平面解析几何解题思路探究

台山培英中学 梁达辉

在平面解析几何学习中，许多同学感觉到对所学的基本概念已经理解，基本公式已经熟练，但解题时却力不从心，无从入手。究其原因：一是在学习中没有注意总结归纳基本题型及其解法；二是对老师归纳过的一些解法未能内化；三是缺乏对解题策略的探究。下面结合平面解析几何直线部分的内容介绍一些基本题型及其解决法。

1、 关于求点P分有几或段P1P2 所成的比例的问题

基本思路是：先定符号，再求数值。解题时一般要根据已知条件画出线段P1P2，在P1P2所在直线在打到分点P的位置，并确定入的正负性，再根据P1、P、P2之间的长度关系或坐标关系计算出的值，例如：已知A、B、C三点共线，点C分AB的比为-3，求点B分AC所成的比。 解:（图略）设点B分AC所成的比为λ

点C分AB所成的比为-3 点C在AB的延长线上 点B在线段AC上 λ＞0

AC=-3CB |AC|=3|CB| |AB|=2|BC|

AB=λBC |AB|=|λ||BC| |λ|= = 2 ∵λ＞0 ∴λ=2

2、关于判断线证明平面内三点共线问题 一般方法有：

（1）用分点坐标公式：λ= =只要根据三点坐标

分别求出 和的值，相等则共线，否则不共线 （2）用两点间距离公式：由三点坐标计真算每两点间的距离，若最大的距离等于另两个较小距离之和，则这三点共线，否则不共线。

（3）用斜率公式：分别计真其中一点与另两点连线的斜率，若两斜率相等或两斜率都不存在，则这三点共线，否则不共线。

（4）用直线的方程：求出经过其中两点的直线方程，再判断另一点的坐标是否满足该直线方程，若满足，则这三点共线，若不满足，则这三点不共线。

3、求一点P（Xo，Yo）关于一直线AX+By+C=O的对称点问题

（1）若直线为特殊直线Y=X，Y=-X，X轴，Y轴时，则对称点的坐标分别为（Y0，XO），（-YO，-XO）、（XO，-YO）、（-XO，YO）。 （2）当直线AX+BY+C=O一般直线时，可设对称点的坐标为： P1（X1 Y1），建立方程组

=-1

· +C=0 A +

（3）公式法：设对称点的坐标为（X1，Y1）由公式 x1=x0-

Y1=Y0-

求出X1，Y1的值。

4、求直线A1X+B1Y+C1=O关于直线AOX+BOY+CO=O对称的直线的方程问题 （1）若直线AOX+BOY+CO=O为特殊直线，X轴，Y轴，Y=X，Y=-X时对称直线的方程为：A1X-B1Y+C1=O；-A1X+B1Y+C1=O，A1Y+B1X+C1=O，-A1Y-B1X+C1=O （2）直线AOX+BOY+CO=O为一般直线时

1/当直线AOX+BOY+CO=O与直线A1X+B1Y+C1=O平行时，则只需用两平行线的距离公式即可求出所要求的直线的方程

2/若直线AOX+BOY+CO=O与直线A1X+B1Y+C1=O相交于一点A，可先求出点A的坐标，再利用到角公式求出对称直线的斜率，由点斜式求出对称直线的方程 5、求直线A1X+B1Y+C1=O关于点P（XO，YO）对称的直线方程问题根据对称性，只需将直线方程A1X+B1Y+C1=O中的X换成2XO-X，Y换成2YO-Y，即可求出对称直线的方程。

6、关于判断直线系F（X，Y，λ）=O（其中为参数）是否过定点，若过定点并求出该定点的问题。

常用的思考方法有二：

方法一：观察直线系方程F（X，Y，λ）=O是否存在某一个常数XO，使得当X=XO时，可以求得Y=YO是与入无关的一个值，若存在，则直线就过定点（XO，YO），若不存在，则直线系就不过定点；

方法二：将直线系方程F（X，Y，λ）=O变形为f（X，Y）+λg（X，Y）=O f(x、y)=0

令 若方程组有解，则直线系就过原点，若此方程组无 f(x、y)=0

解、则直线系就不过定点。

上面仅将解析几何中直线部分的一些题型及其解法作了介绍，其他题型及其解法也可仿点类似的方法进行归纳总结。解析几何是用代数方法研究几何问题的一门学科，由于其研究方法的独特性，因此，学习中只需注意总结，善于归纳，加强解题策略的探究，对所学的知识就会融会贯通，解题时就会左右逢源。