万方数据２００７年第４６卷第１１期数学通报数列不等式证明的几种策略何泉清（江西师大数学教育硕士班３３００２７） 数列不等式的证明历来是高考数学命题的热 例１正数数列｛ａ二）中，ａ乏一Ｚａ，５二＋１二０，求证ａ，＞ａｏ．点拨‘由条件嵘一２入５。＋１＝０知， 转化‘． 证明因为ａ乏一Ｚａ，５，＋１＝０，但是，所以（凡一５。； ）“一２（凡一库，）凡＋１＝０．一些数列不等式题，如２００６年高考数学江西卷理科即丈一赚，二１．又ａ圣一Ｚａ， ａ，＋１＝０，２题，直接用“数学归纳法”却行不通，而需要先所以ａ：“５：＝１ ．故｛ 髯｝是公差为１，首项为挤＝１的等差数列．所以凡报位，也是数列不等式思维受阻的原因．因此，笔者总结归纳了几种数列不等式的证明策略，以备教学参所以久凡一髯，＝石一丫石不丁１ 、考．代二二二二，甲一下二１了ｎ＋了ｎ一１气二二甲一一下二二二二２》￣．了ｎ＋１十丫ｎ１转化条件构造新数列丫石干丁一石＝ａ、１二是ｘ一Ｚｙ一２＝０，底边所在的直线１２的方程是ｘ十解设Ｂ（一１，ｂ）（ｂ任Ｒ），Ｃ（ｘ，ｙ），则ｋ０Ｂｙ一１一。，点（一２，）０在另一腰上，求这腰所在直线一ｂ，ｏｋ。一几的方程．（课本例题）音・‘Ａｏ一０・解ｋｌ －一１－２，另一腰的斜率为ｋ’，由于两腰所运用定理１（２）．但一立土旦一．２里 ｘ”，１一０・（一ｂ）在直线的一条对称轴平行于底边所在的直线几，概＝一１，所以由定理１（１）得告ｋ‘＝１，即ｋ‘＝２．‘，． 、，」＿一，，，，、，。１，，。，：，。一’沙 ／’￣’￣￣￣一、一，’，２’－一’一，一’－一’即一ｂ＝ｘＺ一犷‘２刁①因此腰所在直线的方程为ｙ＝２［ ｘ一（一２）〕，即 Ｚｘ一ｙ＋４又由Ｂ、Ｃ、Ａ共线得ｂ＝一２－一１一ａｘ一ａ②将①、②联立，消去。得半令＝’２习ｘＺ一少’若ｙ护０，则（ １一ａ）了一Ｚａｘ＋（ｌ十ａ）犷＝０（０＜ｘ＜ａ），③若少＝０， 则ｂ＝０，艺血ＩＢ＝二，此时点Ｃ（０，０）图２ 满足③，故点Ｃ的轨迹方程是例２ 如图２，给出定点Ａ（ａ，０）（ａ＞０）和直线（１一ａ） 扩一Ｚａｘ＋（１＋ａ）犷二０（０＜ｘ＜ａ）．１：ｘ“一１，Ｂ是直线１上的动点，艺仪一从的角平分线讨论略． 交ＡＢ于点Ｃ，求点Ｃ的轨迹方程，并讨论方程表示今考文狱的曲线类型与ａ的关系．（１９９９年全国高考题）１中华人民共和国教育部制让全日制普通高级中学数学教科书（必修）第二册．北京： 人民教育出版社，２ｏ０６点及重点，并且往往出现在压轴题的位置上，扮演着调控整卷区分度的角色，而数列不等式的证明又是难点．由于数列不等式与自然数有关，所以，“数学归纳法”成为数列不等式证明的首选方法；第２对其进行放缩以证明它的“加强不等式”．没有充分认识到这点，就会造成思维受阻；而且，放缩不到数学通报２００７年第４６卷第１１期万犷，￣言不州卜二下月一二’－十丁下；一下一二二二＜心、，乙ａ任吕 点评本题实际上是要证｛ａ，）是单调递减数列，通过转化条件构造了新数列｛又｝，从而得到了数列｛ａ，｝的通项，并且利用了放缩技巧．１．１．１１ ＿ｌ 丁丈－ｔ－４廿 ｋ 气‘花目十１少－４（ｋ＋１）则当ｎ＝：十‘阿，ｔ万十云－十，．，＿、１．１…＋１ ２转化结论，证明等价命题 例２数列｛ａ，）中，ａ，＝２，且１０＆ａ。＝１＋０１岛ａ二，ｎ任Ｎ’，（ｎ）２），对任意不小于３的自然数（Ｚｋ＋１）２ １，ｋ １ 丁二了气一育之下＜、４（ｋ＋１）（Ｚｋ＋３）２气‘纪一卜Ｊ少－ ｋ ｌ ｌｋ州卜丁言７一产气井犷了井丁－犷下戈＝￣了．丁一；一；寸‘万方数据ｎ，习七明一、 ，。。ａ。一１＿一一下－丁二＞ ａ，侧ｒｌｎ十ｒ点拨 先求｛ａ，｝的通项公式，再等价转化要证的不等式．证明 因为１０食ａ，一１＋１０自ａ＿，，。任Ｎ・，，）２，所以久 ＝Ｚａ二，，则ａ，＝ａ１２ｒ‘＝２・２，，＝２”，ｎ任Ｎ，，ｎ）２．二、女Ｕ上￣丫ａ，一１、尸一产下‘沂》－一产下，趴足女习仁不一六－育洲）－一下一；，”、。二、丫２”一１＿ｎ“一仁Ｉ ｎ州片１．‘一州卜Ｉｎ州卜１也就是要证（２”一１）（ｎ＋１）＞ｎ（２”＋１）．即要证２”＞Ｚｎ＋１，ｎ）３．而当ｎ）３时，由二项式定理，知２”＝（ｌ＋１）”＝１十Ｃ＋・＋ｅ￣‘＋ｅ＞１＋此＋ｑ＝Ｚ ｎ＋１，（，）、。，一，、ａ．一１＿雌脉小寺众尸－下一育夕口，寸，１ ｎ＋１成立．点评 本题应用了不等式证明的分析法和放缩法，而（，）式放缩的项数的依据是为了“凑到（Ｚｎ十１）＂．３强化结论证明加强不等式例３设ｎ任Ｎ’，求证州卜丁只种针…１ 任廿 月一；下－二：二；＜于． １＿１（Ｚｎ＋１）２、４’ 点拨因不等式右边是常数，从ｋ到（ｋ十１）时，右边常量不变，可左边增加了一正数项使得整个和式数值变大，这样无法利用数学归纳法证明．考虑篇二ｎ＋１ｌｉｍ二二１，１１１１１号气尸ｅｓｓｅｎ 产下气．二二一丁；ｌ。二４Ｌ刀十 １）４－上Ｉｎ特１口」，万犷吸、种。，、１，１，‘ｎ￣。二小， ０万＜从１下，‘任气ｎ州卜１少￣；一；戈俩正二冤｛刁性・故把原不等式强化为： ＋１１ ＿ｎ ９４－州卜二’月一丁又一－下吮不万＜瑞气乙ｎ州卜１夕－ ４（ｎ＋１）（，，）证明（１）当ｎ＝１时，不等式（，，）成立．（ ２）假设当ｎ＝ｋ（ｋ）１）时，不等式（，，）成立，即４（ｋ＋１）气‘左－卞 一乙少气‘龙州卜任少任左寸，１－；１，１一气万，，尸－万—１１ｋ＋１住左州卜１二－气－，二少左十乙特户二￣吸１—１，， １－气－下，４ 左十乙’４之庵千幻’即当ｎ＝ｋ＋１时，不等式（，，）成立．故对于一切ｎｅＮ’，不等式（，，）成立．月下以二丁一只下一丁又十…十丁万一下一了下；＜又丁丁－六一二Ｔ。尸。、，１．１．１．。１＿ｎ沙 乙Ｊ任，Ｌ乙儿月￣１少“任火九－卜１少ｎ 例４（２００６年全国高考数学江西卷理科）已知数列｛ａ，｝满足：ａｌ＝，下￣，王王ａ，＝３ 。３胆二１‘ Ｚａ，１＋ｎ一１（ｎ）２，ｎ任Ｎ．）． （）１求数列｛ａ，｝的通项公式；２（ ）证明：对一切正整数ｎ，不等式ａ；ａ：…‘＜２・司恒成立．点拨‘ ）１条件变形为‘一尝＝－二一Ｌｌ一１，， 石 丝二卫），则１一卫ａ． －－１ －了，所以乌＝ｎ・矛了一ｒ（２）由（１）得‘“１一二二１ 犷 州月ａ。１，＊ｌ处”’＿气￣万一了万一－＿ｎ！又１一气不少、１一下犷夕…以一下二， 正一万一获・Ｊ 丁万．要证ａｌａ：…ａ二＜Ｚｎ！，即证－一气１一，，二丁少、１一二；少二’气１一二二夕１、，，一里冬一一１＼，，一１‘－＜：。！，两边同除，！，Ｏ Ｊ“ｊ再变形，则只要证ｎ任Ｎ’时，有（１一音）（１一去）・（１一六）＞资．１、，， １、，．１、￣１ ３‘’一３２‘’一３”‘／２’、①。若直接用数学归纳法证明， 从ｋ到（ｋ＋１）时，右边常量不变，但左边在变，这样就无法用归纳假设．故应考虑证明它的“加强式＂．因为①式与去相关， 。止爪一、１，二，，１２＿１．１￣／，￣‘、砂３”一 ，Ｈ／、’￣一又１一令＝专＞资＋六，３３／２’３“’石品３叶几ｍｉｌ去一。一‘分‘一”，故把不等式①强化为一“￣Ｊ一。／二２００７年第４６卷第１１期（１一舟）（１一去）１、，，１、 数学通报１、、１．１ ‘一不少户万一尹‘ ３“一３‘，火解，（ｌ）解略．（２）证明：（１）当ｎ１时，不等式②成立．ａ． （ａｌ十ａ：＋…十ａ，，）（ａ，＋ａ：十…十ａ，）二二二飞－，１ —伪＋处１ ｌ ）＋…＋川卜气尸一下一一一场份ｔ鱼 风＋鱼＋内１ １ 万方数据（１１）假设当ｎ＝ｋ（ｋ）１）时，不等式、１一气丁少、１一下；夕１、，， １、ｊ ｊ－Ｌ‘一了’夕百十尹１、￣ １．１成立．那么，当ｎ＝ｋ＋１时，‘土一百夕、１、，， 上一了夕１、‘’伙上一了八上一互雨．，，１、，，１、、夕尸、，１．１、，，万十尹了少以一万而夕１、￣井甲卜二二二丁Ｌ，万一１：１，１１、乙ｊ一’乙丈丈二了少。Ｊ一’，１．１，１朋￣‘ 万十二１军不气，吞一’一言一言订了夕一匕于十认百牙少１、，１．１、‘０－－・乙０－百万１，１ 不ｒ气万一乎万少夕。，１、、。：、，“沪上・肌以以一百从工一了少‘１、，， １、”、上一了八土一百，，１、，，诬１、石户，夕￣万子十１．１‘ 丈石万，ｊ－－即当ｎ＝ｋ＋１时，不等式②成立．故对一切ｎ〔Ｎ’，不等式②成立．所以（１一令）（１一六）…（１一去）＞资＋箭汁＞舍，‘，，，／，朴、１、。，，３’“１、，，３２’‘一３”“１、，，１、＿２’３时‘２２’１．１、１原不等式得证．点评 由例３、例４可知，若：是与ｎ无关的常量，如用数学归纳法证明ｆ（ｎ）＜‘（或ｆ（）ｎ＞‘）一类的不等式时，可根据不等式的传递性，把常量。用含有ｎ并比‘小的（或大的）代数式子９（ｎ）（ｌｌｇｍ（）ｎ＝。）代换，把要证明的不等式转化为“加强不等式”，即ｆ（ｎ）＜９（ｎ）（或ｆ（ｎ）＞９（ｎ））．４直接放缩消项证明例５ 数列王ａ，｝的各项均为正数，求证：尸孕六万十厂丫生一＋…十、“１－ｌｅｗ“２夕气“１气卜“２门一ａ３户成不万粉不石万＜工． 召１ 点拨将左边的和式的各项分母放缩为相邻两项之积，再通过裂项法求和．证明因为｛ａ，｝的各项均为正数，所以广华一＋…＋叹口１州卜口２户一 十一气口１月ｓｅ一口２寸￣口３少－生一己月 （ａ，＋ａＺ＋…＋ａ，）’＜，粤一十，一尸书卫卜一，气＋…＋ａｌ、ａ ｌ卞处少、ａｌ一凡夕气ａｌ一ａｅ卞几夕ａｌ＋ａ：＋…＋ａ二１ａｌ＋ａ：＋…＋ａ二１１ａ，ａｌ十ａ：＋…＋ａ二 点评数列和式不等式中，若数列的通项为分式型，可考虑对其分母进行放缩，若数列的通项中含有因式“（一１）‘”，可考虑结合相邻两项的和进行放缩．另外，熟悉一些常用的放缩方法，如六、燕、击（ｋ一‘，・２，一ｎ，）告一击一赢认下＜奋、赢畏丽ｎ一１＿生等”例６已知ｆ（ｘ）＝粼，二任‘０，ｏｃ＋，，数列｛几｝满足ｘ＊：＝ｆ（ｘ二），ｎｅＮ．，且ｘｌ＝１，设‘今｝二一万１，凡为数列｛ａ，｝的前。项和，求证：民＜涯２‘点拨对ａ。配的关系式进行放缩求和．说明因为口‘村｝、一川一｝（ｆ动一川＝｝ 玉土多一凡二＋２一涯毖：一万｝’一｛顺｝＿｝｝几十１ｘ二＋１＝（一仄，涯一１）一｝几＋１｝ 、｝．ｘＩ五早共弃｝一川．又几＞０，所以ａ＊＜ａ＊｝ｘ二＋１！＝呱一１）｝二一福｝＜涯一１），｝、一招｛＜…＜呱一１）・｝ｌｘ一川＝洒一１）‘．所以凡，ａ，十ａ：＋…＋‘＜（涯一１）十（涯一１）２＋…＋（福一１）”一黑〔‘一呱一‘，・〕＜粽＜零 点评本题是把数列｛ａ，｝放缩成一个等比数列而求和的；另外，有时也可把｛ａ，｝放缩为等差数列后再求和，