近世代数期末考试试卷及答案(正)

近世代数模拟试题一

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（C ）是子群。

33 e,ae,a,aa,eaA、 B、 C、 D、

2、下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群

A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|

4、设1、2、3是三个置换，其中1=（12）（23）（13），2=（24）（14），3=（1324），则A、213=（ ）

22 B、12 C、 D、21

5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、 是交换群

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子的--交换环---称为整环。

4aaG3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于--25----。

4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-模n乘余类加群------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B=--{2}---。

6、若映射既是单射又是满射，则称为----一一映射-------------。

a,a,,an叫做域F的一个代数元，7、如果存在F的--不都等于零的元---01使

得

a0a1ann0。

8、a是代数系统(A,0)的元素，对任何xA均成立xax，则称a为-右单位元-------。

9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、---消去律成立------。

10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是--交换环--------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集。

解：H的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )} H的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )}

2、设E是所有偶数做成的集合，“•”是数的乘法，则“•”是E中的运算，（E，•）是一个代数系统，问（E，•）是不是群，为什么？

答：（E，•）不是群，因为（E，•）中无单位元。 3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q。 解 ：方法一、辗转相除法。列以下算式： a=b+102 b=3×102+85 102=1×85+17

由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。

然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b. 所以 p=4, q=-5.

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、若是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。

证明 ：设e是群的幺元。令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解。 若x∈G也是a*x＝b的解，则x＝e*x＝(a－1*a)*x＝a－1*(a*x)＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。

2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a〜b当且仅当m︱a–b。

证明：容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为a，称之为模m剩余类。若m︱a–b也记为a≡b(m)。

当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。

近世代数模拟试题二

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。 A、2阶 B、3 阶 C、4 阶 D、 6 阶

2、设G是群，G有（ ）个元素，则不能肯定G是交换群。 A、4个 B、5个 C、6个 D、7个 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。 A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂 4、下列哪个偏序集构成有界格（ ）

A、（N,） B、（Z,） C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系）） D、 (P(A),)

5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ）

A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23) C、(1)，(123) D、S3中的所有元素

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、群的单位元是---唯一-----的，每个元素的逆元素是----唯一----的。 2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f1fa--a--------。

3、区间[1，2]上的运算ab{mina,b}的单位元是--2-----。 4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——24————————。 5、环Z8的零因子有 -----------------------。

6、一个子群H的右、左陪集的个数--相等--------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---商群------。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的---特征--------。

n9、设群G中元素a的阶为m，如果ae，那么m与n存在整除关系为

---mn-----。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？ 解： 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。

2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？

证： 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1∩S2：

因为S1，S2是A的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2 ， 因而a-b, ab∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。 S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：

3、设有置换(1345)(1245)，

(234)(456)S6。

11．求和；

12．确定置换和的奇偶性。 1(1243)(56)解： 1．，(16524)；

2．两个都是偶置换。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。

证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a0，由理想的定义

a1a1，因而R的任意元bb•1

这就是说=R，证毕。

2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。

证： 必要性：将b代入即可得。 充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e， ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e， 所以b=a-1。