基于整体把握初中数学课程理念
《勾股定理》教学设计
设计者：北京市2012城区组长班第一组学员 乔春艳 单位：北京市交大附中 教材版本：人教版 班级：初二
指导者：王建明 北京教育学院数学系
一、教学内容分析
1．课程标准的内容要求
课标（实验稿）：体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决问题。会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
课标（2011版）：探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单问题。
结论：变化不大。都有“探索”和“解决问题”的要求。从标准的发展看到勾股定理作为初中数学核心内容的地位是稳定的。
2．不同版本教材的比较（主要分析引入部分，其余部分类似分析）
（1）勾股定理在人教版、北师大版、华东师大版三个版本中是以“章”存在。北京版中勾股定理是在《三角形》一章中出现。
（2）年级：四种版本教材分为八上和八下两种。
（3）四种版本教材都介绍了中国古代对勾股定理的贡献相关的数学史。 （4）引入：
人教版引入：给出了毕达哥拉斯在朋友家做客时…..
北师版引入：台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高？
华师版引入：两块（特殊的）直角三角板三边长度的测量去发现直角三角形三边的关系，填写表格，让学生猜测直角三角形三边的关系； 三角尺 1 2 直角边a 直角边b 斜边c 关系 北京版引入：以“做一做”--用圆规和刻度尺作以下三个直角三角形，使它们的两条直角边分别为3cm、4cm，6cm、8cm，5cm、12cm，然后用刻度尺量出它们斜边的长。
日本教材引入：做图“数”面积。 结论：……
3.《几何原本》中勾股定理的呈现形式与教材中勾股定理呈现形式之间的关系（略） 4.小学几何课程的主要内容，及其与勾股定理之间的关系（略） 5.横向联系
几何与代数（图形与方程），图形性质与几何变换，数学与文化，证明的意义 总体结论：……
二、学生情况分析（略） 1.学生已有知识与技能
2.学生已有生活经验和学习经验：可以前测，也可以访谈 3.学生学习该内容可能的困难：建议访谈 4.学生学习的兴趣、积极性、学习习惯和学法分析
三、教学目标
1．了解勾股定理的历史发展过程，体会勾股定理的文化价值，掌握勾股定理的内容； 2．让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的过程，体验勾股定理的探索过程，会用代数法与几何法证明勾股定理。
3．通过证明勾股定理，感受几何与代数，图形性质与图形变换，感受勾股定理中的数学美学。
重点：勾股定理的内容及证明过程中出现的数学思想学习的机会。 难点：勾股定理结论的发现。
四、教学活动 问题与情景 [活动1] 画一画： 活动1.1：如图1、2中,分别以直角三角形ABC的3条边为边向外画正方形. 活动1.2：.求出问题1中各个正方形的面积,填入下表（表略），并在图2中画与○1、○2不 师生行为 学生画图、展示，交流作法与“数”面积的算法 教师提问： （1）如何“数”出面积？ （2）图形各部分面积与三角形边长之间的关系是什么？ （3）如何用代数式表示你的发现？ 设计意图 从几何作图引入，直观，可操作。希望强化几何直观，减缓代数形式的勾股定理结论的突兀。此引入设计借鉴了教材的比较（国内外比较研究的综合结论） “数”面积后，得到数值，观察数值的关系。 通过活动和提问，获得几何形式和代数形式的勾股定理的结论。回归学科本质。
同的直角三角形,用相同的方法求面积 [活动2] 学生交流、教师引导，总结概括得
1.勾股定理的内容是什么？从面积的角度如何概括勾股定理？ 2.正方形的面积与边相关，如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么怎样表述勾股定理？ 出： 勾股定理（几何表述）：直角三角 形直角边上的两个正方形面积之 和，等于斜边上正方形的面积 勾股定理（代数表述）： 如果直角 培养学生的语言表达能三角形两直角边长分别为a、b，力和抽象概括能力。 斜边长为c，那么a2b2c2． 使学生从几何和代数两 方面理解勾股定理。 3.若已知直角三角形的斜边即：直角三角形两直角边的平方和 和一条直角边分别为5和4，等于斜边的平方． 如何求另一条直角边？ 体现勾股定理中的代数 （方程）思想。 弦 勾 股 得出结论之后教师讲述： 中国古代小故事激发同 数学小史：以上这个事实是我学们的民族自豪感和爱 国古代3000多年前有一个叫商高的国情怀。 人发现的，他说：“把一根直尺折成 直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话 意思是说一个直角三角形较短直角 边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名． （在西方称为毕达哥拉斯定理） [活动3] 如何证明勾股定理？ 1.准备4个全等的直角三角形（设直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为学生交流展示不同的拼图方法： (赵爽弦图） 用实物获得勾股定理的证明思路，但勾股定理的证明要脱离实物。
c），你能用这四个全等的直角三角形拼成一个正方形，并利用这个正方形说明勾股定理吗？ 2.和小组同学交流一下，你们拼出的正方形一样吗？都能够说明勾股定理吗？ 使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。 学生自主探究、证明 (1)如上图1 ： 4S△+S小正=S大正 a b a c b 1 2 c 4×ab＋（b－a）=c2，化简可证。 2 c c 使学生感知不同图形之b a (2)如上图2 ： 4S△+S小正=S大正 间的证明方法既有差异a 1 b 又有联系。 4×ab＋c2=（b+a）2，化简可证。 2 教师展示、提升： 3.这两个图形之间有怎样的 关系？ 体会两个图形之间的关 系，渗透旋转、翻折等 几何变换思想。 14. 这个图形和上面的图形有 ∵S梯形ABCD=2a+b2能用多种方法证明勾股什么关系？能否用这个图形 1定理，从而更深刻的图=(a2+2ab+b2) 2证明勾股定理？ 形变换中面积不变的原 又∵S梯形ABCD=SAED+SEBC+SCED理。同时引导学生对比C 1111 =ab+ba+c2=(2ab+c2)各种方法间的区别与联2222D c b 比较上面二式得 c2=a2+b2系。 c a A b E a B 教师讲述：1881年，伽菲尔德就 任美国第二十任总统.后来，人们 为了纪念他对勾股定理直观、简 捷、易懂、明了的证明，就把这一 证法称为“总统证法”． 5.刚才得到的勾股定理 的证 介绍中外典型几何证
明都是用代数方法，通过面积之间的计算而得证的，你能用其他方法（几何方法）证明勾股定理吗? （1）介绍《几何原本》中的证法 或者让学生尝试移动四个全等直角三角形。 大家知道这棵树叫什么树吗？在这个图形中有没有大家熟悉的几何图形？ （2）刘徽的出入相补原理“朱青出入图”： AB GHCKAbMacBFDNE法，拓展学生的证明思路。 欣赏勾股定理，感受数学的外在美。 体会全等变换在勾股定理证明中的应用。 教师展示、提问 朱出 B c a 朱方 青入 A C b 青入 青方 朱 入 青出 青出 图 8 总结： 1．知识：勾股定理的几何表述和代数表述。 2．方法：① 观察—探索—猜想—验证—归纳； ② 代数证明法：面积计算（运算律） ③ 几何证明法：“割、补、拼、接”法. 3．思想 [活动4] 通过本节课的学习，你对勾股定理有了哪些认识？ 作业： 1.搜集勾股定理的相关历史和证明方法。 2. 观察、探究：实际生活中有哪些是勾股定理的应用？ 反思、提升对勾股定理的认识。更全面、更深入的理解勾股定理，提高同学们的认识水平。 板书设计： 课题：勾股定理 一、勾股定理： 二、勾股定理的证明： （1）几何表述： （2）代数表述： 多媒体
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