四川省成都外国语学校2011届高三数学3月月考 理

注意事项：

1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 2、本堂考试120分钟，满分150分。

3、本堂考试附有答题卡。答题时，请将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的答案规范地填涂在答题卡上； 4、答题前，请将自己的姓名、学号用2B铅笔规范地填涂在答题卡上，并在答题卷上密封线内用钢笔工整地填上自己的班级、姓名和学号。

第Ⅰ卷（选择题 60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每个小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上．

1．函数ysinx(3sinx4cosx) (xR)的最大值为M，最小正周期为T，则有序数对(M,T)为（ ） A．(5,)

B．(4,)

C．(1,2)

D．(4,2)

2．命题p：若ab0，则a与b的夹角为钝角。命题q：定义域为R的函数f(x)在(,0)及(0,)上都是增函数，则f(x)在(,)上是增函数。下列说法正确的是（ ）

A．“p或q”是真命题 B．“p且q”是假命题 C．“p”为假命题 D．“q”为假命题 3．已知实数a,b满足：abi711，若用Sn表示数列abn的前ni（其中i是虚数单位）

1i22项的和，则Sn的最大值是（ ） A．16

B．15

C．14

D．12

4．把下列各题中的“=”全部改成“”，结论仍然成立的是（ ）

A．如果ab,cd，那么acbd B．如果ab,cd，那么acbd C．如果ab,cd，且cd0，那么

ab cd D．如果ab，那么a3b3

5．若函数yf(x)存在反函数yf1(x)，且函数y2xf(x)的图像过点(2,1)，则函数

yf1(x)2x的图象一定过点（ ）

A．(3,2)

B．(2,3) B．70种

2 C．(4,3) D．(3,4) D．55种

6．某班选派6人参加两项公益活动，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有（ ） A．50种

C．35种

y21的两条渐近线和直线6xy80所围成三角形的边7．设平面区域D是由双曲线x4界及内部。当(x,y)D时，x2y22x的最大值为（ ） A．24

B．25

C．4

D．7

8．设a1，定义f(n)11n1n21，如果对任意的nN*且n2，不等式2n恒成立，则实数b的取值范围是（ ） 12f(n)7log7ab7loga1bA．2,

29 17 B．(0,1) C．(0,4)

D．(1,)

2y29．已知双曲线x1的左顶点为A1，右焦点为F2，为双曲线右支上一点，则PA1PF2最

3小值为（ ）

A．2

B．81 16 C．2 D．3

10．如图所示，PAB所在的平面和四边形ABCD所在的平面互相垂直，且

AD，BC，AD4，BC8，AB6。若tanADP2tanBCP1， 则动点P在平面内的轨迹是（ ） A．椭圆的一部分 B．线段 C．双曲线的一部分 D．以上都不是

11．如图所示，已知球O为棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的内切球，则平面 ACD1截球O的截面面积为（ ）

A．C．

12．下列命题中：①函数f(x)sinx 6

B．D． 33 3

6 62x(0,)的最小值是22；②在ABC中，若sinxsin2Asin2B，则ABC是等腰或直角三角形；③如果正实数a,b,c满足abc，则abc；④如果yf(x)是可导函数，则f(x0)0是函数yf(x)在xx0处取1a1b1cC．②③④

到极值的必要不充分条件。其中正确的命题是（ ） A．①②③④ B．①④

D．②③

第Ⅱ卷 （非选择题 90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡题中相应的横线上． 13．已知a、b、c分别是ABC的三个内角A、B、C所对的边，若

cosBb，则cosC2acB 。

14．设(5xx)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若MN240，则展开式中x3的系数为 。

15．对于连续函数f(x)和g(x)，函数f(x)g(x)在闭区间[a,b]上的最．大．值．称为f(x)与

g(x)在闭区间[ab,上]的“绝对差”，记为

axf(b则x),g(，x)221, xx 。 91x4x116．下面给出的四个命题中：

①对任意的nN*，点Pn(n,an)都在直线y2x1上是数列{an}为等差数列的充分不必

要条件；

②“m2”是直线(m2)xmy10与“直线(m2)x(m2)y30相互垂直”的必要不充分条件；

22③设圆x2y2DxEyF0(DE4与坐标轴有4个交点A(x1,0)，F0)B(x2,0)，C(0,y1)，D(0,y2)，则有x1x2y1y20；

④将函数ycos2x的图象向右平移

个单位，得到函数ysin(2x)的图象。 36 其中是真命题的有 （将你认为正确的序号都填上）。

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

某高校的自主招生考试数学试卷共有8道选择题，每个选择题都给了4个选项（其中有且仅有一个是正确的）。评分标准规定：每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分。某考生每道题都给出了答案，已确定有4道题的答案是正确的，而其余的题中，有两道题每题都可判断其中两个选项是错误的，有一道题可以判断其中一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜。对于这8道选择题，试求：

（1）该考生得分为40分的概率；

（2）该考生所得分数的分布列及数学期望E。

18．（本小题满分12分）

在股票市场上，投资者常参考股价（每一股的价格）的某条平滑均线（记作MA）的变化情况来决定买入或卖出股票。股民老王在研究股票的走势图时，发现一只股票的MA均线近期走得很有特点：如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系xoy，则股价y（元）和时间x的关系在ABC段可近似地用解析式

yasin(x)b(0)来描述，从C点走到今天的D点，是震荡筑底阶段，而今天出现了明显的筑底结束的标志，且D点和C点正好关于直线l:x34对称。老王预计这只股票未来的走势如图中虚线所示，这里DE段与ABC段关于直线l对称，EF段是股价延续DE段的趋势（规律）走到这波上升行情的最高点F。

现在老王决定取点A (0,22)，点B (12,19)，点D (44,16)来确定解析式中的常数a,b,,，并且已经求得72。

（1）请你帮老王算出a,b,，并回答股价什么时候见顶（即求F点的横坐标）； （2）老王如能在今天以D点处的价格买入该股票5000股，到见顶处F点的价格全部卖出，不计其它费用，这次操作他能赚多少元？

19．（本小题满分12分）

如图所示，多面体EFABCD中，ABCD是梯形，AB//CD，ACFE是矩形，平面

ACFE平面ABCD，ADDCCBAEa，ACB2。

FE（1）求证：BC平面ACFE；

（2）若M是棱EF上一点，AM//平面BDF，求EM； （3）求二面角BEFD的平面角的余弦值。

DCA19题图 B

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20．（本小题满分12分）

已知数列{an}是公差为d(d0)的等差数列，Sn为其前n项和。 （1）若a2，a3，a6依次成等比数列，求其公比q； （2）若OPn(n,线；

（3）若a11，dSn)(nN*)，求证：对任意的m,nN*，向量PmPn与向量b(2,d)共naS1，OQn(n,n)(nN*)，问是否存在一个半径最小的圆，使得2nn2对任意的nN*，点Qn都在这个圆内或圆周上。

21．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A(1,0)，B(0,2)，点C满足

OC(mOAnOB)，其中m,nR且m2n1。

（1）求点C的轨迹方程；

x2y2（2）设点C的轨迹与双曲线221（a0,b0且ab）交于M、N两点，且以

ab11MN为直径的圆过原点，求证：22为定值；

ab（3）在（2）的条件下，若双曲线的离心率不大于3，求双曲线实轴长的取值范围。

22．（本小题满分14分）

设函数f(x)(1x)2ln(1x)2。

（1）求函数f(x)的单调区间；

1（2）当x[1,e1]时，不等式f(x)m恒成立，求实数m的取值范围；

e（3）若关于x的方程f(x)x2xa在[0,2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围。

成都外国语学校2011级高三(下)三月月考试题 数学（理科）参考答案

一、选择题：BBADD AADAC AC 二、填空题：13．三、解答题：

17．解：（1）要得40分，8道选择题必须全做对，在其余四道题中，有两道题答对的概率为

有一道题答对的概率为

213；14．150；15．；16．①③ ④。 391，211，还有一道题答对的概率为，所以得40分的概率为

4311111。 P223448（2）依题意，该考生得分的取值是20，25，30，35，40，得分为20表示只做对了四道题，其余各题都做错，故所求概率为P(20)同

样

可

求

得

得

11231； 22348分

为

25

分

的

概

率

为

112311131121171； P(25)C22234223422344817得分为30分的概率为P(30)；

487得分为35分的概率为P(35)；

481得分为40分的概率为P(40)。

48于是的分布列为：

 P

20 25 30 35 40 6 4817 4817 487 481 486171771335。 25303540484848484812335该考生所得分数的数学期望为。

1218．解：（1）C,D关于直线l对称C点坐标为(23444, 16)，即(24, 16)，把A、B、C

故E2022asinb ①② 。 的坐标代入解析式，得19asin()b616asin()b③3

②①得a[sin(6)sin]3，③①得a[sin(3)sin]6，

63333，(1)cos(3)sin3(1)sin22235， 代入②得b19，再由①得a6。0tan3665。 a6,b19，65于是，ABC段的解析式为y6sin(x)19，由对称性得，DEF段的解析式为

72655，解得xF92。当x92时，股y6sin[(68x)]19。(68xF)7262726价见顶。

（2）由（1）可知，yF61925 ，故这次操作老王能赚5000(2516)45 000元。 19．证明与求解：（1）平面ACFE2sin()2sinsin()sin cos3sin33cossin。 22ABCDAC，ACB2，从而BCAC。又因为BC面ABCD，平面ACFE平面ABCD，所以BC平面ACFE。

（2）连接BD，记ACBDO，在梯形ABCD中，因为ADDCCBa，AB//CD，所以，ACABCBCDDABACDACB3DAC又因为ACB2，DAC6，从而CBO6。

2，CBa，所以CO3a。连接FO，由AM//平面BDF得AM//FO，33a。 3（3）以C为原点，CA、CB、CF分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Cxyz，则

因为ACFE是矩形，所以EMCO3aa,,0)，F(0,0,a)，E(3a,0,a)，设平面DEF223ar0nEF01的一个法向量为n1(r,s,t)，则有，即3，解得aarsat0n1DF022。 n1(0,2,1)C(0,0,0)，A(3a,0,0)，B(0,a,0)，D(同理可得平面BEF的一个法向量为n2(0,1,1)，观察知二面角BEFD的平面角为锐角，所以其余弦值为cos|n1n2||n1||n2|10。 102(a12d)2(a1d)(a15d)。20．解：（1）因为a2，a3，a6成等比数列，所以a3a2a6，

d2a1，qa33。 a2（2）因为PmPnOPnOPm(n,SnSSS)(m,m)(nm,nm)，而 nmnmSnSm(n1)d(m1)dnm[a1][a1]d， nm222所以PmPn(nm,nmnmnmd)2,db，所以向量PmPn与向量222b2,d共线。

n231111（3）因为a11,d，所以an1(n1)n，Snn。

4422222OQnaSnn2n22n4121(n3n)2[(n1)]22216nn45n414n313n211314(25) 416nn16n13171=。 16n1313113171因为n1，所以01。2，当n1时取等号。

n16n1313所以OQn2222，即OQn2所以存在半径最小的圆，最小半径为2，使得对任意

的nN，点Qn都在这个圆内或圆周上。

21．解：（1）设C(x,y),因为OCmOAnOB，则(x,y)m(1,0)n(0,2)。

xm, y2n.m2n1,xy1，即点C的轨迹方程为xy10。

xy1,得(b2a2)x22a2x2a2a2b20.由题意b2a20。 （2）由x2y2221,ba2a2a2a2b2。 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x22,x1x2222baba因为以MN为直径的圆过原点,OMON0,即x1x2y1y20。

2a22(a2a2b2)x1x2(1x2)(1x2)1(x1x2)2x1x2120， 222baba即b2a22a2b20,112为定值。 22ab11a22（3）222,b。e3,2ab12a1a2b2e3。 2a211123,即12a,0a,从而02a1。

2212a2∴双曲线实轴长的取值范围是0,1。

22．