成了相应曲面的一族母线（最多相 差两条母线）． 分析一：把交线看作两平面交线，这样把作交 线的几何方法解析化即得． 证明一：分两种情形： 任给两两异面３条直线ａ，ｂ， １．ａ，ｂ，Ｃ不平行于同一个 平面时，建立空间仿射坐标系（如 图１），其中 ， ，Ｄｚ为平行 六面体ＡＢＣＤ一４Ｂ１ＧＤＬ交于一点 的三条棱所在直线，而棱ＡＢ， ｃｌ，ＤＤ１所在直线恰好分别为直线ａ，ｂ，Ｃ．若 设Ａ（１，０，０），Ｃ（Ｏ，１，０），Ｄｔ（０，０，１），则ＣＩ（０，１，１）， 再设Ｐ（Ｏ，０，ｔ）为直线Ｃ上任意一点，现求过Ｐ和ａ， ｂ，Ｃ都相交的直线ｆ的方程． ・．‘ｒ必是过Ｐ，ａ和Ｐ，ｂ所确定两平面的交线， 设Ｐ Ｃｌ和 轴交于Ｑ，过Ｑ在面ｘＯｙ上作 ＱＭ／／Ｂ，ＣＩ，ＱＭ交ＡＢ于 ，则Ｐ 就是交线ｆ．易 厂 ， 、 见：Ｙｐ：÷，．・．ＭＩ １，— ，０ ｌ，于是ｆ的方程为： 就是说它们恰好是曲面②的一族母线． ２．当ａ，ｂ，Ｃ平行于同一个 平面时，建立仿射坐标系（如图２）， 面 Ｂ ｃ２Ｄ：为平行于平行六面体 ＡＢＣＤ—ＡＩＢＩ ＣｆＩ Ｄｌ底面的截面，直线 Ｂ，Ｄ，，ＡＤ，ＤｌＣｌ恰为ａ，ｂ，Ｃ． Ａ２ Ｂ 设Ａ（１，０，０），Ｃ（０，１，０）， ２ Ｄ１（０，０，１），Ｄ２（０，０，ｍ）（ｍ≠０，１）则 ２（１，１， ）， 又设直线Ｃ上点ｐ（ｏ，ｔ，１），则不难求得过ＪＰ和ａ，ｂ， Ｃ都相交的直线方程ＰＭ为： ： ：三 （ｆ≠０）③，消去ｆ得二次曲面方程 ｔｍ ｔｍ—ｆ ｍ—ｌ ２：（ｍ一１）ｘｚ—ｍｙｚ＋ｍｙ＝Ｏ（ｍ≠０，１）④，当ｔ＝０时， 交线为直线ＤＤＩ，不难验证ａ，ｂ，Ｃ都在曲面④上 且直线③和直线ＤＤ１组成了曲面④．综上命题得证． 上述采用的构造法证明，贴近中学教学，十分 形象直观，把曲面 或 直截了当地表明为直线组 成，提供了从另一角度研究它们的性质的可行途径． 分析二：在证一坐标下，利用直线在二次曲面 上条件，用待定系数法证之，（详证略）． 分析三：根据两线共面条件，我们可利用行列 式和齐次线性方程组讨论证明． 证明三：在证一的坐标系下，仍分两种情形． 如证一中图１，直线ａ为过Ａ（１，０，０）方向向量 坐标为（０，１，０），ｂ为过Ｃｌ（０，１，１）方向向量坐标为 （１，０，０），Ｃ为过Ｄ（０，０，０）方向向量为（０，０，１），设 与此同时ａ，ｂ，Ｃ都相交的直线ｒ的定向向量为 （ｇ，ｍ，ｎ），Ｐ（Ｘ，Ｙ，ｚ）为ｚ＿上任意一点，据两线共面 条件有： ｌＸ一１ Ｙ一０ ｚ一０Ｉ ｌＸ Ｙ一１ ｚ一１Ｉ １Ｘ Ｙ ｚｌ ｌ ０ １， ０，ｚ ｌｌ ：ｌｌ １ ０ ０”Ｉ Ｉ ＝ｌｌ ０ ０， ” ｌｌ Ｉ＝０， 依第３行展开得一个关于ｅ、ｍ、，ｚ的齐次线性方 程组， ・．’ｅ、ｍ、，２不同时为０， ２０１２年第４期 Ｚ ０ 福建中学数学 一１ １ ２１ －＇条异面直线的所有交线和直线 Ｃｌ都不相交即 ・．．１Ｉ ０ ｚ一１一（ 一１）ｌ＝０，展开仍得方程②，同 可．把交线看作两面交线，设Ｍ为ＡＢ上一点，（如 ０ ｌ 理可得方程④，证毕． 这个证明充分体现了解析法的效能． 有了命题３，我们就可以解决了上面提及的交线 存在唯一性问题．因为对于ｎ（ｎ ４１条情况可归纳为 ４条情况，我们有： 命题４：与４条两两异面的直线ａ，ｂ，Ｃ，ｄ都 相交的直线可能不存在：若存在，可能有１条，２条 或无穷多条． 分析：设与ａ，ｂ，Ｃ都相交的直线为ｆ，由命 题１，则问题归结为研究ｄ与ｆ是否相交，据命题３， 问题又可归结为研究过口，ｂ，Ｃ的二次曲面与直线ｄ 公共点个数，这样，就转化成直线方程与二次曲面 方程公共解的个数，详证不再赘述． 至此，已用解析法从正面完全解决了我们提出 的交线存在唯一性问题，值得指出的是上述证明， 完全未直接引用有关直纹曲面性质，这也体现命题３ 证法一的独特效用；下面，再谈谈仅用中学立几方 法就可推得的一些有趣结果，这些结果也似未在一 般立几参考书出现过． 命题５：（４条异面直线定理） 存在４条两两异面的直线，使得没 任何直线能与它们同时相交． 证一：（如图３），取正方体ＡＢＣＤ一４Ｅ ＣＩ ＤＩ，则 直线ＡＢ，４ｃ，ＢＩ ＣｆＩ，ＤＤｌ两两异面，我们用反证 法证明这４条直线适合命题要求，假设存在一条直 线ｒ与这４线都相交，ｒ和ＡｌＣ交于Ｅ，现将整个图 形绕ＡＩＣ旋转１２０。可使ＡＢ，ＢｌＧ，ＤＤ１分别与 Ｇ， ＤＤＩ，ＡＢ重合，设 转为ｆ ，则ｆ与 不同且 ｎｆ ＝Ｅ，而且ｒ 仍与这４条直线都相交，这样， 四条两两异面直线的每条直线都有两点在ｆ与ｆ 确 定的平面上，这与４线两两异面矛盾，命题得证． 这个证明十分巧妙运用了旋转变换，简捷直观 解决了一个中学数学看起来难以入手的问题．再一 次揭示出正方体的一个美妙性质，让人赏心悦目， 值得谈一谈的是这个证明有深刻重要的背景：鲤任 Ｌ 星西釜昱画直线 缝 旌整面 曲 证二：据命题１，只要证明ＡＢ，Ａ１Ｃ，ＤＤ１这３ 图４）易得点Ｍ和直线ＤＤ１，点 和直线Ａ１Ｃ确定 的两平面的交线为ＭＮ， 和平 面４ Ｄｌ交点Ｊ７Ｖ在ｘＯｙ平面上 的轨迹为（ 一２） ＝一（ 一 ）．它与 直线Ｂ１Ｃｌ的轨迹（Ｘ＝１）没有公共 点，这说明和ＡＢ，Ａ。Ｃ，ＤＤ１都 相交的直线与直线 Ｃ１必不相交（详证略）． 这个证明构思也十分巧妙，充分体现了研究立 几的基本思想方法——平面化． 命题６：任给两两异面３条直线口，ｂ，Ｃ，设 ｍ、 、Ｐ与它们都相交，则： ①ａ，ｂ，ｃ平行于同一个平面等价于ｍ、 、Ｐ 平行于同一个平面； ② ，ｂ，ｃ不平行于同一个平面等价于 ｍ、刀、Ｐ不平行于同一个平面． 分析：①可用平移法或梅涅劳斯定理的空间推 广证之． ②可用反证法． 命题７：存在无穷多条两两异面直线，使得 和它们都相交的直线也有无穷多条． 分析：利用命题６①及同一法． 命题８：任给３条异面直线ａ，ｂ，Ｃ，一定存 在直线ｄ满足： ①口，ｂ，Ｃ，ｄ两两异面； ②没一条直线和ａ，ｂ，ｃ，ｄ都相交； ③ｄ有无穷多条． 分析：分情况（１）当ａ，ｂ，Ｃ平行同一个平面 时，利用命题６①；（２）当 ，ｂ，Ｃ不与同一个平 面平行时，可参照命题５的证法二用平面化思想证 之． 对命题６，７，８这些乍一看难以入手的命题， 其实可以利用命题２，３，４所采用的解析法证明， 但是几何证明一方面渗透了解几思想，体现了指导 作用，同时又直观形象，易被中学生接受，从而丰 富了中学教学内容．联赛命题者的用心、问题的背 景值得我们领会学习．本文一些内容，可作为高中 课外兴趣小组活动内容，对开拓学生知识面，提高 能力有一定作用．