高考数学一轮复习： 课时分层训练71 坐标系 理 北师大版

课时分层训练(七十一) 坐标系

x′＝2x，

1．若函数y＝f(x)的图像在伸缩变换φ：

y′＝3y

的作用下得到曲线的方程为y′＝

π3sinx′＋，求函数y＝f(x)的最小正周期．

6

ππ[解] 由题意，把变换公式代入曲线方程y′＝3 sinx′＋得3y＝3 sin2x＋，

66ππ2π整理得y＝sin2x＋，故f(x)＝sin2x＋.所以y＝f(x)的最小正周期为＝π.

6622．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)＋(y－2)＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C1，C2的极坐标方程；

π

(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN4的面积．

[解] (1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. π2

(2)法一：将θ＝代入ρ－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得

4

2

2

2

ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2，

故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝2.

1

由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为. 2

法二：直线C3的直角坐标方程为x－y＝0，圆C2的圆心C2(1,2)到直线C3的距离d＝2

，圆C2的半径为1， 2

所以|MN|＝2×122

1－＝2，所以△C2MN的面积为.

22

2

12

＝

1x＝1＋2t，

3．(2018·合肥一检)已知直线l的参数方程为

y＝3＋3t

(t为参数)．以坐标原点

为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标轴中，曲线C的方程为sin θ－3ρ cosθ＝0.

(1)求曲线C的直线坐标方程；

2

(2)写出直线l与曲线C交点的一个极坐标． [解] (1)∵sin θ－3ρcosθ＝0， ∴ρsin θ－3ρcosθ＝0，即y－3x＝0. 1x＝1＋2t，

(2)将

y＝3＋3t，代入y－3x＝0，

2

2

2

2

2

1得3＋3t－31＋t＝0，即t＝0.

2

从而交点坐标为(1，3)．

2

π∴交点的一个极坐标为2，.

3

4．在直角坐标系xOy中，曲线C1：

x＝tcos α，

y＝tsin α

(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.

在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝23cos

θ.

(1)求C2与C3交点的直角坐标；

(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.

【导学号：79140387】

[解] (1)曲线C2的直角坐标方程为x＋y－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x＋

2

2

2

y2－23x＝0，

x＋y－2y＝0，

联立2

x＋y2－23x＝0，

22

x＝0，解得

y＝0

3

x＝2，或

3y＝2.

所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和

33

，. 22

(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(23cos α，α)． π所以|AB|＝|2sin α－23cos α|＝4sinα－. 35π

当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.

6

x＝acos t，

5．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

y＝1＋asin t

(t为参

数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.

(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

[解] (1)消去参数t得到C1的普通方程为x＋(y－1)＝a，则C1是以(0,1)为圆心，

2

2

2

a为半径的圆．

将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ－2ρsin

2

θ＋1－a2＝0.

(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

ρ－2ρsin θ＋1－a＝0，



ρ＝4cos θ.

2

2

2

2

若ρ≠0，由方程组得16cosθ－8sin θcos θ＋1－a＝0， 由已知tan θ＝2，得16cosθ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1. 当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上． 所以a＝1.

6．(2018·湖北调考)在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2 sin θ，正方形ABCD的顶点都在C1上，且依次按逆时针方向排列，π点A的极坐标为2，.

4

(1)求点C的直角坐标；

(2)若点P在曲线C2：x＋y＝4上运动，求|PB|＋|PC|的取值范围.

【导学号：79140388】

π[解] (1)点A2，的直角坐标为(1,1)． 4由A，C关于y轴对称，则C(－1,1)． (2)易得B(0,2)，C(－1,1)．

曲线C1：ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x＋(y－1)＝1. 设P(x，y)，x＝2cos θ，y＝2sin θ， 则|PB|＋|PC|＝x＋(y－2)＋(x＋1)＋(y－1) ＝2x＋2y－6y＋2x＋6 ＝14＋2(x－3y)

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

＝14＋2(2cos θ－6sin θ) ＝14＋4(cos θ－3sin θ) ＝14＋410cos(θ＋φ)．

所以|PB|＋|PC|∈[14－410，14＋410]．

2

2