无理方程

教学目标

1、掌握无理方程、有理方程、代数方程的概念，能识别无理方程。 2、经历探索无理方程解法的过程，领会无理方程“有理化”的化归思想。 3、知道解无理方程的一般步骤，会解简单的无理方程。 4、知道验根是解无理方程的重要步骤，掌握验根的常用方法。 教学重点及难点

1、只含一个或两个关于未知数的二次根式的无理方程的解法。 2、对无理方程产生增根的理解。

教学过程设计 一、问题引入

1．以下方程是你所熟悉的方程吗？

(1)x62 (2)3x25x30 (3)3x4x

2x20 2x4x1一元一次方程：_______,一元二次方程：_______ 一元高次方程：_______,二元一次方程：_______ 分式方程：_________.

2．观察

大家能谈谈这个方程的特点吗？

二、 新课学习 1、方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程，也叫根式方程.

同学们不妨回顾一下数与式。我们都知道实数可分为有理数和无理数，有理数又可分为整数和分数。而代数式可分为有理式和无理式，有理式又可分为整式和分式。通过比较，我们可以看到代数式和实数分类结构相同，如下图所示∶

(4)xy5 (5)x42x230 (6)整数整式有理数有理式实数代数式 分数分式，

无理数无理式那我们现在来看方程的分类。我们学过的一元一次方程，二元一次方程（组）,

一元高次方程，都属于整式方程，前阶段我们还学过分式方程。由类比，我们把整式方程和分式方程统称有理方程，而我们刚才列出的方程①就是无理方程。 2、

代数方程的分类：

整式方程

有理方程

分式方程 代数方程 无理方程

3、判断下列方程中哪些是无理方程？

(1)x62, (2) 3x4x (3)2x25x10,

1x11 (6)3x24 (4)x25x10, (5) 31x1(7) x315 x3 三、 例题讲解 例题1、3x4x

解∶方程两边平方，得∶3x4x2

整理得∶x23x40

问题∶请问同学们，你平方的目的是什么？

结论∶同学们回答得非常好，通过平方我们把无理方程的求解化归到有理化的求解，显然有理方程我们是会解的。 同时板书 学生继续求解

x1x40

∴x11,x24

问题∶x1不是方程原方程的解，那我们是不是方程解错了？

学生稍作停留，回答说没有。但x1却是有理方程的解，这是为什么呢？ [学生回答]∶平方，平方把无理方程化为了有理方程，但是.......，原方程中未知数允许取值的范围扩大了，如原方程平方前未知数x的取值范围是x0，而原方程平方后未知数x允许的取值范围是一切实数，平方使未知数x的取值范围扩大了。所以也就产生了增根。 问题：怎样检验呢？

把解依次代入原方程的左右两边，加以检验。如果左=右，解是原方程的解，否则，解是原方程的增根，要舍去。

检验∶当x4时，左边344164，右边=4，可知x4是原方程的根；

当x1时， 左边3(1)411，右边=-1，可知x1是原方程的增根，舍去。

所以，原方程的解是 x4

通过刚才的探究，我们初步掌握了解无理方程的步骤。那现在我们一起把问题1中的无理方程解完好吗？

问题∶那这个方程怎么没产生增根呢？

答∶方程平方前后未知数x的取值范围都是一切实数，没有变化，所以没有产生增根。

例2：（1）3x4-x0 （2）23x4-x0

例3：解方程3x4-x20

思考：通过上述三题，你能总结解无理方程的一般步骤吗？

开始

1、去根号

2、解有理方程

3、检验 是 4、写出原方程的根 舍去

三、温故新知 1、思考

通过以上四个方程的解答,你觉得在解无理方程的时候要注意些什么？ 2、发现

（1）当方程中只有一个含未知数的二次根式时通常将方程化成例题1的形式，

再通过两边平方化为有理方程。

（2）当方程有两个含未知数的二次根式而没有其他“项”时，通常把两个二

次根式分别放在方程的左右两边，再通过两边平方化为有理方程。 （3）当方程有两个含未知数的二次根式且还有其他“项”时，通常像例题4

那样变形，把一个二次根式单独放在方程的一边，另一个二次根式和其他“项”放在方程另一边，再通过两次平方把原方程转化为有理方程。 四、牛刀小试

你会解方程:x23x2x23x8吗?

五、课堂小结

通过本堂课你有什么收获?

六、作业布置

练习：21.4(1)