2020-2021学年苏教版数学小升初衔接讲义（整合提升篇）
专题06 拓展提高—行程问题
试卷满分：100分 考试时间：100分钟
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）（2021•泰安模拟）甲、乙两车同时从两地出发，相向而行．甲车每时行105千米，5时后两车在距中点30千米处相遇．若乙车慢一些，则乙车每时行（ ）千米． A．93
B．99
C．111
【思路引导】 甲、乙两车同时从两地出发，相向而行，属于相遇问题．在距中点30千米处相遇且乙车慢，说明在5小时内甲车比乙车多行驶30×2＝60（千米），则平均每小时甲车比乙车多行驶60÷5＝12（千米），据此可求出乙车的速度． 【完整解答】 30×2÷5 ＝60÷5 ＝12（千米/时） 105﹣12＝93（千米/时） 答：乙车每小时行驶93千米． 故选：A．
2．（2分）（2021•泰安模拟）爸爸和儿子从东西两地同时相对出发，两地相距10千米．爸爸每小时走6千米，儿子每小时走4千米．爸爸带了一只小狗，小狗用每小时10千米的速度向儿子跑去，遇到儿子或爸爸立即折返，直到爸爸和儿子相遇才停．那么小狗一共跑了（ ）千米的路程． A．10
B．15
C．20
【思路引导】 由题意可知小狗来回跑的时间等于爸爸和儿子相遇的时间，先根据相遇时间＝路程÷速度和，求出爸爸和儿子相遇时需要的时间，再根据路程＝速度×时间即可解答． 【完整解答】 小狗跑的时间就是爸爸和儿子相遇的时间， 爸爸和儿子相遇用了：10÷（6+4）＝1（小时）， 10×1＝10（千米），
所以小狗跑了1小时，跑了10千米． 故选：A．
3．（2分）（2019•绵阳）甲车和乙车分别从A、B两站同时相向开出，6小时后相遇．相遇后，两车仍按原速度前进，当它们相距m千米时，甲车行了全程的60%，乙车行了全程的80%．则甲车行完全程需要（ ）
1 / 20
小时． A．10.5
B．
C．
m
D．14
【思路引导】 把全程看作是单位“1”，求出m千米对应的分率，要用60%+80%﹣1＝，所以全程为m
；根据甲车行了全程的60%，乙车行了全程的80%可以求出两车的速度比为60%：80%＝3：
，相遇时间为6小时，可以求出两车的速度和，结合按比例分配问题可以求出甲车的
4，根据全程为
速度，再利用时间＝路程除以速度可求出甲车行驶全程需要的时间． 【完整解答】 60%+80%﹣1＝， m
＝
（千米），
甲乙两车的速度比为60%：80%＝3：4， 甲乙两车的速度和：甲车的速度：甲车的时间：故选：D．
4．（2分）如图，甲、乙两人沿着边长为90米的正方形，按A→B→C→D→A…方向行走，甲从A以65米/分的速度，乙从B以72米/分的速度同时出发，当乙第一次追上甲时在正方形的（ ）边上。
÷6＝
（千米/小时）， （千米/小时）， （小时）
A．AB
B．DA
C．BC
D．CD
【思路引导】 根据题意可知，两人开始出发时的距离为270米，他们的速度差为：（72﹣65）＝7米/分，则追及时间为：270÷7＝
（分），由此可求出此时甲行的路程以及甲行的周数，据此解答。
【完整解答】 已追上甲时，甲行了： 65×[270÷（72﹣65）] ＝65×＝
（米）
2 / 20
＝＝6又1
÷360 （周）
所以在DA边上。 故选：B。
5．（2分）（2020•嘉峪关）甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇。已知甲每秒钟比乙每秒钟多行0.1米，那么，两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是（ ） A．166米
B．176米
C．224米
D．234米
【思路引导】 甲乙两人第三次相遇，他们的路程和就是环形跑道长度的3倍；根据甲乙两人的速度差以及相遇时间，可以求出他们的路程差；根据和差关系，求出两人各自的路程；取路程较短的一方，除以环形跑道的长度，所得余数就是两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离。 【完整解答】 甲乙两人的路程和为：400×3＝1200（米）， 甲乙两人的路程差为： 0.1×8×60 ＝0.8×60 ＝48（米）
根据和差公式，路程较短的乙的路程为： （1200﹣48）÷2 ＝1152÷2 ＝576（米）
576÷400＝1（圈）……176（米）
答：两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是176米。 故选：B。
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
6．（2分）（2021•长沙）大货车和小轿车从同一地点出发沿同一公路行驶，大货车先走1.5小时，小轿车出发4小时后追上了大货车，如果小轿车每小时多行6千米，出发后3小时就可追上大货车。小轿车实际每小时行 66 千米.
【思路引导】 大货车先走1.5小时，小轿车出发4小时后追上了大货车，说明大货车行驶（1.5+4）小时
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的路程等于小轿车行驶4小时的路程，根据路程＝时间×速度，可知，路程一定，时间与速度成反比，求出两车的速度比；根据追及问题，追及距离＝时间×速度差，设小汽车的速度为x，表示出前后两次的速度差，列出方程求解即可。
【完整解答】 大货车与小轿车的速度比为： 4：（1.5+4）＝4：5.5＝8：11
设小轿车的速度为x，则大货车的速度为根据两次追及距离相等可得方程： 4×（x﹣
x）＝3×（x+6﹣
x＝x＝18
x+18
x）
x，
x＝66
答：小轿车实际每小时行66千米。 故答案为：66。
7．（2分）（2021•长沙）甲、乙两人从同一地点步行去森林公园，甲每小时走5千米，乙每小时走7千米，甲先走2小时后，乙才开始走，乙追上甲需要几小时？
甲 乙
第1小时 第2小时 第3小时 第4小时 第5小时 第6小时 第7小时
5 0
5 0
5 7
5 7
5 7
5 7
5 7
乙追上甲需要 5 小时．
【思路引导】 分别列出各个时间段二人所行路程，当二人所行路程相等时，乙追上甲． 【完整解答】 如表所示：
甲 乙
第1小时 第2小时 第3小时 第4小时 第5小时 第6小时 第7小时
5 0
5 0
5 7
5 7
5 7
5 7
5 7
乙追上甲时二人所行路程相等： 5×7＝7×5
答：乙追上甲需要5小时．
4 / 20
故答案为：5；5；5；0；0；7；7；7；5．
8．（2分）（2021•宁波模拟）一条河水流速度恒为每小时3公里，一只汽船用恒定的速度顺流4公里再返回原地，恰好用1小时（不计船掉头时间），则汽船顺流速度与逆流速度的比是 2：1 ．
【思路引导】 设汽船在静水中的速度为每小时x公里，那么汽船顺流时的速度是（x+3）公里，在逆流时的速度就是（x﹣3）y公里，根据时间＝路程÷速度，分别求出汽船顺流和逆流时，行完全程需要的时间，再根据时间的和是1小时列方程，求出x的值即可解答． 【完整解答】 设汽船在静水中的速度为每小时x公里，
＝1，
4x﹣12+4x+12＝x2﹣9， 8x＝x2﹣9， x2﹣8x﹣9＝0， （x﹣9）×（x+1）＝0， 故x＝9，
（9+3）：（9﹣3）＝12：6＝2：1，
答：汽船顺流速度与逆流速度的比是2：1， 故填：2：1．
9．（2分）（2020•安溪县）如图，A、B是圆直径的两端，乐乐在A点，欢欢在B点，同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C点离A点90米，他们以同样的速度继续前行，在D点第二次相遇，D点离B点70米，那么这个圆的周长是 400 米。
【思路引导】 已知他们在C点第一次相遇，C点离A点90米，则乐乐和欢欢第一次相遇时，两人刚好合走了圆周长的一半，此时乐乐走了90米；第一次相遇后直到两人第二次相遇在D点，这时乐乐和欢欢一共合走了一个圆周长；所以乐乐和欢欢从出发到第二次相遇，一共走了3个圆周长的一半。乐乐和欢欢合走了圆周长的一半，乐乐就走90米，当他们合走了3个圆周长的一半时，乐乐走了90×3＝270（米）。因为D点离B点的距离是70米。所以圆周长的一半＝270﹣70＝200（米），所以圆的周长是200×2＝400（米）。
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【完整解答】 90×3＝270（米） 270﹣70＝200（米） 200×2＝400（米）
答：这个圆的周长是400米。 故答案为：400。
10．（2分）（2021•宁波模拟）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们相遇时，甲比乙多行90米，相遇后乙的速度减少50%，甲到B地后立即调头，追上乙时离A地还有90米，那么A、B两地间的距离为 450 米。
【思路引导】 画出线段图，设A，B两地的距离为2a米，相遇时甲比乙多行90米，也就是甲走了（a+45）米，乙走了（a﹣45）米，他们的速度比为（a+45）：（a﹣45），乙降速后两人的速度比变为（a+45）：＝2（a+45）：（a﹣45），追及时，甲走的路程为a﹣45+2a﹣90＝3a﹣135（米），乙走的路程为a+45﹣90＝a﹣45（米），根据追及时，路程比等于速度比，列出方程求解即可。
【完整解答】 线段图：设A，B两地的距离为2a米， 相遇时甲比乙多行90米，
也就是甲走了（a+45）米，乙走了（a﹣45）米， 他们的速度比为（a+45）：（a﹣45）， 乙降速后两人的速度比变为（a+45）：
＝2（a+45）：（a﹣45），
追及时，甲走的路程为a﹣45+2a﹣90＝3a﹣135（米），乙走的路程为a+45﹣90＝a﹣45（米）， 根据追及时，路程比等于速度比，
＝
3a﹣135＝2a+90 a＝225 2a＝450
答：A、B两地间的距离为450米。 故答案为：450。
6 / 20
11．（2分）（2020秋•滨江区月考）甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，经过某一时刻相遇。如果甲车提前一段时间出发，那么两车将提前半小时相遇。已知甲车速度是60千米/时，乙车速度是40千米/时，那么，甲车要提前出发 50 分钟。
【思路引导】 根据甲车提前走的路程＝甲、乙两车共同走30分钟的路程，再根据时间＝路程÷速度，据此列式解答即可。
【完整解答】 30分钟＝0.5小时 0.5×（60+40）÷60 ＝50÷60 ＝（小时） 小时＝50分钟
答：甲车要提前出发50分钟。 故答案为：50。
12．（2分）（2019•成都模拟）快中慢三辆车同时同地出发，沿同一公路追赶前面一骑车人，这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。已知快慢车的速度分别为24千米/小时和19千米/小时，则中速车的速度为 20 千米/小时。
【思路引导】 根据题意可知：三辆车追骑车人的路程差是相同的，据此解答即可。 【完整解答】 骑车人的速度：（12×19﹣6×24）÷（12﹣6）＝14（千米/小时） 6×（24﹣14）＝60（千米） 60÷10+14＝20（千米/小时） 答：中速车的速度是每小时20千米。 故答案为：20
13．（2分）（2020•郫都区校级模拟）小明早上从家步行去学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学书丢在家里，随即骑车去给小明送书，追上时，小明还有
的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸
爸送往学校，这样小明比独自步行提前5分钟到校．小明从家到学校全部步行需 23 分钟？ 【思路引导】 首先根据题意，可得从爸爸骑车出发到追上小明，爸爸行了全程的：1﹣了行了全程的：
＝
，小明
﹣＝；据此求出爸爸骑车与小明步行的速度比是7：2；然后根据路程一定时，时
间和速度成反比，可得剩下的路程骑车与步行的时间比是2：7；最后根据分数除法的意义，用小明比独自步行提前的时间除以它占步行的时间的分率，求出剩余的行程的步行时间是多少，进而求出小明从家
7 / 20
到学校全部步行需多少时间即可．
【完整解答】 爸爸骑车与小明步行的速度比是： （1﹣＝＝7：2
小明从家到学校全部步行需要的时间是： 5＝＝7＝
）：（
﹣）
答：小明从家到学校全部步行需23分钟． 故答案为：23．
14．（2分）（2019•长沙）甲乙两个同学分别在长方形围墙外的两角（如图所示）．如果他们同时开始绕着围墙逆时针方向跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，那么甲最少要跑 17 秒才能看到乙．
【思路引导】 根据题意可知这不是简单的追及问题，不用追上，只要处在同一条直线上就可以看见，因为甲要看到乙，甲乙间的最大距离为20，即甲最少要比乙多跑15米，再根据题意解答即可。
【完整解答】 甲要看到乙，甲乙间的最大距离为20米，即甲最少要比乙多跑15米，这需跑15÷（5﹣4）＝15（秒）。
乙跑15秒时是刚好处于DC边上（如下图所示），乙跑15秒时跑了15×4＝60（米），这时乙在DC边上，距D点10米处；甲跑15秒跑了15×5＝75，这时甲在AD边上，距离D点10米，因此甲只要再跑10÷5＝2（秒），即可到达D点，此时甲乙间的距离已小于20米，乙在DC边上，所以甲最少要跑15+2＝17（秒），才能看到乙。 故答案为：17。
8 / 20
15．（2分）（2018•呼和浩特模拟）一条街上，一个骑车人和一个步行人同向而行，骑车人的速度是步行人速度的3倍．每隔10分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔20分钟，有一辆公共汽车超过骑车人．如果公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，那么每隔 8 分钟发一辆公共汽车．
【思路引导】 本题可以看作两个追及问题分别是公共车和人，公共车和自行车，设每两辆公共车间隔（即追及路程）为1，由此可以得出公共汽车与步行人的速度之差为：1÷10＝速度差为：1÷20＝
．由此可求得人的速度为：
；公共汽车与自行车人的
，由此即可解决问题．
【完整解答】 设每辆公共汽车的间隔为1，则根据题意可得 公共汽车与步行人的速度之差为：1÷10＝公共汽车与自行车人的速度差为：1÷20＝因为自行车人的速度是步行人的3倍， 所以人的速度为：则公共汽车的速度是1÷＝1×8＝8（分钟）， 答：每隔8分钟发一辆车． 故答案为：8．
三．应用题（共6小题，满分26分）
16．（4分）（2021春•南京期中）一辆客车和货车同时从A、B两地相对开出，5小时后相遇。相遇后两车又各自继续向前行驶了3小时，这时客车离B地还有120千米，货车离A地还有150千米，A、B两地相距多少千米？
【思路引导】 一辆客车和货车同时从A、B两地相对开出，5小时后相遇，则这两辆车1小时行了全程的，相遇后两车又各自继续向前行驶了3小时，则3小时这两辆车一共行了全程的，客车离B地的距离和货车离A地的距离的和占两地之间的距离的1﹣＝，全程的，即是客车距离B地的路程与货车距离A地的路程之和。根据根据对应量÷对应分率＝单位“1”的量，即可求得全程。
，
，
， ，
9 / 20
【完整解答】 1﹣×3＝ （120+150）÷ ＝270÷ ＝675（千米）
答：A、B两地相距675千米。
17．（4分）（2020秋•相城区期末）客、货两车分别从甲、乙两地相对开出，客车每小时行80千米，货车每小时行60千米.客车先行1小时，货车才出发，两车在距中点80千米处相遇.货车从出发到相遇已经行了几小时？
【思路引导】 由题意可知：货车出发后客车和货车做相遇运动，在这个过程中甲走了全程的一半，乙走了全程的一半少80千米，所以甲乙的路程差为80千米，货车从出发到相遇已经行了80÷（80﹣60）＝4（小时）。
【完整解答】 80÷（80﹣60） ＝80÷20 ＝4（小时）
答：货车行了4小时。
18．（4分）（2021•天心区模拟）甲、乙两只蚂蚁同时从A点出发，沿长方形的边爬去，结果在距B点2厘米的C点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲蚂蚁的1.2倍，求这个长方形的周长。
【思路引导】 两只蚂蚁在距B点2厘米的C点相遇，说明乙比甲一共多走了2×2＝4（厘米）。又知乙蚂蚁的速度是甲蚂蚁的1.2倍，相同时间内乙蚂蚁爬的路程与甲蚂蚁爬的路程比为1.2：1＝6：5，所以甲蚂蚁爬的路程是4÷（6﹣5）×5＝20（厘米），乙蚂蚁爬的路程是20+4＝24（厘米），长方形的周长为20+24＝44（厘米）。
【完整解答】 乙比甲一共多走：2×2＝4（厘米） 乙蚂蚁爬的路程与甲蚂蚁爬的路程比为：1.2：1＝6：5 甲蚂蚁爬的路程是：4÷（6﹣5）×5＝20（厘米） 乙蚂蚁爬的路程是：20+4＝24（厘米）
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长方形的周长为：20+24＝44（厘米） 答：长方形的周长是44厘米。
19．（4分）（2021•宁波模拟）甲、乙两人步行远足旅游，甲出发1小时后，乙从同地同路同向出发，步行2小时后到达甲于45分钟前曾到过的地方。此后乙每小时比原来多行500米，经过3小时追上速度保持不变的甲。甲每小时行多少米？
【思路引导】 根据题意先求出乙加速之前甲、乙的速度比，再根据乙加速后步行3小时的路程等于甲步行3.75小时的路程，求出乙加速后甲、乙的速度比，再根据乙加速后每小时多走500米，根据乙加速前后速度差即可求出甲的速度。
【完整解答】 180﹣45＝135（分钟），135分钟＝2.25小时 甲、乙的速度比为：
2：2.25＝，即乙的速度是甲的速度的， 45分钟＝0.75小时，
乙加速后步行3小时的路程等于甲步行3.75小时的路程，所以乙加速后甲、乙的速度比为 3：3.75＝，加速后乙的速度是甲的速度的， 500×3÷（﹣） ＝1500
＝12000（米）
答：甲每小时行12000米。
20．（5分）（2021•宁波模拟）甲、乙两人同时从A点背向出发沿540米的环形跑道行走，甲每分钟走90米，乙每分钟走54米，这二人至少要用多少分钟才能在A点相遇？
【思路引导】 此题属于背向而行的环形运动问题要求在原出发点的A点相遇，可以这样思考，甲从A点出发，再次回到A点，所需时间为540÷90＝6（分钟），每次回到A点所需时间为6的倍数，同理，乙每次回到A点所需时间为540÷54＝10（分钟），乙每次回到A点所需的时间为10的倍数，两人同时从A点出发，再次同时回到A点所需的最少时间为6和10的最小公倍数。 【完整解答】 甲回到A点需要： 540÷90＝6（分钟） 乙回到A点需要： 540÷54＝10（分钟）
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6和10的最小公倍数为30，即二人至少要用30分钟才能在A点相遇。 答：二人至少要用30分钟才能在A点相遇。
21．（5分）（2018秋•重庆期末）一辆货车和客车分别从A、B两地同时相对开出，已知货车和客车的速度比是3：4，A、B两地之间有一个加油站C，货车和客车到达加油站C的时间分别是上午8：00和下午3：00．那么，客车和货车的相遇时间是什么时间？
【思路引导】
从上午8点到下午3点经过7小时，8点时货车到达C点，假设客车8：00到达D点，那么CD之间的距离即为客车7小时所走的路程；
已知货车和客车的速度比是3：4，设货车速度是3v，客车速度是4v，它们的相遇时间为t，根据路程＝速度和×相遇时间列出方程求解；再用出发时间加相遇时间得出答案．
【完整解答】 下午3时即15时﹣8时＝7小时，已知货车和客车的速度比是3：4，设货车速度是3v，客车速度是4v，它们的相遇时间为t． （3vt+4vt）＝4v×7 7vt＝28v t＝4 8时+4小时＝12时
答：客车和货车的相遇时间是中午12时． 四．解答题（共10小题，满分44分）
22．（4分）（2021•宁波模拟）小狗和小猴参加100米预赛，结果，当小狗跑到终点时，小猴才跑到90米处。决赛时，自作聪明的小猴突然提出：小狗天生跑得快，我们站在同一起跑线上不公平，我提议把小狗的起跑线往后挪10米。小狗同意了，小猴乐滋滋地想：“这样我和小狗就同时到达终点了！”亲爱的小朋友，你说小猴会如愿以偿吗？
【思路引导】 当小狗跑到终点时，小猴才跑到90米处，所以小猴的速度是小狗的
，小狗起跑线向
后挪10米，相当于小狗跑110米，当小狗跑110米时，计算出小猴跑的路程，再进行比较即可。 【完整解答】 当小狗跑完110米时，小猴跑了 110×99＜100
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＝99（米）
还是小狗先跑到终点，所以说小猴不会如愿以偿。
23．（4分）（2021•宁波模拟）客车、货车分别从甲、乙两地出发相向而行。如果两车都在6：00出发，那么会在11：00相遇，如果客车和货车分别于7：00和8：00出发，那么会在12：40相遇，现在客车和货车分别于10：00和8：00出发，它们将在什么时候相遇？ 【思路引导】 用V客、V货分别表示客车、货车的速度，
①由“如果两车出发的时间都是6：00，那么它们在11：00相遇”，知行完全程时，客车需要行5小时，货车需要5小时；
②由“如果客车和货车分别于7：00和8：00出发，那么它们在12：40相遇”，知行完全程时，客车需要5小时，货车需要4小时；
由全程一定，得5V客+5V货＝5V客+4V货，得客车行驶小时的路程货车需要行驶小时，即V客：V
货
＝1：2，V货＝2V客；
全程长（V客+V货）×5＝15V客，
③客车和货车出发的时间分别是12：00和10：00，货车比客车提前2小时出发，
所以相遇时，客车行驶的时间是（15V客﹣2V客×2）÷3V客＝3（小时）＝3小时40分，即相遇时间为12时+3时40分＝15时40分。
【完整解答】 用V客、V货分别表示客车、货车的速度 11时﹣6时＝5时
12时40分﹣7时＝5小40分 12时40分﹣8时＝4时40分 5V客+5V货＝5V客+4V货 即V客：V货＝1：2 V货＝2V客
全程长（V客+V货）×5＝15V客 12时﹣10时＝2时
（15V客﹣2V客×2）÷3V客＝3（小时）＝3小时40分 12时+3时40分＝15时40分． 答：它们相遇的时间是 15：40。
24．（4分）（2021春•安岳县校级期中）甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，第一次相遇在离A地40
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千米的地方，两人仍以原速前进，各自到达终点后立即返回，又在离B地20千米处相遇，问A、B两地的距离是多少千米？
【思路引导】 当两人第二次相遇时，两人一共行驶了3个两地间的距离，第一次相遇时甲应该行了40千米，即甲共行了40×3＝120千米，然后再减去20千米，就是AB两地距离． 【完整解答】 40×3﹣20 ＝120﹣20 ＝100（千米）
答：AB两地相距100千米．
25．（4分）（2021•宁波模拟）有甲、乙两船，其速度比为15：11，今从东西两港同时出发，相向而行，5小时后，甲船行了全程的一半还多12里，与乙船相遇，求甲、乙两船各自的速度。
【思路引导】 把全程看做单位“1”，因为甲、乙两船同时出发，相向而行，相遇时它们行的路程比等于速度比，相遇时甲行了全程的
，减去全程的一半即就是12里所对应的分率，据此可求出全程，
再用相遇时甲行的路程除以相遇的时间就是甲的速度，同理可求乙的速度。 【完整解答】 12÷（＝12÷
）
＝156（里） 甲船的速度为： 156×＝90÷5 ＝18（里/小时） 乙船速度为： 156×＝156×
÷5 ÷5
＝13.2（里/小时）
答：甲船每小时行驶18里，乙船每小时行驶13.2里。
26．（4分）（2021•宁波模拟）甲、乙两货车同时从相距300千米的A、B两地相对开出，甲车以每小时60千米的速度开往B地，乙车以每小时40千米的速度开往A地．甲车到达B地停留2小时后以原速返回，乙车到达A地停留半小时后以原速返回，返回时两车相遇地点与A地相距多远？
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【思路引导】 根据题意，甲车从A地行至B地需300÷60＝5（小时），加上停留2小时，经7小时从B地返回；乙车从B地行至A地需300÷40＝7.5（小时），加上停留半小时经8小时后从A地返回；因此，甲车从B地先行1小时后（走60千米），乙车才从A地出发．所以，两车返回时的相遇时间是（300﹣60）÷（60+40）．
【完整解答】 300÷60+2＝7（小时）；300÷40+0.5＝8（小时）．即甲车从B地先行8﹣7＝1（小时）． 因此，甲车从B地先行1小时后（走60千米），乙车才从A地出发．所以，两车返回时的相遇时间是 （300﹣60）÷（60+40） ＝2.4（小时）．
故两车返回时相遇地点与A城相距40×2.4＝96（千米）． 答：两车返回时相遇地点与A城相距96千米．
27．（4分）（2020•长沙）一辆客车和一辆面包车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，客车每小时行32千米，面包车每小时行40千米，两车分别到达乙地和甲地后，立即返回出发地点.返回时的速度客车每小时增加8千米，面包车每小时减少5千米.已知两次相遇点相距70千米，那么面包车比客车早返回出发地多少小时？
【思路引导】 画出线段图，假设第一次相遇的时间为t千米，根据总路程＝相遇时间×速度和，用t表示出甲、乙两地的距离，根据线段图可以发现第一次相遇后到第二次相遇两车所行的距离，根据第二次相遇所用时间相等列出方程，求出第一次相遇的时间，然后分别计算出两车返回出发地的时间，两时间相减即为所求。
【完整解答】 线段图如图：
设第一相遇时间为t小时，则客车走过的路程为32t千米，面包车走过的路程为40t千米，总路程为：32t+40t＝72t（千米），
根据从第一次相遇到第二次相遇所用时间相同，可得方程：
+解得：t＝7
两车返回出发地的时间差为：
＝
+
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﹣
＝＝＝
﹣
﹣ ﹣
＝7.35﹣6 ＝1.35（小时）
答：面包车比客车早返回出发地1.35小时。
28．（5分）（2020•长沙）在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝AD＝4cm，动点P从A点出发，沿A→B→C→D的路线运动，到点D停止。动点Q从D点出发，沿D→C→B→A的路线运动到点A停止。若P、Q同时出发，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，3s后P、Q同时改变速度，点P的速度变为2cm/s，点Q的速度变为1cm/s， （1）P点出发几秒后.P.Q两点相遇？
（2）当Q点出发几秒后，点P在点Q在运动路线上相距的路程为8cm？
【思路引导】 （1）先设点P出发t秒，根据相遇时间＝路程÷速度和，速度和不变。
（2）主要考虑两种情况，一种情况是PQ相遇前相距8cm；另一种情况是PQ相遇后相距8cm．找出相等关系，即可求解。
【解答】解答：（1）设点P出发t秒，两点相遇。 t+2t＝6+6+4，解得t＝所以P点出发 答：P点出发
。两点不可能不变速就相遇。
秒两点相遇。
秒后，P、Q两点相遇。
（2）主要考虑两种情况： 一种情况是PQ相遇前相距8cm，
未改变速度前，两者相距最小为：6+6+4﹣（1+2）×3＝7（cm），即在改变速度前有出现相遇前8cm这一情况
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设用时t1，6+6+4﹣（1+2）×t1＝8 解得，t1＝
另一种情况是PQ相遇后相距8cm， 设相遇用时为t2，t2＝
经过t3后，PQ相距8cm， t3×（1+2）＝8， t3＝，
故相遇后相距8cm所需的时间为：t2+t3＝
+＝8。
答：当Q点出发8秒或秒后，点P、点Q在运动路线上相距的路程为8cm。
29．（5分）（2021•宁波模拟）有一个正方形比赛场地，边长12米，甲、乙、丙三只机器虫，从顶点A同时出发，朝同一方向绕边前进，甲机器虫的速度是0.96米/分，乙机器虫的速度是0.81米/分，丙机器虫的速度是0.72米/分，多少分钟后甲机器虫能同时看到乙机器虫、丙机器虫的背？此时甲机器虫的位置在何处？
【思路引导】 先计算出甲每走一条边的时间，从而求出每走一条边甲与乙、丙之间的距离；甲机器虫能同时看到乙机器虫、丙机器虫的背，说明此时甲在某个顶点，乙、丙在甲的前方，距离不超过一条边的长，据此解答即可。
【完整解答】 甲走一条边的时间： 12÷0.96＝12.5（分钟）
设经过12.5x分钟，甲第一次能同事看到乙、丙的背， 甲走的距离为：12.5x×0.96＝12x（米） 乙走的距离为：12.5x×0.81＝10.125x（米） 丙走的距离为：12.5x×0.72＝9x（米） 因为甲和丙同边，
所以，12x﹣9x＝3x可以写成12×（4k+3）的格式， x＝16k+12，k为自然数， 此时，乙和甲的距离为： 12x﹣10.125x＝1.875x＝30k+22.5
此时，需要满足48m+24≤30k+22.5≤48m+36，m为自然数，
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所以，1.6m+0.05≤k≤1.6m+0.45， m取0时，0.05≤k≤0.45，k无整数解， m取1时，1.65≤k≤2.05，k＝2， x＝16×2+12＝44
12.5x＝12.5×44＝550（分钟）
此时，甲移动了44条边，也就是移动了44÷4＝11（圈），所以，它还在顶点A。
答：550分钟后甲机器虫能同时看到乙机器虫、丙机器虫的背，此时甲机器虫的位置在顶点A。 30．（5分）（2021春•大洼区月考）一座大桥长2400m，一列火车以每分钟900m的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟，这列火车长多少米？
【思路引导】 从车头上桥到车尾离开桥一共用3分钟，则火车等于是跑了桥的全长加车的长度，于是我们用3分钟所行驶的距离再减去桥长2400米就是车身的长度． 【完整解答】 3×900﹣2400 ＝2700﹣2400 ＝300（米）
答：这列火车车身长300米．
31．（5分）（2020•长沙）一个景区有一个正方形跑道，如图所示，跑道是一个边长为1000米的正方形，一号车从A点出发，二号车从C点出发，方向如图所示，速度均为200米/分钟． （1）问：甲、乙出发后的8分钟内，第几分钟时两车相距400米？
（2）一号车第三次到达C点是第几分钟？此时两车相遇了几次，每次相遇分别是在第几分钟？ （3）K点在BC边上，距离C点300米．有一人等车，有以下两种情况： a．他恰好错过一号车，需要等二号车一段时间； b．他恰好错过二号车，需要等一号车一段时间． 请分析：哪种情况等待的时间更长？请说明原因．
【思路引导】 根据题意：跑道是一个边长为1000米的正方形，一号车从A点出发，二号车从C点出发，方向如图所示，速度均为200米/分钟．
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（1）出发后的8分钟内，若还未相遇，相距400米需：（1000×2﹣400）÷（200+200）＝4（分钟）；若已相遇，相遇后相距400米需（1000×2+400）÷（200+200）＝6（分钟）． （2）一号车第三次到达C点行驶了10个边长，需1000×10÷200＝50（分钟），
第一次相遇两车共行驶了2个边长，第二次相遇共行驶了6个边长，第三次相遇共行驶了10个边长…后一次相遇比前一次相遇共多行驶了4个边长，即一个正方形周长．1000×2÷（200+200）＝5（分钟），即第一次相遇是在第5分钟，两车共行驶一个周长需要1000×4÷（200+200）＝10（分钟），所以每次相遇分别是在第5分钟，第15分钟，第25分钟，第35分钟，第45分钟，50分钟内共相遇了5次． （3）a种情况需要等待的时间为：（1000×2+300×2）÷200＝13（分钟），
b种情况需要等待的时间为：（1000×2﹣300×2）÷200＝7（分钟），通过比较即可． 【完整解答】 （1）出发后的8分钟内，若还未相遇，相距400米需： （1000×2﹣400）÷（200+200） ＝1600÷400 ＝4（分钟）；
若已相遇，相遇后相距400米需： （1000×2+400）÷（200+200） ＝2400÷400 ＝6（分钟）．
（2）一号车第三次到达C点行驶了10个边长，需1000×10÷200＝50 （分钟），
第一次相遇两车共行驶了2个边长，第二次相遇共行驶了6个边长，第三次相遇共行驶了10个边长…后一次相遇比前一次相遇共多行驶了4个边长，即一个正方形周长． 1000×2÷（200+200） ＝2000÷400 ＝5（分钟），
即第一次相遇是在第5分钟，两车共行驶一个周长需要： 1000×4÷（200+200） ＝4000÷400 ＝10（分钟），
所以每次相遇分别是在第5分钟，第15分钟，第25分钟，第35分钟，第45分钟，50分钟内共相遇了5次．
（3）a种情况需要等待的时间为：
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（1000×2+300×2）÷200 ＝2600÷200 ＝13（分钟），
b种情况需要等待的时间为： （1000×2﹣300×2）÷200 ＝1400÷200 ＝7（分钟），
答：a种情况等待的时间更长．
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